届浙江新高考数学一轮复习教师用书第一章 2 第2讲 命题及其关系充分条件与必要条件.docx

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届浙江新高考数学一轮复习教师用书第一章2第2讲命题及其关系充分条件与必要条件

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

（1）四种命题间的相互关系

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且

p

p是q的必要不充分条件

p

q且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

p

q且q

p

[疑误辨析]

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）“x2＋2x－3＜0”是命题．（　　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．（　　）

（3）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．（　　）

（4）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　　）

（5）q不是p的必要条件时，“p

q”成立．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√　（5）√

[教材衍化]

1．（选修2－1P12A组T2改编）命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________，是________命题（填“真”或“假”）

解析：

根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

答案：

若x≤y，则x2≤y2　假

2．（选修2－1P12A组T3改编）设x∈R，则“2－x≥0”是“（x－1）2≤1”的________条件．

解析：

2－x≥0，则x≤2，（x－1）2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“（x－1）2≤1”的必要不充分条件．

答案：

必要不充分

[易错纠偏]

（1）命题的条件与结论不明确；

（2）对充分必要条件判断错误．

1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．

答案：

若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0

2．条件p：

x>a，条件q：

x≥2.

（1）若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；

（2）若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．

解析：

设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，

（1）因为p是q的充分不必要条件，

所以AB，所以a≥2；

（2）因为p是q的必要不充分条件，

所以BA，所以a<2.

答案：

（1）a≥2　

（2）a<2

　　　　　　四种命题的相互关系及真假判断

（1）（2020·浙江重点中学模拟）已知命题p：

“正数a的平方不等于0”，命题q：

“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的（　　）

A．逆命题　　　　　　　　B．否命题

C．逆否命题D．否定

（2）（2020·温州模拟）命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是（　　）

A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0

B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

【解析】　

（1）命题p：

“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题，故选B.

（2）将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.

【答案】　

（1）B　

（2）D

（1）写一个命题的其他三种命题时需关注2点

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

[提醒]　四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．

（2）判断命题真假的2种方法

①直接判断：

判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

②间接判断：

当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．　

1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是（　　）

A．若a2>b2，则a≤b　　　　B．若a2≤b2，则a≤b

C．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2

解析：

选B.根据命题的否命题若“﹁p，则﹁q”知选B.

2．下列命题中为真命题的是（　　）

A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题

B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若

＞1，则x＞1”的逆否命题

解析：

选B.对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若

＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则

≤1”，易知为假命题，故选B.

　　　　　　充分条件、必要条件的判断（高频考点）

充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．主要命题角度有：

（1）判断指定条件与结论之间的关系；

（2）与命题的真假性相交汇命题．

角度一　判断指定条件与结论之间的关系

（1）（2019·高考浙江卷）设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

（2）（2018·高考浙江卷）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】　

（1）通解：

因为a>0，b>0，所以a＋b≥2

，由a＋b≤4可得2

≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝

，满足ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立，所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.

优解：

在同一坐标系内作出函数b＝4－a，b＝

的图象，如图，则不等式a＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方（第一象限中的部分）与曲线b＝

及其左下方（第一象限中的部分），易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．故选A.

（2）若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.

【答案】　

（1）A　

（2）A

角度二　与命题的真假性相交汇命题

（2020·杭州模拟）下列有关命题的说法正确的是（　　）

A．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件

B．p：

A∩B＝A；q：

AB，则p是q的充分不必要条件

C．已知数列{an}，若p：

对于任意的n∈N*，点Pn（n，an）都在直线y＝2x＋1上；q：

{an}为等差数列，则p是q的充要条件

D．“x<0”是“ln（1＋x）<0”的必要不充分条件

【解析】　选项A：

当x＝－1时，x2－5x－6＝0，所以x＝－1是x2－5x－6＝0的充分条件，故A错．

选项B：

因为A∩B＝A

AB（如A＝B），

而AB⇒A∩B＝A，从而p

q，q⇒p，

所以p是q的必要不充分条件，故B错．

选项C：

因为Pn（n，an）在直线y＝2x＋1上．

所以an＝2n＋1（n∈N*），

则an＋1－an＝2（n＋1）＋1－（2n＋1）＝2，

又由n的任意性可知数列{an}是公差为2的等差数列，即p⇒q.

