高考数学理必刷试题+参考答案+评分标准 3.docx
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高考数学理必刷试题+参考答案+评分标准3
2020高考数学模拟试题
（理科）
一、选择题（本大题共10小题）
1.已知，，0，1，，9，3，，则A可以是
A.B.C.D.
2.复数i为虚数单位在复平面上对应的点不可能位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.在等比数列中，，则“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是
A.B.C.D.
5.设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则
A.若，，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
6.如图为某几何体的三视图，根据图中标出的尺寸单位：
，可得这个几何体的体积是
A.
B.
C.
D.
7.已知函数的部分图象如图所示，则的表达式可能是
A.B.C.D.
8.随机变量的分布列如表所示，若，则随机变量的方差等于
1
2
3
P
a
b
A.B.C.D.
9.已知函数，则
A.仅有有限个实数m，使得有零点
B.不存在实数m，使得有零点
C.对任意的实数m，有零点
D.对任意实数m，零点个数为有限个
10.已知数列，满足：
，，，则
A.，B.，
C.，D.，
二、填空题（本大题共7小题）
11.______；______．
12.
“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，已知大正方形面积为9，小正方形面积为4，则每个直角三角形的面积是______；每个直角三角形的周长是______．
13.若的展开式中所有项的系数之和为256，则___ ；含项的系数是___ 用数字作答．
14.已知，，且，则xy的最大值为______，的最小值为______．
15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教每地1人，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有______种．
16.倾斜角为的直线经过双曲线的左焦点，且与双曲线的左、右支分别交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线经过右焦点，则此双曲线的离心率为______．
17.已知平面向量，，且，若平面向量满足，则的最大值______．
三、解答题（本大题共5小题）
18.设a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知，，且．
求角A的大小；
当A为锐角时，求函数的取值范围．
19.
如图，在四棱锥中，，，．
证明：
；
求PC与平面PAB所成角的正弦值．
20.设正数数列的前n项和为，已知．
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前n项和．
21.已知椭圆C：
上任意一点到椭圆左、右顶点的斜率之积为．
求椭圆C的离心率；
若直线与椭圆C相交于A、B两点，若的面积为，求椭圆C的方程．
22.已知函数．
求在点处的切线方程；
若，证明：
在上恒成立；
若方程有两个实数根，，且，证明：
．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：
，，0，1，，
9，3，，
．
故选：
A．
推导出，由此能求出结果．
本题考查集合的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：
i为虚数单位，
此复数的实部为，虚部为 ，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限，
故选：
D．
复数分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，化简复数到最简形式为、的形式，
分析实部和虚部的大小关系．
本题考查复数的实部和虚部的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．
根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．
【解答】
解：
在等比数列中，若，即，
，，
即，则，即成立，
若等比数列1，，4，，16，
满足，但不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：
A
4.【答案】D
【解析】
解：
根据实数x，y满足约束条件作出可行域，
如图所示阴影部分．
作出直线l：
，将直线l向上平移至过点时，取得最小值：
5．
则的取值范围是．
故选：
D．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用．本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：
由是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：
在A中，若，，，，
则l与相交、平行或，故A错误；
在B中，若，，，
则由线面垂直的判定定理得，故B正确；
在C中，若，，，则，故C错误；
在D中，若，，，则l与m相交、平行或异面，故D错误．
故选：
B．
在A中，l与相交、平行或；在B中，由线面垂直的判定定理得；在C中，；在D中，l与m相交、平行或异面．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】A
【解析】
解：
由三视图可得：
该几何是一个以侧视图为底面的四棱锥，
其底面面积，
高，
故棱锥的体积，
故选：
A．
由已知可得：
该几何是一个以侧视图为底面的四棱锥，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．
本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积和体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：
根据题意，由的图象：
为偶函数，并且当时，，
据此分析选项：
对于A，，，即函数为奇函数，不符合题意；
对于B，，，即函数为偶函数，当时，，符合题意；
对于C，，，即函数为奇函数，不符合题意；
对于D，，，即函数为偶函数，但时，，不符合题意；
故选：
B．
根据题意，由的图象分析可得为偶函数，并且当时，，据此分析选项，综合即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的判断分析，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：
由分布列可知：
，
，解得，，
故D．
故选：
C．
首先分析题目已知的分布列，利用期望求出a，b，再根据方差公式直接求得方差即可．
此题主要考查离散型随机变量的期望与方差的求法，对于分布列的理解与应用，是基本知识的考查．
9.【答案】C
【解析】解：
根据题意，函数，
当时，，，恒成立，
即是函数的零点，
故对任意的实数m，有零点，
故选：
C．
根据题意，由函数的解析式可得时，，，恒成立，即是函数的零点，据此分析可得答案．
本题考查函数零点的定义，涉及三角函数的性质，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：
列，满足：
，，，
所以，
则．
由于，
所以，
所以，
所以．
故选：
A．
首先利用数列的通项公式的应用和关系式的放缩求出，进一步利用平方法求出．
