版高中数学第三章不等式33一元二次不等式及其解法二学案新人教B版必修5.docx

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版高中数学第三章不等式33一元二次不等式及其解法二学案新人教B版必修5

3.3一元二次不等式及其解法

（二）

学习目标

　1.会解可化为一元二次不等式（组）的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.把握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．

知识点一　分式不等式的解法

试探　

>0与（x－3）（x＋2）>0等价吗？

将

>0变形为（x－3）（x＋2）>0，有什么益处？

梳理　一样的分式不等式的同解变形法那么：

（1）

>0⇔____________；

（2）

≤0⇔

（3）

≥a⇔

≥0.

知识点二　一元二次不等式恒成立问题

试探　x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？

区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？

梳理　一样地，“不等式f（x）>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象全数在x轴____方．区间[a，b]是不等式f（x）>0的解集的________．

恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：

若f（x）有最大值，那么k≥f（x）恒成立⇔k≥__________；

若f（x）有最小值，那么k≤f（x）恒成立⇔k≤__________.

类型一　分式不等式的解法

例1　解以下不等式：

（1）

<0；

（2）

≤1.

反思与感悟　分式不等式的解法：

先通过移项、通分整理成标准型

>0（<0）或

≥0（≤0），再化成整式不等式来解．若是能判定出分母的正负，直接去分母也可．

跟踪训练1　解以下不等式．

（1）

≥0；

（2）

>1.

类型二　不等式恒成立问题

例2　设函数f（x）＝mx2－mx－1.

（1）假设关于一切实数x，f（x）<0恒成立，求m的取值范围；

引申探讨

把例2

（2）改成：

关于任意m∈[1,3]，f（x）＜－m＋5恒成立，求实数x的取值范围．　

（2）关于x∈[1,3]，f（x）<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

反思与感悟　有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处置方式有两种：

（1）考虑可否进行参变量分离，假设能，那么构造关于变量的函数，转化为求函数的最大（小）值，从而成立参变量的不等式；

（2）假设参变量不能分离，那么应构造关于变量的函数（如一次函数、二次函数），并结合图象成立参变量的不等式求解．

跟踪训练2　当x∈（1,2）时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，那么m的取值范围是________．

类型三　一元二次不等式的应用

例3　某种汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）sm和汽车车速xkm/h有如下关系：

s＝

x＋

x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？

（精准到1km/h，

≈168.882）

反思与感悟　一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确信答案时应注意变量具有的“实际含义”．

跟踪训练3　在一个限速40km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发觉情形不对，同时刹车，但仍是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间别离有如下关系：

S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负要紧责任．

1．假设关于x的方程x2＋（a2－1）x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，那么a的取值范围是（　　）

A．（－1,1）B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C．（－2,1）D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

2．假设产品的总本钱y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2（0

A．100台B．120台C．150台D．180台

3．不等式x2＋x＋k>0恒成立时，k的取值范围为________．

4．解以下不等式：

（1）

≥0；

（2）

>1.

1．解分式不等式时，必然要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式（组）求解．当不等式含有等号时，分母不为零．

2．关于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方式．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．固然这必需以参数容易分离作为前提．分离参数时，常常要用到下述简单结论：

（1）a>f（x）恒成立⇔a>f（x）max；

（2）a

3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，依照题意，列出不等关系再求解．

答案精析

问题导学

知识点一

试探　等价；益处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．

梳理　

（1）f（x）·g（x）>0

（2）f（x）·g（x）≤0　g（x）≠0

知识点二

试探　x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方．区间[2,3]内的元素必然是不等式x－1>0的解，反之不必然成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集．

梳理　上　子集　f（x）max　f（x）min

题型探讨

类型一

例1　解　

（1）

<0⇔（x－3）（x＋2）<0⇔－2

∴原不等式的解集为{x|－2

（2）∵

≤1，∴

－1≤0，

∴

≤0，即

≥0.

此不等式等价于（x－4）

≥0

且x－

≠0，

解得x<

或x≥4，

∴原不等式的解集为

.

跟踪训练1　解　

（1）原不等式可化为

解得

∴x<－

或x≥

，

∴原不等式的解集为

.

（2）方式一　原不等式可化为

或

解得

或

∴－3

，

∴原不等式的解集为

.

方式二　原不等式可化为

>0，

化简得

>0，

即

<0，∴（2x＋1）（x＋3）<0，

解得－3

.

∴原不等式的解集为

.

类型二

例2　解　

（1）要使mx2－mx－1<0恒成立，

若m＝0，显然－1<0，知足题意；

若m≠0，

则

⇒－4

∴－4

（2）方式一　要使f（x）<－m＋5在

x∈[1,3]上恒成立．

就要使m

2＋

m－6<0在

x∈[1,3]上恒成立．

令g（x）＝m

2＋

m－6，

x∈[1,3]．

当m>0时，g（x）在[1,3]上是增函数，

∴g（x）max＝g（3）＝7m－6<0，

∴0

；

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g（x）在[1,3]上是减函数，

∴g（x）max＝g

（1）＝m－6<0，得m<6，∴m<0.

综上所述，m的取值范围是

.

方式二　当x∈[1,3]时，f（x）<－m＋5恒成立，

即当x∈[1,3]时，m（x2－x＋1）－6<0恒成立．

∵x2－x＋1＝

2＋

>0，

又m（x2－x＋1）－6<0，

∴m<

.

∵函数y＝

＝

在[1,3]上的最小值为

，

∴只需m<

即可．

综上所述，m的取值范围是

.

引申探讨

解　f（x）＜－m＋5，

即mx2－mx－1＜－m＋5，

m（x2－x＋1）－6＜0.

设g（m）＝m（x2－x＋1）－6.

则g（m）是关于m的一次函数且斜率

x2－x＋1＝（x－

）2＋

＞0.

∴g（m）在[1,3]上为增函数，要使g（m）＜0在[1,3]上恒成立，只需g（m）max＝

g（3）＜0，

即3（x2－x＋1）－6＜0，x2－x－1＜0，

方程x2－x－1＝0的两根为x1＝

，x2＝

，

∴x2－x－1＜0的解集为区间

，即x的取值范围为

.

跟踪训练2　（－∞，－5]

类型三

例3　解　依照题意，

得

x＋

x2>39.5，

移项整理，得x2＋9x－7110>0.

显然Δ>0，x2＋9x－7110＝0有两个实数根，

即x1≈－88.94，x2≈79.94.

依照二次函数y＝x2＋9x－7110的图象，

得不等式的解集为

{x|x<－88.94或x>79.94}．

在那个实际问题中，x>0，因此这辆汽车刹车前的车速至少为80km/h.

跟踪训练3　解　由题意列出不等式

S甲＝0.1x甲＋0.01x2甲>12，

S乙＝0.05x乙＋0.005x2乙>10.

别离求解，得x甲<－40或x甲>30，

x乙<－50或x乙>40.

由于x>0，从而得x甲>30km/h，

x乙>40km/h.

经比较知乙车超过限速，应负要紧责任．

当堂训练

1．C　2.C

3.

4．

（1）{x|x≤1或x>2}；

（2）

.