但反之则不成立，如：

令an＝n，则{an}为等差数列，但点（n，n）不在直线y＝2x＋1上，从而q

p.

从而可知p是q的充分不必要条件，故C错．

选项D：

利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln（x＋1）<0⇔0

【答案】　D

判断充要条件的3种常用方法

（1）定义法：

直接判断若p则q、若q则p的真假．

（2）等价法：

利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

（3）利用集合间的包含关系判断：

若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．　

[提醒]　判断充要条件需注意3点

（1）要分清条件与结论分别是什么．

（2）要从充分性、必要性两个方面进行判断．

（3）直接判断比较困难时，可举出反例说明．

1．（2020·杭州市富阳二中高三开学检测）若a，b为实数，则“3a<3b”是“

>

”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选D.根据题意，若“3a<3b”，则有a

>

”不一定成立，如a＝－3，b＝1；若“

>

”，则有|a|<|b|，“3a<3b”不一定成立，如a＝1，b＝－3，故“3a<3b”是“

>

”的既不充分也不必要条件．

2．（2020·“超级全能生”高考浙江省联考）已知函数f（x）＝sinx，x∈[0，2π），则“f（x）≥0”是“f（x2）≥0”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选B.由f（x）≥0⇒x∈[0，π]，由f（x2）≥0⇒x2∈[0，π]⇒x∈[0，

]，

因为[0，

]⊆[0，π]，由集合性质可知为必要不充分条件．

　　　　　　充分条件、必要条件的应用

（1）已知p：

|x＋1|＞2，q：

x＞a，且﹁p是﹁q的充分不必要条件，则a的取值范围是（　　）

A．a≤1B．a≤－3

C．a≥－1D．a≥1

（2）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．

【解析】　

（1）由|x＋1|＞2，解得x＞1或x＜－3，

因为﹁p是﹁q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，

从而可得（a，＋∞）是（－∞，－3）∪（1，＋∞）的真子集，

所以a≥1，故选D.

（2）由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

所以P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

所以0≤m≤3.

所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，

即所求m的取值范围是[0，3]．

【答案】　

（1）D　

（2）[0，3]

（变问法）本例

（2）条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：

由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，

因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，

所以P⇒S且S⇒/P.

所以[－2，10][1－m，1＋m]．

所以

或

所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．

利用充要条件求参数应关注2点

（1）巧用转化求参数：

把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．

（2）端点取值慎取舍：

在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．

[提醒]　含有参数的问题，要注意分类讨论．　

　（2020·金华一模）已知命题p：

实数m满足m2＋12a2<7am（a>0），命题q：

实数m满足方程

＋

＝1表示焦点在y轴上的椭圆．若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．

解析：

由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a

3a0.

由

＋

＝1表示焦点在y轴上的椭圆，

可得2－m>m－1>0，解得1

，

即命题q：

1

.

因为p是q的充分不必要条件，所以

，

解得

≤a≤

，

所以实数a的取值范围是

.

答案：

[基础题组练]

1．下列命题是真命题的是（　　）

A．若

＝

，则x＝y　　　B．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则

＝

D．若x＜y，则x2＜y2

解析：

选A.由

＝

得x＝y，A正确；由x2＝1得x＝±1，B错误；

由x＝y，

，

不一定有意义，C错误；由x＜y不一定能得到x2＜y2，如x＝－2，y＝－1，D错误，故选A.

2．命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是（　　）

A．若x≤0，则x≤1B．若x≤0，则x＞1

C．若x＞0，则x≤1D．若x＜0，则x＜1

解析：

选A.依题意，命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是“若x≤0，则x≤1”，故选A.

3．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选D.特值法：

当a＝10，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0

ab＞0；当a＝－2，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，所以ab＞0

a＋b＞0.故“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．

4．（2020·金华市东阳二中高三调研）若“0

A．[－1，0]

B．（－1，0）

C．（－∞，0]∪[1，＋∞）

D．（－∞，－1]∪[0，＋∞）

解析：

选A.由（x－a）[x－（a＋2）]≤0得a≤x≤a＋2，

要使“0

，所以－1≤a≤0.

