新人教版七年级数学上册第三章一元一次方程整章教案和习题.docx
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新人教版七年级数学上册第三章一元一次方程整章教案和习题
新人教版七年级上学期数学
第三章一元一次方程概述
教学内容
本章主要内容包括：
一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析和解决实际问题。
分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示是始终贯穿这些内容的主线，而且始终渗透着“数学建模”和“化归”的思想方法。
通过丰富实例，从算式到方程建立一元一次方程，展开方程是刻划现实生活的有效数学模型；通过观察、归纳引出不等式的两条性质，为进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法准备理论依据；从实际问题出发，运用等式的性质解方程，归纳“移项”、“合并”、“去括号”等法则，逐步展现求解方程的一般步骤；运用方程解决实际问题，通过探究活动，加强数学建模思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
本教案对列方程解决实际问题的内容作了较集中的归类讨论。
教学目标
〔知识与技能〕
1、理解一元一次方程及有关概念和等式的基本性质；
2、熟练掌握一元一次方程的解法（数字系数）并学会运用一元一次方程解决简单的实际问题。
〔过程与方法〕
经历解一元一次方程和列一元一次方程解决实际问题的过程，明确解一元一次方程和列一元一次方程的基本步骤，初步树立数学建模思想和体会化归思想的运用。
〔情感、态度与价值观〕
在解决实际问题中，体会数学的应用价值，激发学习数学的欲望，提高分析问题和解决问题的能力。
重点难点
一元一次方程的解法和运用是重点，列一元一次方程解决实际问题是难点。
课时分配
3.1从算式到方程…………………………………………2课时
3.2解一元一次方程的讨论
（一）…………………………3课时
3.3解一元一次方程的讨论
（一）…………………………4课时
3.4实际问题与一元一次方程…………………………3课时
本章小结…………………………………………2课时
3．1．1一元一次方程
[教学目标]理解一元一次方程的概念，会识别一元一次方程；了解方程的解，会验证方程的解；知道怎样列方程解决实际问题，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。
[重点难点]一元一次方程和方程的解的概念是重点；怎样列方程解决实际问题是难点。
〔教学方法〕指导探究，合作交流
〔教学资源〕小黑板
[教学过程]
一、问题导入
含有未知数的等式叫做方程。
方程把问题中的未知数与已知数的联系用等式的形式表示出来。
研究问题时，要分析数量关系，用字母表示未知数，列出方程，然后求出未知数。
怎样根据问题中的数量关系列出方程？
怎样解方程？
二、怎样列方程
问题汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米。
王家庄到翠湖的路程有多远？
地名
时间
王家庄
10：
00
青山
13：
00
秀水
15：
00
1、汽车从王家庄行驶到青山用了多少时间？
从青山到秀水用了多少时间？
2、请你用算术方法解决这个问题。
3、如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，那么王家庄距青山多少千米？
王家庄距秀水多少千米？
4、由于汽车是匀速行驶，可知各段路程的车速相等。
你能据此列出方程吗？
列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含未知数的等式——方程。
列方程的过程可以表示如下：
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
三、一元一次方程的概念
例1根据下列问题，设未知数并列出方程：
（1）用一根长24㎝的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？
（3）某校女生占全体学生数的52％，比男生多80人，这个学校有多少学生？
解：
（1）设正方形的边长为x厘米，可列方程4x=24①
（2）设x月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间。
1700+150x=2450②
（3）设这个学校的学生人数为x人，那么女生人数是多少？
男生人数是多少？
女生人数为0.52x人，男生人数为（1-0.52）x人。
0.52x-（1-0.52）x=80③
观察方程①②③，它们有什么共同的特点？
只含有一个未知数；未知数的次数是1。
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
思考：
下列式子中，哪些是一元一次方程？
①2x+3;②2×6=12;③1/2x-3=2;④1/x+3x=5;⑤y=0.
四、方程的解
列方程是解决实际问题的一种方法，利用方程可以解出未知数。
想一想：
（1）x等于多少时，方程①的左右两边相等？
（2）x=5能使②的左右两边相等吗？
能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
思考：
x=2是方程3x-1=2x+1的解吗？
为什么？
五、课堂练习
课本82面1、2、3题。
六、课堂小结
1、怎样列方程？
怎样解决实际问题？
解决实际问题就是把实际问题抽象成数学问题，通过解决数学问题来解决实际问题.
