届浙江新高考数学一轮复习教师用书第一章 2 第2讲 命题及其关系充分条件与必要条件.docx
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届浙江新高考数学一轮复习教师用书第一章2第2讲命题及其关系充分条件与必要条件
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则﹁q”.( )
(3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )
(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(5)q不是p的必要条件时,“p
q”成立.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)√ (4)√ (5)√
[教材衍化]
1.(选修2-1P12A组T2改编)命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是________,是________命题(填“真”或“假”)
解析:
根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.
答案:
若x≤y,则x2≤y2 假
2.(选修2-1P12A组T3改编)设x∈R,则“2-x≥0”是“(x-1)2≤1”的________条件.
解析:
2-x≥0,则x≤2,(x-1)2≤1,则-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,据此可知,“2-x≥0”是“(x-1)2≤1”的必要不充分条件.
答案:
必要不充分
[易错纠偏]
(1)命题的条件与结论不明确;
(2)对充分必要条件判断错误.
1.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是________.
答案:
若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0
2.条件p:
x>a,条件q:
x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________;
(2)若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是________.
解析:
设A={x|x>a},B={x|x≥2},
(1)因为p是q的充分不必要条件,
所以AB,所以a≥2;
(2)因为p是q的必要不充分条件,
所以BA,所以a<2.
答案:
(1)a≥2
(2)a<2
四种命题的相互关系及真假判断
(1)(2020·浙江重点中学模拟)已知命题p:
“正数a的平方不等于0”,命题q:
“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题D.否定
(2)(2020·温州模拟)命题“若x2+y2=0,x,y∈R,则x=y=0”的逆否命题是( )
A.若x≠y≠0,x,y∈R,则x2+y2=0
B.若x=y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0
C.若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0
D.若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0
【解析】
(1)命题p:
“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题,故选B.
(2)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由x=y=0知x=0且y=0,其否定是x≠0或y≠0.
【答案】
(1)B
(2)D
(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点
①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写.
②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
[提醒] 四种命题的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.
(2)判断命题真假的2种方法
①直接判断:
判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
②间接判断:
当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
1.命题“若a2>b2,则a>b”的否命题是( )
A.若a2>b2,则a≤b B.若a2≤b2,则a≤b
C.若a≤b,则a2>b2D.若a≤b,则a2≤b2
解析:
选B.根据命题的否命题若“﹁p,则﹁q”知选B.
2.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若
>1,则x>1”的逆否命题
解析:
选B.对于A,命题“若x>1,则x2>1”的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故为假命题;对于B,命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”,分析可知为真命题;对于C,命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故为假命题;对于D,命题“若
>1,则x>1”的逆否命题为“若x≤1,则
≤1”,易知为假命题,故选B.
充分条件、必要条件的判断(高频考点)
充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面.主要命题角度有:
(1)判断指定条件与结论之间的关系;
(2)与命题的真假性相交汇命题.
角度一 判断指定条件与结论之间的关系
(1)(2019·高考浙江卷)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】
(1)通解:
因为a>0,b>0,所以a+b≥2
,由a+b≤4可得2
≤4,解得ab≤4,所以充分性成立;当ab≤4时,取a=8,b=
,满足ab≤4,但a+b>4,所以必要性不成立,所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.
优解:
在同一坐标系内作出函数b=4-a,b=
的图象,如图,则不等式a+b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a+b=4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b=
及其左下方(第一象限中的部分),易知当a+b≤4成立时,ab≤4成立,而当ab≤4成立时,a+b≤4不一定成立.故选A.
(2)若m⊄α,n⊂α,m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α,m⊄α,n⊂α,不一定推出m∥n,直线m与n可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A.
【答案】
(1)A
(2)A
角度二 与命题的真假性相交汇命题
(2020·杭州模拟)下列有关命题的说法正确的是( )
A.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
B.p:
A∩B=A;q:
AB,则p是q的充分不必要条件
C.已知数列{an},若p:
对于任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上;q:
{an}为等差数列,则p是q的充要条件
D.“x<0”是“ln(1+x)<0”的必要不充分条件
【解析】 选项A:
当x=-1时,x2-5x-6=0,所以x=-1是x2-5x-6=0的充分条件,故A错.
选项B:
因为A∩B=A
AB(如A=B),
而AB⇒A∩B=A,从而p
q,q⇒p,
所以p是q的必要不充分条件,故B错.
选项C:
因为Pn(n,an)在直线y=2x+1上.
所以an=2n+1(n∈N*),
则an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2,
又由n的任意性可知数列{an}是公差为2的等差数列,即p⇒q.
但反之则不成立,如:
令an=n,则{an}为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上,从而q
p.
从而可知p是q的充分不必要条件,故C错.
选项D:
利用充分条件和必要条件的概念判断.因为ln(x+1)<0⇔0【答案】 D
判断充要条件的3种常用方法
(1)定义法:
直接判断若p则q、若q则p的真假.
