实验八MATLAB状态空间分析.docx
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实验八MATLAB状态空间分析
实验八线性系统的状态空间分析
§8.1用MATLAB分析状态空间模型
1、状态空间模型的输入
线性定常系统状态空间模型
将各系数矩阵按常规矩阵形式描述。
在MATLAB里，用函数SS（）来建立状态空间模型
例8.1已知某系统微分方程
求该系统的状态空间模型。
解：
将上述微分方程写成状态空间形式
，
，
调用MATLAB函数SS（），执行如下程序
%MATLABProgramexample6.1.m
A=[01;-7-3];
B=[0;1];
C=[50];
D=0;
sys=ss（A,B,C,D）
运行后得到如下结果
a=
x1x2
x101
x2-7-3
b=
u1
x10
x21
c=
x1x2
y150
d=
u1
y10
Continuous-timemodel.
2、状态空间模型与传递函数模型转换
状态空间模型用sys表示，传递函数模型用G表示。
G=tf（sys）
sys=ss（G）
状态空间表达式向传递函数形式的转换
G=tf（sys）
Or[num,den]=ss2tf（A,B,C,D）多项式模型参数
[num,den]=ss2tf（A,B,C,D,iu）
[z,p,k]=ss2zp（A,B,C,D,iu）零、极点模型参数
iu用于指定变换所需的输入量，iu默认为单输入情况。
传递函数向状态空间表达式形式的转换
sys=ss（G）
or[A,B,C,D]=tf2ss（num,den）
[A,B,C,D]=zp2ss（z,p,k）
例8.2
试用矩阵组[a，b，c，d]表示系统，并求出传递函数。
%MATLABProgramexample6.2.m
a=[-0.560.05;-0.250];
b=[0.031.14;0.110];
c=[10;01];
d=zeros（2,2）;
sys=ss（a,b,c,d）
G1=tf（sys）
G2=zpk（sys）
运行后得到如下结果
a=
x1x2
x1-0.560.05
x2-0.250
b=
u1u2
x10.031.14
x20.110
c=
x1x2
y110
y201
d=
u1u2
y100
y200
Continuous-timemodel.
Transferfunctionfrominput1tooutput...
0.03s+0.0055
#1:
---------------------
s^2+0.56s+0.0125
0.11s+0.0541
#2:
---------------------
s^2+0.56s+0.0125
Transferfunctionfrominput2tooutput...
1.14s
#1:
---------------------
s^2+0.56s+0.0125
-0.285
#2:
---------------------
s^2+0.56s+0.0125
Zero/pole/gainfrominput1tooutput...
0.03（s+0.1833）
#1:
----------------------
（s+0.5367）（s+0.02329）
0.11（s+0.4918）
#2:
----------------------
（s+0.5367）（s+0.02329）
Zero/pole/gainfrominput2tooutput...
1.14s
#1:
----------------------
（s+0.5367）（s+0.02329）
-0.285
#2:
----------------------
（s+0.5367）（s+0.02329）
例8.3考虑下面给定的单变量系统传递函数
由下面的MATLAB语句直接获得状态空间模型。
>>num=[172424];
>>den=[110355024];
>>G=tf（num,den）;
>>sys=ss（G）
运行后得到如下结果：
a=
x1x2x3x4
x1-10-4.375-3.125-1.5
x28000
x30200
x40010
b=
u1
x12
x20
x30
x40
c=
x1x2x3x4
y10.50.43750.750.75
d=
u1
y10
Continuous-timemodel.