2、什么叫一元一次方程？
3、什么是方程的解？
你怎样知道某个未知数的值是方程的解？
作业：
课本84面1、2；85面5、6、10
（2）题。
七、板书设计:
一元一次方程
一、提出问题二、一元一次方程的概念三、方程的解四、例题
3.1.2等式的性质
〔教学目标〕1、了解等式的概念；2、利用天平的经验分析得出等式的性质；3、会利用等式的性质解方程。
〔重点难点〕等式的性质和运用是重点；利用天平经验抽象出等式的性质是难点。
〔教学方法〕指导探究，合作交流
〔教学资源〕多媒体设备
〔教学过程〕
一、问题导入
我们知道未知数的某个值是方程的解，但怎样才能知道方程的解是什么呢？
方程是含有未知数的等式，我们先来看看等式有什么性质。
二、等式及其性质
1、等式
用等号表示相等关系的式子叫等式。
如：
m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。
注意：
等式中一定含有等号。
我们可以用a=b来表示一般的等式。
2、等式的性质
观察天平的变化，你能发现了什么？
在平衡天平的两边都加上（或减去）同样的量，天平还保持平衡。
如果把天平看成等式，球和正方体看成数或式，那么你能得到什么结论？
等式性质1等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
用字母表示为：
如果a=b，那么a±c=b±c
观察天平的变化，你能发现了什么？
把平衡天平的两边都扩大（或缩小）相同的倍数，天平仍保持平衡。
同样地，如果把天平看成等式，球和正方体看成数，那么你能得到什么结论？
等式性质2等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
用字母表示为：
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么a／c=b／c（c≠０）。
注意：
①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。
思考：
回答下列问题：
（１）从a+b=b+c，能否能到a=c，为什么？
（2）从a-b=b-c，能否能到a=c，为什么？
（１）从ab=bc，能否能到a=c，为什么？
（１）从a/b=c/b，能否能到a=c，为什么？
（１）从xy=1，能否能到x=1/y，为什么？
三、例题
例1利用等式的性质解下列方程：
（1）x+7=26;
（2）-5x=20; （3）-1/3x-5=4.
分析：
解方程的结果就是将方程转化为x=a的形式，为此，解方程就要将未知项移到一边，常数项移到另一边。
解：
（１）将常数项移到右边，得
x=26－7
化为x=a的形式，得 x=１９。
（２）化为x=a的形式，得
x=20／－５ 于是x=－４。
（３）将常数项移到右边，得
-1/3x=4＋５即-1/3x=９
化为x=a的形式，得
x=９×（－３）于是x=－２７。
四、课堂练习
课本８４面练习（１）～（４）。
五、课堂小结
１、等式和等式的性质。
２、运用等式的性质解方程。
作业：
课本８５面３、４、７、８。
课外阅读８６面《“方程”史话》
六、板书设计:
等式的性质
一、等式及其性质二、例题三、练习
3．2．1解一元一次方程——合并同类项
[教学目标]1、会利用合并同类项解一元一次方程;2、通过对实例的分析，体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。
[重点难点]利用合并同类项解一元一次方程是重点；列一元一次方程解决实际问题是难点。
〔教学方法〕指导探究，合作交流
〔教学资源〕小黑板
[教学过程]
一、问题导入
约公元825年，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程。
这本书的拉丁文译本取名为《时消与还原》。
“对消”与“还原”是什么意思？
我们先讨论下面的问题，然后再回答这个问题。
二、探索合并同类项解一元一次方程
问题某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的两倍，今年购买数量又是去年的2倍。
前年这个学校购买了多少台计算机？
设前年购买计算机x台。
那么去年购买计算机多少台？
今年购买计算机多少台？
去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台。
问题中的相等关系是什么？
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台
依题意，可得方程
x＋2x＋4x＝140
这个方程怎么解呢？
我们知道，解方程的最终结果是要化为x=a的形式，为此可以作怎样的变形？
把左边合并同类项。
可得
7x＝140
系数化为1，得 x＝20
所以前年这个学校购买了20台计算机。
注意：
本题蕴含着一个基本的等量关系，即总量＝各部分量的和。
思考：
上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？
它把含未知数的项合并为一项，从而向x=a的形式迈进了一步，起到了化简的作用。
三、例题
例1 解方程7x－2.5x＋3x－1.5x=－15×4－6×3
解：
合并同类项，得
6x=－78
系数化1，得 x=－13
注意：
如果方程中有同类项，一定要合并同类项。
四、课堂练习
课本89面
（1）～（4）；
补充题：
足球表面是由若干黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑白皮块的数目比为3：
5，一个足球的表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？
五、课堂小结
1、合并同类项解一元一次方程。
通过合并同类项把方程化为ax=b（a≠0，a、b是常数）的形式。
从而简化方程。
2、列一元一次方程解实际问题。
（1）找等量关系是关键，也是难点；
（2）注意抓住基本等量关系：
总量＝各部分量的和。
作业：
93面1；3
（1）、
（2）；4；5。
第三章第一阶段复习3.1－3.2.