5．（2020·杭州中学高三月考）已知a，b∈R，条件p：

“a>b”，条件q：

“2a>2b－1”，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：

选A.由条件p：

“a>b”，再根据函数y＝2x是增函数，可得2a>2b，所以2a>2b－1，故条件q：

“2a>2b－1”成立，故充分性成立．

但由条件q：

“2a>2b－1”成立，不能推出条件p：

“a>b”成立，例如由20>20－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．故p是q的充分不必要条件，故选A.

6．已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是（　　）

A．|a|＋|b|≥4

B．|a|≥4

C．|a|≥2且|b|≥2

D．b<－4

解析：

选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5.

7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选B.当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选C.设△ABC外接圆的半径为R，若sinA＞sinB，则2RsinA＞2RsinB，即a＞b；若a＞b，则

＞

，即sinA＞sinB，所以在△ABC中，“sinA＞sinB”是“a＞b”的充要条件，故选C.

9．设向量a＝（1，x－1），b＝（x＋1，3），则“x＝2”是“a∥b”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A.依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝（x－1）（x＋1），即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.

10．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（　　）

A．p：

x＝1，q：

x2＝x

B．p：

|a|>|b|，q：

a2>b2

C．p：

x>a2＋b2，q：

x>2ab

D．p：

a＋c>b＋d，q：

a>b且c>d

解析：

选D.A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1⇒/x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|>|b|，根据不等式的性质可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但是ad，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.

11．对于原命题：

“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．

解析：

原命题为真命题，故逆否命题为真；

逆命题：

若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2.

答案：

2

12．函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．

解析：

已知函数f（x）＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.

答案：

m＝－2

13已知α：

x≥a，β：

|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

解析：

α：

x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，

因为β：

|x－1|<1，所以0

所以β可看作集合B＝{x|0

又因为α是β的必要不充分条件．

所以BA，所以a≤0.

答案：

（－∞，0]

14．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的________条件（只填充分不必要、必要不充分、充分必要，既不充分也不必要）．

解析：

因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；又直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．

答案：

必要不充分

15．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：

由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得

解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.

答案：

[－3，0]

16．已知p：

≤2，q：

1－m≤x≤1＋m（m>0），且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为________．

解析：

法一：

由

≤2，得－2≤x≤10，

所以綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，

设A＝{x|x>10或x<－2}．

1－m≤x≤1＋m（m>0），

所以綈q对应的集合为{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}，

设B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}．

因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件，所以BA，

所以

且不能同时取得等号．

解得m≥9，所以实数m的取值范围为[9，＋∞）．

法二：

因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件，

所以q是p的必要而不充分条件．

即p是q的充分而不必要条件，

因为q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，

设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，

又由

≤2，得－2≤x≤10，

所以p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，

设N＝{x|－2≤x≤10}．

由p是q的充分而不必要条件知NM，

所以

且不能同时取等号，解得m≥9.

所以实数m的取值范围为[9，＋∞）．

答案：

[9，＋∞）

17．给出下列命题：

①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；

②“x＜0”是“ln（x＋1）＜0”的必要不充分条件；

③“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；

④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0”．其中正确命题的序号是________．（把所有正确命题的序号都写上）

解析：

①因为“a＝3”可以推出“A⊆B”，但“A⊆B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；②“x＜0”不能推出“ln（x＋1）＜0”，但“ln（x＋1）＜0”可以推出“x＜0”，所以“x＜0”是“ln（x＋1）＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f（x）＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，若其最小正周期为π，则

＝π⇒a＝±1，因此“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”，但由“a·b＜0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a·b＜0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.

答案：

①②

[综合题组练]

1．设θ∈R，则“

<

”是“sinθ<

”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：

选A.因为

＜

⇔－

＜θ－

＜

⇔0＜θ＜

，

sinθ＜

⇔θ∈

，k∈Z，

，k∈Z，

所以“

＜

”是“sinθ＜

”的充分而不必要条件．

2．已知集合A＝

，B＝{x|－1

解析：

因为A＝

＝{x|－1

所以AB，所以m＋1>3，即m>2.

答案：

m＞2

3．已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）”．

（1）写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；

（2）写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

解：

（1）否命题：

已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f（a）＋f（b）

因为a＋b<0，所以a<－b，b<－a.

又因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数．所以f（a）

（2）逆否命题：

已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，a，b∈R，若f（a）＋f（b）

真命题，可通过证明原命题为真来证