管理数量方法与分析复习要点.docx

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管理数量方法与分析复习要点

管理数量方法与分析复习要点

第1章数据分析的基础

1.1数据分组与变量数列

1.数据分组：

数据分组就是对某一变量的不同取值，按照其自身变动特点和研究需要划分成不同的组别，以便更好地研究该变量分布特征及变动规律.由于变量有离散变量与连续变量的区别，因而对其进行分组可分为单项分组与组距分组两种不同的分组方法。

若变量是离散型变量，且取值只有不多的几个时，则采用单项分组.这种分组的做法是：

将变量的不同取值作为一组的组别，变量有多少个不同取值就划分成多少组。

若变量是连续型变量，或者是取值较多的离散型变量，则需采用组距分组.这种分组的做法是2将变量的全部取值按照其大小顺序划分成若干个不同数值的区间。

2.变量数列

（1）变量数列的概念

在对变量取值进行分组的基础上，将各组不同的变量值与其变量值出现的次数排列成的数列，称为变量数列。

由于对变量分组有单项分组和组距分组两种不同的方法，因而分组后所形成的变量数列也有单项数列和组距数列两种

（2）累计频数和累计频率

向上累计频数（或频率）的具体做法是：

由变量值低的组向变量值高的组依次累计频数（或频率）.向上累计频数的结果表明某组上限以下的各组次数（或频数）之和是多少;向上累计频率的结果表明某组上限以下的各组次数（或频数）之和占总次数（或总频数）的比重是多少.

向下累计频数（或频率）的具体做法是：

由变量值高的组向变量值低的组依次累计频数（或频率）.向下累计频数的结果表现某组下限及以上各组次数（或频数）之和是多少；向下累计频率的结果表明某组下限及以上各组次数（或频数）之和占总次数（或总频数）的比重。

（3）变量数列分布图：

常用的次数分布图主要有柱状图、直方图和折线图等几种。

1.2分布中心的测度

1.分布中心的概念及意义

分布中心是指距离一个变量的所有取值最近的位置。

揭示变量的分布中心有着十分重要的意义：

（1）变量的分布中心是变量取值的一个代表，可以用来反映其取值的一般水平.

（2）变量的分布中心可以揭示其取值的次数分布在直角坐标系上的集中位置，可以用来反映变量分布密度曲线的中心位置，即对称中心或尖峰位置.

2.分布中心的测度指标及其计算方法

（1）算术平均数

设某一变量的x不同取值为XI，X2，…，xn，则计算其算术平均数的公式为:

式中：

代表算术平均数；

代表变量值总和；n代表变量值个数之和

②加权算术平均数z如果所掌握的资料是已经经过分组整理的变量数列资料，包括单项分组的单项数列和组距分组的组距数列，要计算其变量值的算术平均数都需要采用加权算术平均的方法。

设x1，x2，∙∙∙，xn代表各组的变量值，f1，f2，···，fn代表各组变量值出现的次数。

也称权数。

则加权算术平均数的计算公式为：

（2）中位数：

中位数是指将某一变量的变量值按照从小到大的顺序排成一列，位于这列数中心位置上的那个变量值.

由于所掌握的资料不同，确定中位数的方法也有所区别：

①未分组资料中位数的确定.

②单项数列中位数的确定.

③组距数列中位数的确定.

（3）众数：

众数是指某一变量的全部取值中出现次数最多的那个变量值.

由于掌握资料不同，众数的确定方法也有所不同.若掌握某一变量的一组未分组的变量值，则只需要统计出现次数最多的那个变量值即可g若掌握的资料是单项数列，则频数（或频率）最大组的变量值就是众数.若掌握的资料是组距数列，要确定众数，首先依据各组变量值出现次数的多少确定众数所在的组，然后采用上限公式或者下限公式确定众数即可.

1.3离散程度的测度

1.离散程度测度的意义

（1）通过对变量取值之间离散程度的测定，可以反映各个变量值之间的差异大小，从而也就可以反映分布中心指标对各个变量值代表性的高低.

（2）通过对变量取值之间离散程度的测定，可以大致反映变量次数分布密度曲线的形状.