3.线性系统的非奇异变换与标准型状态空间表达式
syst=ss2ss（sys,T）
sys,syst分别为变换前、后系统的状态空间模型，T为非奇异变换阵。
[At,Bt,Ct,Dt]=ss2ss（A,B,C,D,T）
（A,B,C,D）、（At,Bt,Ct,Dt）分别为变换前、后系统的状态空间模型的系数矩阵。
§8.2利用MATLAB求解系统的状态方程
线性定常连续系统状态方程
，
，
状态响应
，
式中状态转移矩阵
，则有
，
1．用MATLAB中expm（A）函数计算状态转移矩阵
例8.4
，
，
①求当
时，状态转移矩阵即
；
>>A=[0-2;1-3];
>>dt=0.2;
>>phi=expm（A*dt）
得到如下结果
phi=
0.9671-0.2968
0.14840.5219
②计算
时系统的状态响应
2．用step（），impulse（）求阶跃输入，脉冲输入响应
例8.5连续二阶系统
求系统的单位阶跃响应
%MATLABProgramofexample4.5.m
A=[-0.7524-0.7268;0.72680];
B=[1-1;02];
C=[2.87768.9463];
D=0;
step（A,B,C,D）;
figure
（1）
gridon;
title（'单位阶跃响应'）
xlabel（'时间'）
ylabel（'振幅'）
运行结果
3．用initial（）函数，求系统的零输入响应
[y,t,x]=initial（sys,x0）
6.5例中，当输入
时，状态初值
A=[-0.7524-0.7268;0.72680];
B=[1-1;02];
C=[2.87768.9463];
D=0;
t=[0:
0.01:
15];u=0;
sys=ss（A,B,C,D）;
x0=[0.20.2];
[y,t,x]=initial（sys,x0,t）
plot（t,x）
运行结果
§8.3系统的可控性与可观性分析
1.线性定常系统的可控性分析
可控性矩阵
，
系统完全可控
。
在MATLAB中，可用
函数求可控性矩阵
例8.6
，判断系统的可控性。
℅MATLABprogramofexample6.6.m
A=[120;110;001];
B=[01;10;11];
n=3;
CAM=ctrb（A,B）;
rcam=rank（CAM）;
ifrcam==n
disp（'systemiscontrolled'）
elseifrcamdisp（'systemisnotcontrolled'）
end
执行结果
systemiscontrolled
例8.7
将该系统状态方程转换为可控标准型。
变换矩阵
℅MATLABProgramofexample6.7.m
A=[-22-2;0-10;2-61];
b=[0;1;2];
s=ctrb（A,b）;
ifdet（s）~=0
s1=inv（s）;
end
P=[s1（3,:
）;s1（3,:
）*A;s1（3,:
）*A*A];
PT=inv（P）;
A1=P*A*PT%（Ac=PAP^）
b1=P*b%（bc=P*b）
运行结果
A1=
0.00001.0000-0.0000
-0.000001.0000
-2.0000-3.0000-2.0000
b1=
0
0
1.0000
这样可得可控标准型矩阵
2.线性定常系统的可观性分析
可观性矩阵
系统可观
在MATLAB中，可用函数
确定可观性矩阵。
例8.8
，
确定可观性。
%MATLABProgramofexample4.8.m
A=[-23;3-2];
B=[11;11];
C=[21;1-2];
D=0;
n=2;
ob=obsv（A,C）;
roam=rank（ob）;
ifroam==n
disp（'systemisobservable'）
elseifroam~=n
disp（'systemisnoobservable'）
end
运行结果
systemisobservable
§8.4用MATLAB实现极点配置
1.调用place函数进行极点配置
k=place（A,B,P）
A,B为系统系数矩阵，P为配置极点，k为反馈增益矩阵。
例8.9给定状态方程
，
将极点配置在
，确定反馈增益矩阵k。
%MATLABProgramofexample4.9.m
A=[0100;00-10;0001;00110];
B=[0;1;0;-1];
eig（A）';
P=[-1;-2;-1+sqrt（-1）;-1-sqrt（-1）];
k=place（A,B,P）
eig（A-B*k）'
运行结果如下：
k=
-0.4000-1.0000-21.4000-6.0000
ans=
-2.0000-1.0000-1.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000
2.调用Ackerann公式计算状态反馈矩阵k
A=[0100;00-10;0001;00110];
b=[0;1;0;-1];
eig（A）'
P=[-1;-2;-1+sqrt（-1）;-1-sqrt（-1）];
k=ACKER（A,b,P）
eig（A-b*k）'
运行结果
k=
-0.4000-1.0000-21.4000-6.0000
§8.5用MATLAB设计状态观测器
例6.10已知系统状态方程
，
（1）判别可观性；
（2）若系统可观，设计全维状态观测器，使闭环极点为
。
%example4.10
%输入系统状态方程
a=[0100;00-10;0001;00110];
b=[0;1;0;-1];
c=[1000];
n=4;
%计算可观性矩阵
ob=obsv（a,c）;
roam=rank（ob）;
%判断可观性
ifroam==n
disp（'systemisobservable'）
elseifroam~=n
disp（'systemisnoobservable'）
end
%求解反馈增益矩阵
a=[0100;00-10;0001;00110];
b=[0;1;0;-1];
c=[1000];
p1=[-2;-3;-2+sqrt（-1）;-2-sqrt（-1）]
a1=a';
b1=c';
c1=b';
k=acker（a1,b1,p1）
%求解系统矩阵
h=（k）'
ahc=a-h*c
运行结果
systemisobservable
h=
9
42
-148
-492
ahc=
-9100
-420-10
148001
4920110
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