(2)等价法:
利用A⇒B与﹁B⇒﹁A,B⇒A与﹁A⇒﹁B,A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:
若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
[提醒] 判断充要条件需注意3点
(1)要分清条件与结论分别是什么.
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断.
(3)直接判断比较困难时,可举出反例说明.
1.(2020·杭州市富阳二中高三开学检测)若a,b为实数,则“3a<3b”是“
>
”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选D.根据题意,若“3a<3b”,则有a
>
”不一定成立,如a=-3,b=1;若“
>
”,则有|a|<|b|,“3a<3b”不一定成立,如a=1,b=-3,故“3a<3b”是“
>
”的既不充分也不必要条件.
2.(2020·“超级全能生”高考浙江省联考)已知函数f(x)=sinx,x∈[0,2π),则“f(x)≥0”是“f(x2)≥0”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选B.由f(x)≥0⇒x∈[0,π],由f(x2)≥0⇒x2∈[0,π]⇒x∈[0,
],
因为[0,
]⊆[0,π],由集合性质可知为必要不充分条件.
充分条件、必要条件的应用
(1)已知p:
|x+1|>2,q:
x>a,且﹁p是﹁q的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A.a≤1B.a≤-3
C.a≥-1D.a≥1
(2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若“x∈P”是“x∈S”的必要条件,则m的取值范围为________.
【解析】
(1)由|x+1|>2,解得x>1或x<-3,
因为﹁p是﹁q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件,
从而可得(a,+∞)是(-∞,-3)∪(1,+∞)的真子集,
所以a≥1,故选D.
(2)由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
所以P={x|-2≤x≤10},
由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.
则
所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,
即所求m的取值范围是[0,3].
【答案】
(1)D
(2)[0,3]
(变问法)本例
(2)条件不变,若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解:
由例题知P={x|-2≤x≤10},
因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件,
所以P⇒S且S⇒/P.
所以[-2,10][1-m,1+m].
所以
或
所以m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).
利用充要条件求参数应关注2点
(1)巧用转化求参数:
把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)端点取值慎取舍:
在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍.
[提醒] 含有参数的问题,要注意分类讨论.
(2020·金华一模)已知命题p:
实数m满足m2+12a2<7am(a>0),命题q:
实数m满足方程
+
=1表示焦点在y轴上的椭圆.若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为________.
解析:
由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a3a0.
由
+
=1表示焦点在y轴上的椭圆,
可得2-m>m-1>0,解得1,
即命题q:
1.
因为p是q的充分不必要条件,所以
,
解得
≤a≤
,
所以实数a的取值范围是
.
答案:
[基础题组练]
1.下列命题是真命题的是( )
A.若
=
,则x=y B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则
=
D.若x<y,则x2<y2
解析:
选A.由
=
得x=y,A正确;由x2=1得x=±1,B错误;
由x=y,
,
不一定有意义,C错误;由x<y不一定能得到x2<y2,如x=-2,y=-1,D错误,故选A.
2.命题“若x>1,则x>0”的逆否命题是( )
A.若x≤0,则x≤1B.若x≤0,则x>1
C.若x>0,则x≤1D.若x<0,则x<1
解析:
选A.依题意,命题“若x>1,则x>0”的逆否命题是“若x≤0,则x≤1”,故选A.
3.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选D.特值法:
当a=10,b=-1时,a+b>0,ab<0,故a+b>0
ab>0;当a=-2,b=-1时,ab>0,但a+b<0,所以ab>0
a+b>0.故“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.
4.(2020·金华市东阳二中高三调研)若“0A.[-1,0]
B.(-1,0)
C.(-∞,0]∪[1,+∞)
D.(-∞,-1]∪[0,+∞)
解析:
选A.由(x-a)[x-(a+2)]≤0得a≤x≤a+2,
要使“0,所以-1≤a≤0.
5.(2020·杭州中学高三月考)已知a,b∈R,条件p:
“a>b”,条件q:
“2a>2b-1”,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
选A.由条件p:
“a>b”,再根据函数y=2x是增函数,可得2a>2b,所以2a>2b-1,故条件q:
“2a>2b-1”成立,故充分性成立.
但由条件q:
“2a>2b-1”成立,不能推出条件p:
“a>b”成立,例如由20>20-1成立,不能推出0>0,故必要性不成立.故p是q的充分不必要条件,故选A.
6.已知a,b∈R,则使|a|+|b|>4成立的一个充分不必要条件是( )
A.|a|+|b|≥4
B.|a|≥4
C.|a|≥2且|b|≥2
D.b<-4
解析:
选D.由b<-4可得|a|+|b|>4,但由|a|+|b|>4得不到b<-4,如a=1,b=5.
7.已知直线l,m,其中只有m在平面α内,则“l∥α”是“l∥m”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选B.当l∥α时,直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能,所以l∥m不一定成立;当l∥m时,根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α,即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件,故选B.
