正比例和反比例内部讲义练习.docx
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正比例和反比例内部讲义练习
正比例和反比例内部讲义与练习
知识点一:
正比例和反比例的意义
(1)正比例
1、两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,这两个量就是相关联的量。
如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,,它们的关系叫做正比例关系。
用字母
和
表示两种相关联的量,用
表示一定的量,那么正比例关系可以写成:
例如,总价随着数量的变化而变化,总价和数量的比的比值(单价)是一定的,我们就说,总价和数量是成正比例的量。
=工效(一定)工总和工时是成正比例的量
=速度(一定)所以路程与时间成正比例。
(2)反比例
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
用字母
和
表示两种相关联的量,用
表示一定的量,那么反比例关系可以写成:
×
=
(一定)
例如,长×宽=面积(一定)长和宽是成反比例的量
每本的页数×装订的本数=纸的总页数(一定)每本的页数和装订的本数是成反比例的量
掌握:
我们研究的一定是两个量,无论什么公式都至少有三个量,我们前面说过,要研究两个量的关系,一定要固定第三个量,也就是说让它不变,这是本单元的核心所在,如果第三个量不固定,就谈不上什么正比例还是反比例
知识点二:
正比例和反比例有什么相同点和不同点?
(1)相同点:
正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系,即一种量变化,另一种量也随着变化。
(2)不同点:
正比例是两种相关联的量一种量扩大几倍,另一种量就扩大相同的倍数,两个数的比值(商)一定;
反比例是两种相关联的量一个量扩大几倍,另一个量就缩小几倍,两个数的积一定。
知识点三:
正反比例的图像
1、某造纸厂每小时造纸1.5吨,2小时、3小时┈┈各造纸多少吨?
1)把下表填写完整。
造纸时间/时
1
2
3
4
……
造纸吨数/吨
1.5
……
(2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。
吨数/吨
6
5
4
3
2
1
0
1234567时间/时
(3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?
为什么?
(4)根据图像判断,5小时造纸多少吨?
2、(正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时,路程与时间的关系如下。
时间/分
1
2
3
4
5
6
7
……
路程/千米
7
14
21
28
35
42
49
……
(1)图中的点A表示时间为1分钟时,磁悬浮列车驶过的路程为7千米。
请你试着描出其他各点。
(2)连接各点,它们在一条直线上吗?
(3)根据图像判断,列车运行2分半钟时,行驶的路程是多少千米?
行驶30千米大约需要几分钟?
路程/千米
42
35
28
21
14
7●A
0
1234567时间/分
知识点四:
判断正反比例
判断两种量是否成正比例的应用方法:
1、判断两个是否相关联
2、判断这两个量的比值是否一定,比值一定就成正比例关系;反之不成正比例关系。
3、(简说:
用除法,商一定,成正比)
判断两种量是否成反比例的应用方法:
1、判断两个是否相关联;
2、判断这两个量的积是否一定,积一定就成反比例关系;反之不成反比例关系。
2、(简说:
用乘法,积一定,成反比)
例:
【典型例题】工作总量一定,工效和时间成反比例
工效一定,工作总量和时间成正比例
时间一定,工作总量和工效成正比例
总价一定,单价和数量成反比例
单价一定,总价和数量成正比例
数量一定,总价和单价成正比例
总产量一定,单产量和数量成反比例
单产量一定,总产量和数量成正比例
数量一定,总产量和单产量成正比例
煤的总量一定,每天的烧煤量和烧的天数成反比
长方形面积一定,它的长和宽成反比
树的总棵数一定,每行种的棵数与行数成反比
每天看书页数一定,天数和看书的总页数成正比
分数的值大小一定,这个分数的分子与分成正比
单价一定,数量和总价成正比
正方形的边长和它的面积成正比
工作时间一定,工作效率和工作总量成正比
路程一定,速度和时间成反比
一堆货物一定,运出的和剩下的成反比
煤的总量一定,每天的烧煤量和烧的天数成反比
长方形面积一定,它的长和宽成反比
树的总棵数一定,每行种的棵数与行数成反比
反比例:
1.百米赛跑,路程100米不变,速度和时间是反比例;
2.排队做操,总人数不变,排队的行数和每行的人数是反比例;
3.做纸盒子,总个数一定,每人做的个数和人数成反比例;
4.买东西(实际就用文具用品),总钱数一定,它的单价和数量是反比例;
5.长方形的面积一定,长和宽是反比例;
6.长方体的体积一定,底面积和高是反比例。
7.等分一块蛋糕,每人分到的蛋糕与人数成反比例。
8.总价一定,单价与数量成反比例.
9.长方体体积一定,底面积与高成反比例
10.总纸盒一定,每人做的个数与人数成反比例
1、总产量一定,每公顷的产量和公顷数是不是成反比例?