（1）
一、双基回顾
1、方程、方程的解和解方程
含有的叫做方程；
使方程相等的的值叫做方程的解。
的过程叫做解方程。
〔1〕x＝－3是不是方程2x=5x+9的解，你是怎么知道的.
2、一元一次方程
只含有未知数，并且未知项的次数的方程叫做一元一次方程。
〔2〕指出下列各式中哪些是一元一次方程？
并说明理由。
（1）2x-y=3;
（2）x=0;（3）x2-2x+1=0;（4）x+3=2x-1.
3、等式的性质
性质1等式两边同一个数（或），结果仍相等。
若a=b,则.
性质2等式两边同一个数，或的数，结果仍相等。
若a=b,则;
若a=b,则.
〔3用适当的数字或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明理由。
（1）如果3x+8=6，那么3x=6[];
（2）如果-5x=25，那么x=[];
（3）如果2x-3=5,那么2x=[];（4）如果x/4=-7,那么x=[]
4、合并同类项解一元一次方程
如果方程中有同类项，可以先合并同类项变成ax=b（a≠0）的形式,再求解。
〔4〕解方程：
-3x+2x=5-1
二、例题导引
例1下列说法中正确的是〔〕
1若x=y,则x/m2=y/m2;②若x=y,则mx=my;
③若x/m=y/m,则x=y;④若x2=y2,则x3=y3
例2已知方程（m-2）x︱m︱-1+3=m-5是关于x的一元一次方程，求m的值。
例3已知x=1/2是关于x的方程4+x=3-2ax的解，求a2+a+1的值。
例4小明去商店买练习本，回来后和同学说，店主告诉我，如果多买一些就给我8折优惠，我就买了20本，结果便宜了1.6元，你猜原来每本价格是多少？
（请你列出方程,并用等式的性质求解。
）
三、练习提高
夯实基础
1、下列各式中，是方程的有〔〕
①2x+1;②x=0;③2x+3＞0；④x－2y=3;⑤1/x-3x=5;⑥x2+x-3=0.
A、3个B、4个C、5个D、6个
2、下列方程中，解为1/2的是〔〕
A、5（t－1）＋2＝t－2B、1/2x－1=0
C、3y－2=4（y－1）D、3（z－1）=z－2
3、下列变形不正确的是〔〕
A、若2x－1=3，则2x=4B、若3x=－6，则x=2
C、若x+3=2,则x=－1D、若－1/2x=3,则x=－6
4、已x=y,下列变形中不一定正确的是〔〕
A、x－2=y－2B、－2x=－2y
C、ax=ayD、x/c2=y/c2
5、下列各式的合并不正确的是〔〕
A、－x－x=－2xB、-3x+2x=－x
C、1/10x－0.1x=0D、0.1x－0.9x=0.8x
6、若x2a－1+2=0是一元一次方程，则a=.
7、某班学生为希望工程捐款131元，比每人平均2元还多35元。
设这个班的学生有x人，根据题意列方程为.
8、将等式3a－2b=2a－2b变形，过程如下：
因为3a－2b=2a－2b,所以3a=2a
所以3=2
是述过程中，第一步的依据是，第二步得出错误结论，其原因是.
9、解下列方程：
（1）6x－5x=－5
（2）-1/2x+3/2x=4
（3）2/3y－y=－3+1（4）2x－7x=19+31
10、某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？
设前年购买了计算机x台，可以表示出：
去年购买计算机台，今年购买计算机台。
根据问题中的相等关系：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台，列得方程.