2.离散程度的测度指标

（1）极差：

极差又称全距，是指一组变量值中最大变量值与最小变量值之差，用来表示变量的变动范围.通常用R代表全距.

R=max（xi）-min（xi）

（2）四分位全距：

四分位全距是指将一组由小到大排列的变量数列分成四等分，可得到三个分割点Q1、Q2、Q3，分别称为第一个、第二个、第三个四分位数;然后用第一个四分位数Q1，减去第三个四分位数Q3所得差的绝对值，即为四分位全距.

（3）平均差：

平均差是变量各个取值偏差绝对值的算术平均数.由于变量的各个取值与其算术平均数的偏差有正有负,直接相加会使其正负抵消而为0，所以可将每个偏差取绝对值后再相加求平均，如此便得到了平均差.实际上.平均差反映了变量的各个取值离其算术平均数的平均距离.

（4）标准差：

标准差是变量的各个取值偏差平方的平均数的平方根，又称为根方差。

（5）方差：

标准差的平方称为方差.它与标准差的作用相同，也可用来描述变量分布的离散程度.

方差的数学性质如下:

①变量的方差等于变量平方的平均数减平均数的平方；

②变量与算术平均数离差平方和具有最小的性质，即变量与算术平均数计算的方差小于变量与任何其他常数计算的方差；

③变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的平方；

④n个独立变量代数和的方差，等于各变量方差的代数和；

⑤n个独立变量代数和的标准差不大于各变量标准差的代数和。

（6）变异系数：

各个衡量变量取值之间绝对差异的指标与算术平均数的比率，通称为变异系数，具体来说有极差系数、平均差系数和标准差系数等.各变异系数的计算公式分别为:

1.4偏度与峰度

1.偏度与峰度的概念

变量分布的偏斜程度是指其取值分布的非对称程度;变量分布的峰度是指其取值分布密度曲线顶部的平坦程度或尖峭程度.

2.偏度的测度

直观偏度系数是利用描述变量分布中心的不同指标之间的直观关系而确定的测度变量分布偏斜程度的指标.主要有皮尔逊偏度系数和鲍莱偏度系数两种.

皮尔逊偏度系数的数值在—3~十3的范围之内.皮尔逊偏度系数的绝对值越接近子3，变量分布的偏斜程度越大3皮尔逊偏度系数的绝对值越接近于0，变量分布的偏斜程度就越小.

鲍莱偏度系数的数值在一1~十1之间.其绝对值越接近于1.变量分布的偏斜程度越大g其绝对值越接近于0，变量分布的偏斜程度越小.

（2）矩偏度系数

矩偏度系数就是利用变量的矩来确定的变量分布偏斜程度的指标.变量分布的矩有两种，一种称为原点矩，即变量所有取值的某次方的算术平均数;另一种称为中心矩，即变量所有取值与其算术平均数离差的某次方的算术平均数.其中乘方的次数称为阶数.对于变量x，其m阶原点矩用

m表示，其m阶中心矩用Sm表示.

3.峰度的测度

对观测变量分布密度曲线顶峰的尖峭程度的测定，通常主要用峰度系数指标。

峰度系数的构造，需要利用观测变量取值的四阶中心距来进行.将变量的四阶中心矩与其标准差的四次方相除，所得比率就称为峰度系数，其计算公式为：

1.5两个变量的相关关系

1.协方差：

协方差是两个变量的所有取值与其算术平均数离差乘积的算术平均数，它可以用来测定两变量之间相关关系的方向和密切程度.

若对两个变量X和Y同时进行了n次观测，所获得X和y的成对观测数据为:

（x1，y1），（x2，y2），···（Xn，yn），则两变量X和Y的协方差的计算需采用简单算术平均法，其计算公式为：

2.相关系数：

若是根据总体数据计算，相关系数通常用pxy表示，其计算公式为.

式中：

σxy表示总体的协方差；σx表示总体变量x的标准差.

若是根据样本数据计算，相关系数通常用rxy表示，

其计算公式为：

式中:

Sxy表示样本的协方差;sx表示样本变量x的标准差;Sy表示样本变量y的标准差.

