六年级奥数全套专题系列：数论.docx
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平方数、奇偶性、位值原理
知识框架
一、
完全平方数常用性质
特征
1.
1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p整除完全平方数a2，则p能被a
整除。
性质
2.
性质1：
完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．
性质2：
完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：
自然数N为完全平方数Û自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因
数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，
N是完全平方数，且p2n-1|N，则p2n|N．
性质4：
完全平方数的个位是6Û它的十位是奇数．
性质5：
如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一
个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．
性质6：
如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
一些重要的推论
3.
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余
2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：
00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，
09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个
“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不
是完全平方数。
重点公式回顾：
平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）
4.
二、
奇数和偶数
定义
1.
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫
做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
奇数与偶数的运算性质
2.
性质1：
偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质2：
偶数±奇数=奇数
性质3：
偶数个奇数的和或差是偶数
性质4：
奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：
偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
两个实用的推论
3.
推论1：
在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：
对于任意2个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶
三、
位值原理
当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，
只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤
里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地
写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示
它们，如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的
不同，表示的数值也不同。
既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，
因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表
示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝
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给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
a）
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，
每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示
2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写
数的位值原理。
位值原理的定义：
位值原理的表达形式：
解位值一共有三大法宝：
b）
以六位数为例：
abcdef=a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
c）
（2）利用十进制的展开形式，列等式解答
（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式
（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答
重难点
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯
粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本
讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有
时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，
但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
例题精讲
【例1】
已知：
1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?
【巩固】1234567654321´（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1）是
的平方．
各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是
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【例2】
1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是 ．
【巩固】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是
。
【例3】
已知自然数n满足：
12!
除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是
。
【巩固】考虑下列32个数：
1!
，2!
，3!
，……，32!
，请你去掉其中的一个数，使得其余
.
【例4】
有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个
数中最小数的最小值为
．
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【巩固】用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一
个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．
【例5】
计算11121L31－214222L432=A×A，求A．
2004个1 1002个2
【巩固】①414442L434814882L4389=A2，求A为多少?
2004个42003个8
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？
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【例6】
求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以
5后是5次方数．
【巩固】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
【例7】
一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数
是多少？
【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶
数的和是多少？
【例8】
能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说
明理由。
（1）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10
（2）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝27
【巩固】是否存在自然数a、b、c，使得（a-b）（b-c）（a-c）=45327？
【例9】
有一批文章共15篇，各篇文章的页数是1页、2页、3页、LL、14页和15页
的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章
的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？
【巩固】一本故事书共有30个故事，每个故事分别占1、2、3、…、30页（未必按这个顺
序）。
第一个故事从第1页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有 个故
事是从奇数页开始的。
【例10】能否将1~16这16个自然数填入4´4的方格表中（每个小方格只填一个数），使
得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数？
如果能填，请给出一种填法；
如果不能填，请说明理由．
【巩固】有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上
都写着数字1，第二组相对的面上都写着数字2，第三组相对的面上都写着数字3（如
图）．现在把这8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体.。
问：
是否有一种拼合
方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数?
21
3 3
12
D
C
A
B
H
G
E
F
【例11】甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与
乙、丙的位置共交换了9次，则比赛的结果甲是第
名．
【巩固】甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上．他们将卡片背面朝上，任
意混合之后，甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放
到麻袋里去了．甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：
“我知道你的两
张卡片上的数的和是偶数．”试问：
甲手中的三张卡片上都写了哪些数？
答案是否
唯一．
【例12】在黑板上写（2，2，2）三个数，把其中的一个2抹掉后，改写成其余两数的和
减1，得（2，2，3），再把两个2中的一个2抹掉后，写成其余两数的和减1，
得（2，4，3），再把2抹掉后写其余两数的和减1，得（6，4，3），继续这一过
程，是否能得到（859，263，597）？
【巩固】有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋和1000枚同样大小的黑棋子，小
盒内装有足够多的黑棋．康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：
若摸出的两枚棋
子同色，则从小盒内取一枚黑子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中
白棋子放回大盒内．问：
从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？
它
们都是什么颜色？
【例1
】
把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数
为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是
．
【巩固】几百年前，哥伦布发现美洲
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