本题考查的知识要点：
数列的通项公式的应用，放缩法的应用，关系式的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
11.【答案】7 0
【解析】解：
，．
故答案为：
7，0．
进行对数和分数指数幂的运算即可．
考查对数和分数指数幂的运算．
12.【答案】
【解析】解：
设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，
由于大正方形面积为9，小正方形面积为4，
可得小正方形的边长为：
，
大正方形的边长为，
联立，解得，负值舍去，可得，
可得每个直角三角形的面积，
每个直角三角形的周长是．
故答案为：
，．
设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，由题意可知：
中间小正方形的边长为：
，大正方形的边长为，联立解得a，b的值，即可求解．
本题考查勾股定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，属于基础题．
13.【答案】4；108
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
令，可得的展开式中所有项的系数之和，再根据系数和为256，求得n；根据，展开求得含项的系数．
【解答】
解：
令，可得的展开式中所有项的系数之和为，则．
，
含项的系数是，
故答案为4；108．
14.【答案】
【解析】解：
，，，
由，可得：
，
则，
当且仅当时，取得等号，
即xy的最大值为，
，当且仅当时取等号，
故的最小值为，
故答案为：
，
直接利用关系式的恒等变换和均值不等式求出结果．
本题考查基本不等式的运用：
求最值，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题．
15.【答案】600
【解析】解：
某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教每地1人，
其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，
甲、丙同去，则乙不去，有种选法；
甲、丙同不去，乙去，有种选法；
甲、乙、丙都不去，有种选法，
共有种不同的选派方案．
故答案为：
600．
题目对于元素有限制，注意先安排有限制条件的元素，甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，甲、丙同去，则乙不去；甲、丙同不去，乙去；甲、乙、丙都不去，根据分类计数原理得到结果．
应用分类加法计数原理，首先确定分类标准，其次满足完成这件事的任何一种方法必属某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即做到不重不漏．
16.【答案】
【解析】
解：
如图为的垂直平分线，
可得，
且，
可得，，
由双曲线的定义可得，，
即有，
即有，，
，
由，可得，
可得，即，
所以双曲线的离心率为：
．
故答案为：
．
由垂直平分线性质定理可得，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，然后求双曲线的离心率．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．
17.【答案】
【解析】解：
由，得，，两式相加得，
又，所以，即，当且仅当与反向时等号成立，而，
当且仅当时等号成立，，当且仅当与反向，时等号成立，则的最大值为．
故答案为：
．
首先对两式，平方相加，然后利用三角不等式得，基本不等式得，从而求出的最大值．
本题考查了平面向量的模，基本不等式、三角不等式的应用，是中档题．
18.【答案】解：
，
，由正弦定理得：
，且，
，
或；
当A为锐角时，，则，
，
，
，
，
，
，
所求函数的取值范围．
【解析】根据即可得出，根据正弦定理即可得出，从而求出，这样即可求出A的大小；
据条件可得出，从而得出，并可得出，可求出的范围，进而求出的范围，从而求出原函数的取值范围．
考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，正弦定理，以及不等式的性质，两角和的正弦公式，以及三角函数的诱导公式．
19.【答案】解：
Ⅰ证明：
因为，，
所以≌，所以．
取BD的中点E，连接AE，PE，所以，．
所以面PAE．
又面PAE，所以．
Ⅱ解：
在中，根据余弦定理，得：
，
所以．
又因为，所以，，
所以，即．
设点C到平面PAB的距离为h，PC与平面PAB所成角为，
因为，即，
所以，
所以，
所以PC与平面PAB所成角的正弦值为．
【解析】Ⅰ推导出≌，取BD的中点E，连接AE，PE，推导出，从而面由此能证明．
Ⅱ由余弦定理，求出推导出设点C到平面PAB的距离为h，PC与平面PAB所成角为，由，求出，由此能求出PC与平面PAB所成角的正弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：
Ⅰ当时，，
解得．
根据已知条件转换为，
当时，
得，
即，
由于正数数列，
所以．
即常数
故数列是首项为1，公差为2的等差数列．
．
Ⅱ．
令前n项和为．
所以，
得．
所以，
整理得．
【解析】直接利用数列的递推关系式的应用，求出数列的通项公式．
利用的结论，进一步利用分组法的应用和裂项相消法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：
数列的通项公式的求法及应用，分组法和裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
21.【答案】解：
由题意，左右顶点的坐标分别为、，
，即，
又点P在椭圆上，，即
，则，
又，，
所以椭圆的离心率；
设，，
由得：
，
，，
又点O到直线的距离
的面积为，
，
，则
椭圆C的方程为．
【解析】写出左右顶点的坐标，计算出斜率之积，再结合椭圆的方程及a，b，c之间的关系即可得到离心率e的值；
联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式求出，再求出原点到直线的距离，根据面积即可求出椭圆方程．
本题考查椭圆中三角形面积问题，属于中档题．
22.【答案】解：
函数，由
，
由
，，
所以切线方程为，
当时，，所以．
故只需证，
构造，
，
又
在上单调递增，且
，知在上单调递增，
故因此，得证．
由知在点处的切线方程为．
构造，
，
．
当时，
；当时，
0'/>；
所以
在上单调递减，在上单调递增．
又
，
，
，所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
设方程的根
又
，由在R上单调递减，所以
．
另一方面，在点处的切线方程为．
构造．
，
．
当时，
；当时，
0'/>；
所以
在上单调递减，在上单调递增．
又
，
，
，所在上单调递减，在上单调递增．
所以．
设方程的根
．
又
，由在R上单调递增，
所以
．
，
，
，
所以
，得证．
【解析】由，，可得利用点斜式可得切线方程．
根据，当时，，所以故“在上恒成立”等价于“在上恒成立”，构造函数，只需证明最小值大于等于0即可．
由知在处的切线方程，令，求得导数和单调性，可得，解方程得其根
，运用函数的单调性，所以
，；另一方面，在点处的切线方程为，构造，同理可得，解方程得其根
，运用函数的单调性，所以
根据不等式的基本性质即可得出结论．
本题考查了导数的综合运用：
求切线的斜率切线方程，求函数单调性和最值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．
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