第2章概率与概率分布

2.1随机事件与慨率

1.事件的关系与运算

（1）若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A.或称事件A包含于事件B.即事件A是事件B的子集.

若事件A包含事件B，事件B也包含事件A.则称事件A与B相等.

（2）若事件A与事件B至少有一个发生，则记为AUB（或A十B）.并且称为事件A与B的并（和）.

（3）若事件A与事件B同时发生，则记为A∩B（或AB），并且称为事件A与B的交（积）.

（4）若事件A发生而事件B不发生，则记为A-B.

并且称为事件A与B的差.

（5）若事件A与B不可能同时发生，也就是说.AB是不可能事件，即AB=

，.则称事件A与B是互不相容

事件，或者称A与B是互斥事件.

（6）若事件A与事件A满足:

AA=

AUĀ=Ω，则称Ā是A的对立事件，或者称A是Ā的对立事件.

（7）设A1,A2,···,An是有限或可数个事件。

若其满足：

则称由A1，A2，···，An所组成的事件组为一个完备事件组。

2.随机事件的概率

概率的性质：

（1）

（2）

（3）若A与B互不相容（也称互斥）.则有:

（4）若A与Ā是对立事件，则有：

（5）若A与B是任意两事件，则有：

此式称为概率的加法公式.

3.古典概率

若一个随机试验的样本空间是由有限个样本点构成，且每个样本点在实验中是等可能地出现，那么，事件A发生的概率就可用下列公式来计算：

4.条件概率与事件的独立性

（1）条件概率的定义

在随机试验中，有时除了需要知道事件B发生的概率P（B）外，还需要知道在事件A已经发生的条件下事件B的概率，我们把这个概率记作P（BIA）.其公式如下：

（2）条件概率的计算方法

①利用条件概率的定义公式

计算.

②采用缩减样本空间方法，即根据事件已经发生的信息缩减样本空间，再在此基础上计算B的概率.

（3）乘法公式：

P（AB）=P（A）P（BIA）（P（A）>0）此式称为概率的乘法公式，简称乘法公式.

（4）全概率公式与贝叶斯公式

若设随机试验E的样本空间为Ω，BI，B2，…，Bn是一个完备事件组，且P（Bi）>O（i=1，2，…，n），则对E的任一事件A，都有：

上式称为全概率公式.

上式称为逆概率公式，或称为贝叶斯公式.

在全概率公式和贝叶斯公式中的BI，B2，…，Bn是导致事件A发生的各种原因、情况或途径及其可能性.P（Bi）（i=1，2，…，n）是各种原因发生的概率，称为先验概率，一般由实际经验给出.贝叶斯公式中的P（Bi|A）称为后验概率，它反映了事件A发生后各种原因Bi（i=1，2，…，n）造成的可能性的大小.

（5）事件的独立性

若事件A和B满足等式：

P（AB）=P（A）P（B）

则称事件A、B是相互独立的.

两事件相互独立的概念可以推广到有限多个事件的情形.

2.2随机变量及其分布

1.随机变量的概念

设随机试验E的样本空间为Ω={e}.若对于每一个eЄΩ，都对应唯一实数X（e），则称变量X（e）为随机变量，记作X.以后用字母X，Y，…表示随机变量。

2.随机变量的概率分布

（1）离散型随机变量的概率分布

①两点分布.两点分布的应用条件是2若互相独立的重复试验只有"成功"和"失败"两种结果，这种试验称为贝努里试验.其分布律为:

②超几何分布.若要确定n次实验中恰好出现k次成功的概率，则需采用下列概率模型:

③二项分布.若要确定其恰好有k次成功的概率，其中随机变量X表示实验次数，则所需概率模型为:

式中:

0

④泊松分布.泊松分布的分布律为

记作x~（λ），式中λ>0为参数.

（2）连续型随机变量的概率分布

对于随机变量X的分布函数F（x），如果存在非负函数f（x），使对任意实数x有:

则称x为连续型随机变量，f（x）为x的概率分布密度，简称分布密度或概率密度，分布密度的图形叫做分布密度曲线.