解这个方程。
11、从30㎝长的木条上零截出两段长度相等的木条后，还剩6㎝长的木条，求截去的每一段木条的长是多少？
3.2.2解一元一次方程——移项
（2）
[教学目标]1、理解移项的概念；2、会用移项法解一元一次方程；3、经历用方程解决实际问题的过程。
[重点难点]用移项法解方程是重点；移项是难点。
〔教学方法〕指导探究，合作交流
〔教学资源〕小黑板
[教学过程]
一、问题导入
一元一次方程有这样的特点：
一边是含有未知数的项，一边是常数项。
这样的方程我们可以用合并同类项来解，那么像3x+7=32-2x这样的方程怎么解呢？
二、移项的概念
问题：
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人3本，则剩余20本；如果每人4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
设这个班有x人，那么这批书有多少本？
还可以怎么表示？
这批书共有（3x+20）本，还可表示为（4x-25）本。
因为3x+20与4x-25都表示这批书，所以
3x+20=4x-25
由上节课的学习，你能猜想怎么解这个方程吗？
把未知项移一到边，把常数项移到一边。
怎样才能做到这一点呢？
由等式的性质，把等式两边同时减去4x，加上20。
即
－4x－20
－4x－20
3x+20=4x-25①
3x－4x=－20－25②
比较①、②，方程中的项4x与20发生了怎样的变化？
4x从右边移到了左边，并且改变了符号，20从左边移到了右边，并且改变了符号。
像这样，把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
把②合并同类项，得
－x=－45
∴x=45
所以这个班有45名学生。
注意：
表示同一个量的两个不同的式子相等，这是一个基本的等量关系。
思考：
上面解方程中“移项”有什么作用？
通过移项，使含未知数的项在等号的一边，常数项在另一边，从而把方程转化为我们熟悉的类型，这就是化归思想的运用。
解方程经常要合并与移项。
前面提到的古老代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并”与“移项”。
三、例题
现在我们来解前面提到的方程。
例13x+7=32-2x
解：
移项，得
3x+2x=32－7
合并同类项，得
5x=25
∴x=5
注意：
移项要变号。
四、课堂练习
1、下面的移项对不对？
如果不对，错在哪里？
应当怎样改正？
（1）从3x+6=0得到3x=6；
（2从）2x=x－1得到2x=1－x
（3）从2+x－3=2x+1得到2－3－1=2x－x。
2、课本91面
（1）～
（2）；
3、甲粮仓存粮1000吨，乙粮仓存粮798吨，现从甲粮仓运一部分到乙粮仓使甲乙两个粮仓的粮食数量相等，那么应从甲粮仓运出多少吨粮食？
五、课堂小结
1、什么叫做移项？
移项的依据是什么？
2、移项法解一元一次方程要注意什么？
移项要注意变号。
3、我们知道了哪些基本的等量关系？
总量=部分量的和;
表示同一个量的两个不同的式子相等.
作业：
课本2；3（3）、（4）；8；9。
3．2．3一元一次方程的应用
（一）
[教学目标]1、掌握用一元一次方程解决实际问题的基本思想；2、进一步经历用方程解决实际问题的过程，体会运用方程解决实际问题的一般方法。
[重点难点]运用一元一次方程解决简单的实际问题是重点；寻找等量关系是难点。
教学方法〕指导探究，合作交流
〔教学方法〕指导探究，合作交流
〔教学资源〕小黑板
[教学过程]
二、例题
例1有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，…，其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？
分析：
从符号与绝对值两方面观察，这列数有什么规律？
符号正负相间；后者的绝对值是前者绝对值的3倍。
即后一个数是前一个数的-3倍。
如果设其中一个数为x，那么后面与它相邻的两个数你能用x表示出来吗？
后面两数分别是-3x，9x。
问题中的相等关系是什么？
三个相邻数的和=-1701。
由此可得方程x-3x+9x=-1701
解之，得x=-243。
所以这三个数是-243，729，-218。
注意：
本题中有三个未知量，由它们之间的关系，我们可以用一个字母来表示，从而列出一元一次方程。
这一点要注意学习。
例2根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。
方式一
方式二
月租费
30元/月
0元
本地的通话费
0.30元/分
0.4元/分
（1）一个月内在本地通话200分和350分，按方式一需交费多少元？
按方式二呢？
（2）对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式收费一样多吗？
分析：
（1）按方式一在本地通话200分钟需要交费多少元？
350分钟呢？
通话200分钟需要交费：
30+200×0.3=90元;
通话350分钟需要交费：
30+350×0.3=135元.