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“sinA>sinB”是“a>b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选C.设△ABC外接圆的半径为R,若sinA>sinB,则2RsinA>2RsinB,即a>b;若a>b,则
>
,即sinA>sinB,所以在△ABC中,“sinA>sinB”是“a>b”的充要条件,故选C.
9.设向量a=(1,x-1),b=(x+1,3),则“x=2”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选A.依题意,注意到a∥b的充要条件是1×3=(x-1)(x+1),即x=±2.因此,由x=2可得a∥b,“x=2”是“a∥b”的充分条件;由a∥b不能得到x=2,“x=2”不是“a∥b”的必要条件,故“x=2”是“a∥b”的充分不必要条件,选A.
10.下列选项中,p是q的必要不充分条件的是( )
A.p:
x=1,q:
x2=x
B.p:
|a|>|b|,q:
a2>b2
C.p:
x>a2+b2,q:
x>2ab
D.p:
a+c>b+d,q:
a>b且c>d
解析:
选D.A中,x=1⇒x2=x,x2=x⇒x=0或x=1⇒/x=1,故p是q的充分不必要条件;B中,因为|a|>|b|,根据不等式的性质可得a2>b2,反之也成立,故p是q的充要条件;C中,因为a2+b2≥2ab,由x>a2+b2,得x>2ab,反之不成立,故p是q的充分不必要条件;D中,取a=-1,b=1,c=0,d=-3,满足a+c>b+d,但是ad,反之,由同向不等式可加性得a>b,c>d⇒a+c>b+d,故p是q的必要不充分条件.综上所述,故选D.
11.对于原命题:
“已知a、b、c∈R,若ac2>bc2,则a>b”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,真命题的个数为________.
解析:
原命题为真命题,故逆否命题为真;
逆命题:
若a>b,则ac2>bc2为假命题,故否命题为假命题,所以真命题个数为2.
答案:
2
12.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是________.
解析:
已知函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称,则m=-2;反之也成立.所以函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
答案:
m=-2
13已知α:
x≥a,β:
|x-1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________.
解析:
α:
x≥a,可看作集合A={x|x≥a},
因为β:
|x-1|<1,所以0所以β可看作集合B={x|0又因为α是β的必要不充分条件.
所以BA,所以a≤0.
答案:
(-∞,0]
14.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“a⊥b”是“α⊥β”的________条件(只填充分不必要、必要不充分、充分必要,既不充分也不必要).
解析:
因为α⊥β,b⊥m,所以b⊥α,又直线a在平面α内,所以a⊥b;又直线a,m不一定相交,所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件.
答案:
必要不充分
15.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.
解析:
由题意知ax2-2ax-3≤0恒成立,当a=0时,-3≤0成立;当a≠0时,得
解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.
答案:
[-3,0]
16.已知p:
≤2,q:
1-m≤x≤1+m(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为________.
解析:
法一:
由
≤2,得-2≤x≤10,
所以綈p对应的集合为{x|x>10或x<-2},
设A={x|x>10或x<-2}.
1-m≤x≤1+m(m>0),
所以綈q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0},
设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.
因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件,所以BA,
所以
且不能同时取得等号.
解得m≥9,所以实数m的取值范围为[9,+∞).
法二:
因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件,
所以q是p的必要而不充分条件.
即p是q的充分而不必要条件,
因为q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0},
设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},
又由
≤2,得-2≤x≤10,
所以p对应的集合为{x|-2≤x≤10},
设N={x|-2≤x≤10}.
由p是q的充分而不必要条件知NM,
所以
且不能同时取等号,解得m≥9.
所以实数m的取值范围为[9,+∞).
答案:
[9,+∞)
17.给出下列命题:
①已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件;
②“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件;
③“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的充要条件;
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”.其中正确命题的序号是________.(把所有正确命题的序号都写上)
解析:
①因为“a=3”可以推出“A⊆B”,但“A⊆B”不能推出“a=3”,所以“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件,故①正确;②“x<0”不能推出“ln(x+1)<0”,但“ln(x+1)<0”可以推出“x<0”,所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件,故②正确;③f(x)=cos2ax-sin2ax=cos2ax,若其最小正周期为π,则
=π⇒a=±1,因此“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件,故③错误;④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b<0”,但由“a·b<0”,得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”,所以“a·b<0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件,故④错误.正确命题的序号是①②.
答案:
①②
[综合题组练]
1.设θ∈R,则“
<
”是“sinθ<
”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
选A.因为
<
⇔-
<θ-
<
⇔0<θ<
,
sinθ<
⇔θ∈
,k∈Z,
,k∈Z,
所以“
<
”是“sinθ<
”的充分而不必要条件.
2.已知集合A=
,B={x|-1解析:
因为A=
={x|-1所以AB,所以m+1>3,即m>2.
答案:
m>2
3.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.
(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论;
(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.
解:
(1)否命题:
已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)因为a+b<0,所以a<-b,b<-a.
又因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.所以f(a)(2)逆否命题:
已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)真命题,可通过证明原命题为真来证