下面介绍几种常用的连续型随机变量的概率分布·

①均匀分布.若连续型随机变量X的概率密度为

则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布.

②正态分布.若随机变量X的概率密度为:

其中，σ>0为常数，则称x服从参数为µ、σ的正态分布.记作X~N（µ，σ2）.

③指数分布.指数分布的概率密度函数为

其中，λ>0为参数.

2.3随机变量的数字特征与独立性

1.随机变量的数字特征

（1）数学期望

随机变量的期望值也称为平均值，它是随机变量取值的一种加权平均数，是随机变量分布的中心.

①离散型随机变量X的数学期望定义为：

②连续型随机变量X的数学期望的定义为：

（2）方差

①离散型随机变量的方差定义为：

②连续型随机变量的方差定义为：

为了便于计算方差，下面引入一个计算方差的简捷公式：

③方差的性质：

设C为常数，则D（c）=0.设X为随机变量，c为常数，则有D（cX）=c2D（X）.设X、Y是两个相互独立的随机变量，则有D（X+Y）=D（X）+D（Y）。

（3）一些常用随机变量的期望和方差

①（0-1）分布.设X服从（0-1）分布，则E（X）=p，D（X）=（1-p）p.

②二项分布.设X~B（n，p），则X的分布律为：

③泊松分布.设X~π（λ），即X的分布律为：

则其数学期望和方差分别为:

E（X）=λ，D（X）=λ.

④均匀分布.设随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，则其概率密度为：

⑥指数分布.设X服从指数分布，则其分布密度为：

其数学期望和方差分别为:

2，二维随机向量与随机变量的独立性

（1）二维随机向量及其分布

①离散型随机向量的概率分布.

称为随机向量（X.Y）的联合概率分布，简称概率分布，也称联合分布律.

为X的边缘概率分布.

为Y的边缘概率分布.

②连续型随机向量的概率分布：

对于二维随机向量（X.Y）的分布函数F（X，Y）•如果存在非负函数f（x.y）•使对任意实数x，y有:

则称（X，Y）为二维连续型随机向量，f（x,y）称为（X，Y）的联合概率分布密度，简称概率密度.

（2）随机变量的独立性

设X，Y为两个随机变量，若对任意实数x，y有

则称X.Y相互独立.

2.4大数定律与中心极限定理

1.大数定律

（1）贝努里大数定理

设事件A在一次试验中发生的概率为ρ，在n次独立重复试验中，A发生m次，那么对任意给定的正数ε，有

（2）辛钦大数定律

2.中心极限定理

此定理称为林德贝格一勒维中心极限定理，也称为独立同分布的中心极限定理.

定理2:

设Xn～B（n，p），0

此定理称为德莫佛—拉普拉斯中心极限定理.

第3章时间序列分析

3.1时间序列概述

1.时间序列的概念和种类

（1）时间序列的概念

时间序列就是按照时间顺序将观察取得的某个统计指标（变量）的一组观察值进行排列而成的序列.

（2）时间序列的分类

①按指标性质分类.时间序列按照所排列指标的性质不同，可以分为以下三种：

时点序列是指由某一时点指标的不同时点上的指标值按照时间先后顺序排列而成的时间序列.

时期序列是指某一时期指标的不同时期上的指标值按时间先后顺序排列而成的时间序列.

特征序列是指由某一相对指标或者平均指标的不同时间上的指标值按照时间先后顺序排列而成的时间序列.

②按指标数值变化特征分类.时间序列按指标数值变化特征不同，可以分为以下两种：

如果一个时间序列中的指标数值不存在持续增长或下降的趋势，并且其波动的幅度在不同的时间也没有显著差异，那么该时间序列就是一个平稳序列.

如果一个时间序列中的指标数值存在着持续增长或下降的趋势，或者其波动的幅度在不同的时间有明显的差异，那么该时间序列就是一个非平稳序列.

2.时间序列的影响因素和模型

（1）时间序列的影响因素

任何客观现象所构成的时间序列随着时间的推移都会发生各种各样的变化，而这种变化又是受到各种影响因素共同作用的结果.这些影响因素归纳起来主要包括长期趋势（T）、季节变化（S）、循环变动（C）和不规则变动（I）.