按方式二在本地通话200分钟需要交费多少元？
350分钟呢？
通话200分钟需要交费：
200×0.4=80元;
通话350分钟需要交费：
350×0.4=140元.
（2）设累计通话t分钟,那么按方式一要收费多少元?
按方式二收费多少元?
按方式一要收费（30+0.3t）元;按方式二要收费0.4t元.
问题中的等量关系是什么?
方式一的收费=方式二的收费.
由此可列方程30+0.3t=0.4t
解之,得t=300
所以,当一个月内通话300分钟时,两种计费方式的收费一样多.
引申:
你知道怎样选择计费方式更省钱吗?
当t=400时,30+0.3t=30+0.3×400=150元;
0.4t=0.4×400=160元.
当时间大于300分钟时,方式一更省钱.
三、一元一次方程解实际问题的基本过程
将实际问题转化为数学问题即建立数学模型，通过解决数学问题来解决实际问题。
四、课堂练习
学校办了储蓄所，开学时，李英存了200元，王建存了140元，以后李英每月存20元，王建每月存35元，经过几个月，李英、王建的存款数相等？
五、课堂小结
本节课我们研究了通过列一元一次方程，把实际问题抽象成数学问题即建立数学模型，再通过解一元一次方程即解决数学问题来解决实际问题的具体方法，这是解决实际问题的一般思想方法。
作业：
课本94面6、7、10。
3.3.1解一元一次方程－去括号
（1）
[教学目标]1、掌握含有括号的一元一次方程的解法；2、经历运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程模型的作用。
[重点难点]含有括号的一元一次方程的解法是重点；括号前面是负号时去括号是难点。
〔教学方法〕指导探究，合作交流
〔教学资源〕小黑板
[教学过程]
一、导入新课
前面我们已经学会了运用移项、合并同类项来解一元一次方程，但当问题中的数量关系较复杂时，列出的方程也会较复杂，解方程的步骤也相应更多些，如下面的问题。
二、探索去括号解一元一次方程
问题某加工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电150万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？
分析：
问题中的等量关系是什么？
上半年用电度数+下半年用电度数=1500000。
设去年上半年平均用电x度，那么下半年每月平均用电多少度？
上半年共用电多少度？
下半年共用电多少度？
下半年每月平均用电（x－2000）度；上半年共用电6x度；下半年共用电6（x－2000）度。
由此可得方程：
6x+6（x－2000）=1500000
这个方程中含有括号，怎样才能转化为我们熟悉的形式呢？
去括号。
去括号，得6x+6x－12000=1500000
解得x=13500
所以这个工厂去年上半年每月平均用电13500度。
思考：
你还有其它的解法吗？
设去年下半年平均用电x度，则
6x+6（x+2000）=1500000
解之，得x=11500
所以去年上半年每月平均用电11500+2000=13500度。
三、例题
例1解方程：
3x－7（x－1）=3－2（x+3）
解：
去括号，得
3x－7x+7=3－2x－6
合并，得－4x+7=－2x－3
移项，得－4x+2x=－3－7
－2x=－10
∴x=5
注意：
括号外面是负号时，去括号后，括号内的每一项的积都要变号。
四、课堂练习
1、课本97面
（1）、
（2）。
2、初一某班同学准备组织去东湖划船，如果减少一条船，每条船正好坐9名同学，如果增加一条船，每条船正好坐6名同学，问这个班共有多少名同学？
五、课堂小结
1、含有括号的一元一次方程的解法。
当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号。
2、解一元一次方程的步骤：
①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1。
3、例题解法一是求什么设什么，叫直接设元法，方程的解就是问题的答案；解法二不是求什么设什么，叫间接设元法，方程的解并不是问题的答案，需要根据问题中的数量关系求出最后的答案。
作业：
课本102面1、2、4、5。
3.3.2解一
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