版高中数学第三章不等式33一元二次不等式及其解法二学案新人教B版必修5.docx
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版高中数学第三章不等式33一元二次不等式及其解法二学案新人教B版必修5
3.3一元二次不等式及其解法
(二)
学习目标
1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.3.把握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
知识点一 分式不等式的解法
试探
>0与(x-3)(x+2)>0等价吗?
将
>0变形为(x-3)(x+2)>0,有什么益处?
梳理 一样的分式不等式的同解变形法那么:
(1)
>0⇔____________;
(2)
≤0⇔
(3)
≥a⇔
≥0.
知识点二 一元二次不等式恒成立问题
试探 x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么?
区间[2,3]与不等式x-1>0的解集有什么关系?
梳理 一样地,“不等式f(x)>0在区间[a,b]上恒成立”的几何意义是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象全数在x轴____方.区间[a,b]是不等式f(x)>0的解集的________.
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题,即:
若f(x)有最大值,那么k≥f(x)恒成立⇔k≥__________;
若f(x)有最小值,那么k≤f(x)恒成立⇔k≤__________.
类型一 分式不等式的解法
例1 解以下不等式:
(1)
<0;
(2)
≤1.
反思与感悟 分式不等式的解法:
先通过移项、通分整理成标准型
>0(<0)或
≥0(≤0),再化成整式不等式来解.若是能判定出分母的正负,直接去分母也可.
跟踪训练1 解以下不等式.
(1)
≥0;
(2)
>1.
类型二 不等式恒成立问题
例2 设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)假设关于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;
引申探讨
把例2
(2)改成:
关于任意m∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数x的取值范围.
(2)关于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处置方式有两种:
(1)考虑可否进行参变量分离,假设能,那么构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而成立参变量的不等式;
(2)假设参变量不能分离,那么应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数),并结合图象成立参变量的不等式求解.
跟踪训练2 当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,那么m的取值范围是________.
类型三 一元二次不等式的应用
例3 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)sm和汽车车速xkm/h有如下关系:
s=
x+
x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?
(精准到1km/h,
≈168.882)
反思与感悟 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型,解题时要弄清题意,准确找出其中的不等关系,再利用一元二次不等式求解,确信答案时应注意变量具有的“实际含义”.
跟踪训练3 在一个限速40km/h的弯道上,甲,乙两辆汽车相向而行,发觉情形不对,同时刹车,但仍是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间别离有如下关系:
S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.问超速行驶谁应负要紧责任.
1.假设关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,那么a的取值范围是( )
A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
2.假设产品的总本钱y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0A.100台B.120台C.150台D.180台
3.不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.
4.解以下不等式:
(1)
≥0;
(2)
>1.
1.解分式不等式时,必然要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.
2.关于有的恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方式.这是因为将参数予以分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.固然这必需以参数容易分离作为前提.分离参数时,常常要用到下述简单结论:
(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;
(2)a3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,依照题意,列出不等关系再求解.
答案精析
问题导学
知识点一
试探 等价;益处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.
梳理
(1)f(x)·g(x)>0
(2)f(x)·g(x)≤0 g(x)≠0
知识点二
试探 x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y=x-1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方.区间[2,3]内的元素必然是不等式x-1>0的解,反之不必然成立,故区间[2,3]是不等式x-1>0的解集的子集.
梳理 上 子集 f(x)max f(x)min
题型探讨
类型一
例1 解
(1)
<0⇔(x-3)(x+2)<0⇔-2∴原不等式的解集为{x|-2(2)∵
≤1,∴
-1≤0,
∴
≤0,即
≥0.
此不等式等价于(x-4)
≥0
且x-
≠0,
解得x<
或x≥4,
∴原不等式的解集为
.
跟踪训练1 解
(1)原不等式可化为
解得
∴x<-
或x≥
,
∴原不等式的解集为
.
(2)方式一 原不等式可化为
或
解得
或
∴-3,
∴原不等式的解集为
.
方式二 原不等式可化为
>0,
化简得
>0,
即
<0,∴(2x+1)(x+3)<0,
解得-3.
∴原不等式的解集为
.
类型二
例2 解
(1)要使mx2-mx-1<0恒成立,
若m=0,显然-1<0,知足题意;
若m≠0,
则
⇒-4∴-4(2)方式一 要使f(x)<-m+5在
x∈[1,3]上恒成立.
就要使m
2+
m-6<0在
x∈[1,3]上恒成立.
令g(x)=m
2+
m-6,
x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
∴g(x)max=g(3)=7m-6<0,
∴0;
当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
∴g(x)max=g
(1)=m-6<0,得m<6,∴m<0.
综上所述,m的取值范围是
.
方式二 当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,
即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.
∵x2-x+1=
2+
>0,
又m(x2-x+1)-6<0,
∴m<
.
∵函数y=
=
在[1,3]上的最小值为
,
∴只需m<
即可.
综上所述,m的取值范围是
.
引申探讨
解 f(x)<-m+5,
即mx2-mx-1<-m+5,
m(x2-x+1)-6<0.
设g(m)=m(x2-x+1)-6.
则g(m)是关于m的一次函数且斜率
x2-x+1=(x-
)2+
>0.
∴g(m)在[1,3]上为增函数,要使g(m)<0在[1,3]上恒成立,只需g(m)max=
g(3)<0,
即3(x2-x+1)-6<0,x2-x-1<0,
方程x2-x-1=0的两根为x1=
,x2=
,
∴x2-x-1<0的解集为区间
,即x的取值范围为
.
跟踪训练2 (-∞,-5]
类型三
例3 解 依照题意,
得
x+
x2>39.5,
移项整理,得x2+9x-7110>0.
显然Δ>0,x2+9x-7110=0有两个实数根,
即x1≈-88.94,x2≈79.94.
依照二次函数y=x2+9x-7110的图象,
得不等式的解集为
{x|x<-88.94或x>79.94}.
在那个实际问题中,x>0,因此这辆汽车刹车前的车速至少为80km/h.
跟踪训练3 解 由题意列出不等式
S甲=0.1x甲+0.01x2甲>12,
S乙=0.05x乙+0.005x2乙>10.
别离求解,得x甲<-40或x甲>30,
x乙<-50或x乙>40.
由于x>0,从而得x甲>30km/h,
x乙>40km/h.
经比较知乙车超过限速,应负要紧责任.
当堂训练
1.C 2.C
3.
4.
(1){x|x≤1或x>2};
(2)
.