（2）时间序列的变动模型

时间序列可分解为多种模型，其中最常见的有乘法模型和加法模型.

乘法模型:

Y=T·S·C·I加法模型:

Y=T+S+C+I

3.2时间序列特征指标

1.时间序列水平指标

（1）平均发展水平：

平均发展水平，又称序时平均数，它是将一个时间序列中各个时间上的指标值加以平均而得到的平均数，用以反映所研究现象在一段时间内的一般水平或者代表水平.

（2）增长量：

增长量是报告期水平与基期水平之差，它反映报告期较基期增长（或减少）的绝对数量.用公式表示为：

增长量=报告期水平一基期水平

（3）平均增长量：

平均增长量是逐期增长量的序数平均数.

2.时间序列速度指标

（1）发展速度：

发展速度是报告期水平和基期水平之比，又称动态相对数，它反映报告期较基期发展变动的相对程度.

（2）增长速度：

增长速度，也称增长率，它是增长量除以基期水平或者发展速度减1的结果，说明研究现象逐期增长或在较长时期内总的增长速度.

（3）平均发展速度和平均增长速度

①平均发展速度是各个时期环比发展速度的序时平均数，反映研究现象在较长时期内发展速度变化的平均程度.在实际工作中，平均发展速度的计算方法有两种，即几何平均法和方程式法.

②平均增长速度，又称平均增长率，它是增长速度的序时平均数.

3.3长期趋势的测定及预测

1.时距扩大法：

时距扩大法是测定长期趋势最原始、最简单的方法.它是将原有时间序列中较小时距单位的若干个数据加以合并，得出扩大了时距单位的数据，形成新的时间序列，通过这种方法求得的新的时间序列可以消除较小时距单位所受到的偶然因素的影响，使研究现象发展变化的基本趋势显示得更为明显.

2.移动平均法：

移动平均法是对时距扩大法的一种改良.它是采用逐期递推移动的方法计算一系列扩大时距的序时平均数，并以这一系列移动平均数作为其对应时期的趋势值.

3.数学模型法：

时间序列中长期趋势的表现形式是多种多样的，常用的趋势线数学模型主要有以下几种：

直线、指数曲线、二次曲线、修正指数曲线、逻辑曲线、龚珀茨曲线和双指数曲线.

常用的判别方法有：

（1）图形法.若以横轴表示原时间序列中的时间（变量）t，以纵轴表示原时间序列中的指标y.将原时间序列

中的时间与对应的指标值（ti，yi）作为坐标点描在直角坐标系中便形成散点图.然后根据散点图的走势，就可以大致判断出原时间序列的趋势线模型.

（2）指标法.即通过计算出一系列指标来判别原时间序列的趋势线类型.

3.4季节变动的测定和预测

1.按月（季）平均法

按月（季）平均法是测定被研究现象季节变动的最简单方法.用符号表示如下：

2.趋势剔除法

（1）移动平均趋势剔除法

移动平均趋势剔除法是首先将移动平均数作为长期趋势值加以剔除，再测定季节变动的方法.

（2）配合趋势线趋势剔除法这种方法的具体做法是z

①配合趋势方程.

②将以年为单位的趋势方程变换为以月（季）为单位，并将原点移动至第一年第一个月（或第一季度）.

③根据所确立的趋势方程确定每年各月的月趋势值（或各季度的季趋势值）.

③求修匀比率，即将每月（季）的实际观测值除以每月（季）趋势值.

⑤求季节比率，即根据每月（季）的修匀比率计算各月（季）的平均比率.

3.季节变动的预测

（1）简单季节模型预测方法

如果已知下一年的全年预测值，则各月（季）的预测值等于月（季）平均预测值乘以该月（季）的季节比率.用公式表示为：

式中:

代表月（季）的预测值;

代表测算的预测年度各月（季）平均值;Si代表月（季）季节比率.

（2）移动平均季节模型预测方法

简单季节模型末考虑到时间序列中的长期趋势变动因素.事实上，时间序列往往同时存在长期趋势变动、季节变动和随机变动，这就需要将三种变动因素加以分解，首先用移动平均法消除时间序列中随机因素变动，并在趋势变动的基础上再根据季节变动对预测值加以调整，这样可以达到更切合实际的效果.

3.5循环变动和不规则变动的测定

1.循环变动的测定

（1）直接测定法

计算步骤如下:

①计算各期的年距环比发展速度.

②计算各期的循环指数.

（2）剩余测定法剩余测定法也称分解法.这种方法基本思路是：

假定时间序列各影响因素对现象发展影响的模型为乘法模型：

Y=T·S·C·T.利用分解分析原理，首先在时间序列中剔除长期趋势和季节变动，然后再消除随机变动因素，从而揭示循环变动的特性.

2.随机变动的测定

随机变动的计算公式为：

第4章统计指数

1.统计指数的定义

从广义上讲，一切说明社会现象数量对比关系的相对数都是指数.

从狭义上讲，指数是一种特殊的相对数，它是反映不能直接相加的多种事物数量综合变动情况的相对数.

2.统计指数的作用

一般来说，统计指数有以下三个方面的作用：

（1）综合反映事物的变动方向和程度.

（2）分析受多因素影响的现象总变动中各个因素的影响方向和程度应该明确两点，首先现象总量是由若干个因素的乘积组成.其次，现象总量变动是各因素变动的结果.

统计指数第二个作用就是用来分析上述这种受多因

素影响的现象总变动中受各个因素的影响方向和程度.

（3）研究事物在长时间内的变动趋势.

3.统计指数的种类

根据研究的目的和任务不同，统计指数可以划分为不同的种类：

（1）个体指数和总指数.

（2）数量指标指数和质量指标指数.

（3）综合指数和平均指数.

（4）时间指数和空间指数.

4.2综合指数

1.综合指数的概念综合指数是总指数的基本形式，它是由两个总量指标对比形成的指数.

设q0、q1、p0、p1分别代表基期、报告期的销售量和价格.Kq、Kp分别代表销售量总指数和价格总指数，则综合指数的公式如下：

2.编制综合指数应解决的问题

从上述综合指数的概念中知道，综合指数是研究社会经济现象总体总量的变动情况.

3.综合指数公式的编制

（1）拉氏指数

用Kq来表示物量总指数，用Kp表示物价总指数，拉氏综合指数的计算公式为：

（2）派氏指数

派氏物量总指数Kq和物价总指数Kρ的计算公式为：

（3）杨格指数

用pn和qn分别表示特定时期的物价和物量，则杨格综合指数的计算公式为：

（4）埃马指数

埃马物量总指数Kq和物价总指数Kp的计算公式为：

（5）费暄理想指数

费暄理想指数的物量总指数和物价总指数的计算公式为：

4.3平均指数

1.平均指数的概念

平均指数就是将各个个体指数进行综合平均而得出的综合比率指标，即平均比率指标.

2.平均指数公式的编制方法

平均指数其实是用求平均数的方法来求指数，其所使用的方法主要有加权算术平均和加权调和平均两种.

4.4指数体系与因素分析法

1.指数体系的概念及编制

（1）指数体系的概念若干个有联系的经济指数之间如能构成一定数量对应关系，就可以把这种经济上有联系、数量上保持一定关系的指数之间的客观联系称为指数体系.

（2）指数体系的编制

一般来说，编制质量指标指数，应将作为同度量因素的数量指标固定在报告期（即采用派氏指数公式）;编制数量指标指数，应将作为同度量因素的质量指标固定在基期（即采用拉氏指数公式）.

2.因素分析法因素分析法是指根据指数体系中多种因素影响的社会经济现象的总变动情况，分析其受各因素的影响方向和影响程度的一种方法.

（2）因素分析法的种类

因素分析法可从不同角度分类:

按分析对象的特点不同，可分为简单现象因素分析和复杂现象因素分析.

按分析指标的表现形式不同，可分为总量指标变动因素分析和平均指标、相对指标变动因素分析.

按影响因素的多少不同，