为什么?
2、和一定,一个加数和另一个加数成反比例。
点评:
有些相关联的量,虽然也是一种量变化,另一种量也随着变化,但它们不是积一定,也不是比值一定,它们就不成比例。
像这样的还有:
人的跳高高度和身高;减数一定,被减数和差等。
(1)长方形的面积一定,长和宽成反比例吗?
为什么?
(2)长方形的周长一定,长和宽成反比例吗?
为什么?
分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中,每两种量的比例关系。
(1)大米的总千克数一定,每天吃的千克数和天数;
(2)每天吃的千克数一定,大米的总千克数和天数;
(3)天数一定,大米的总千克数和每天吃的千克数。
(1)因为每天吃的千克数×天数=大米的总千克数(一定),所以大米的总千克数一定时,每天吃的千克数和天数成反比例。
(2)因为
=每天吃的千克数(一定),所以每天吃的千克数一定时,大米的总千克数和天数成正比例。
(3)因为
=天数(一定),所以天数一定时,大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。
练习:
(判断是否成反比例)
2、用一批纸装订练习本,每本25页,可以装订400本。
如果要装订500本,每本有X页。
题中()量一定,关系式:
()○()=()(一定),()和()成()比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺,需要640块。
如果改用边长0.4米的正方形地砖,需要Y块。
题中()量一定,关系式:
()○()=()(一定),()和()成()比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时,()与()成()比例;
当高一定时,()与()成()比例;
当侧面积一定时,()与()成()比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中,
当()一定时,()与()成正比例;
当()一定时,()与()成反比例;
6、在行程问题中,
当路程一定时,()与()成反比例;
当速度一定时,()与()成正比例
当时间一定时,()与()成正比例
6、当a×b=c(a、b、c为三种量,且均不为0)。
()一定,()与()成()比例;
()一定,()与()成()比例;
()一定,()与()成()比例;
7、判断。
(1)、工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例。
()
(2)、图上距离和实际距离成正比例。
()
(3)、X和Y表示两种变化的相关联的量,同时5X-7Y=0,X和Y不成比例。
()
(4)、分数的大小一定,它的分子和分母成正比例。
()
(5)、在一定的距离内,车轮周长和它转动的圈数成反比例。
()
(6)、两种相关联的量,不成正比例,就成反比例。
()
(7)订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。
()
(8)在400米赛跑中,跑步的速度和所用时间成反比例。
()
(9)工作总量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。
()
(10)正方体的棱长和体积成正比例。
()
(11)被除数一定,除数和商成反比例。
()
(12)圆的周长和它的直径成正比例。
()
(13)路程与时间成正比,时间与速度成反比。
()
8、判断下面每题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。
(1)、装配一批电视机,每天装配台数和所需的天数()。
(2)、正方形的边长和周长()。
(3)、水池的容积一定,水管每小时注水量和所用时间()。
(4)、房间面积一定,每块砖的面积和铺砖的块数()。
(5)、在一定时间里,加工每个零件所用的时间和加工零件的个数()。
(6)、在一定时间里,每小时加工零件的个数和加工零件的个数()。
9、思考:
明明三岁时体重12千克,十一岁时体重44千克。
于是小张就说:
“明明的体重和身高成正比例。
”你认为小张的说法对吗?
为什么?
10、某造纸厂每小时造纸1.5吨,2小时、3小时┈┈各造纸多少吨?
(1)把下表填写完整。
造纸时间/时
1
2
3
4
……
造纸吨数/吨
1.5
……
(2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。
吨数/吨
6
5
4
3
2
1
0
1234567时间/时
(3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?
为什么?
(4)根据图像判断,5小时造纸多少吨?
题型一:
根据图标填写信息
例1:
购买面粉的重量和钱数如下表,根据表填空。
重量(千克)
1
2
3
4
5
6
…
总价(元)
1.9
3.8
5.7
7.6
9.5
11.4
…
(1)()和()是两种相关联的量,()随着()的变化而变化。
(2)与总价7.6元相对应的重量是()千克;与6千克相对应的总价是()元。
(3)总价与重量中相对应的两个数的比值所表示的意义是()。
(4)因为比值一定,所以表中总价和重量叫做成()的量。
题型二:
根据关系式正比例反比例的判断
例2:
判断下面两种相关联的量成不成比例,如果成比例,成什么比例。
(1)瓷砖面积一定,瓷砖的块数和瓷砖的面积。
(2)铺地面积一定,每块砖的面积和所需块数。
(3)铺地面积一定,方砖的边长和所需块数。
(1)生产总时间一定,生产一个零件的时间和个数。
(2)生产一个零件的时间一定,生产零件的总时间和个数。
(1)圆的周长和半径。
(2)圆的周长一定,圆周率和直径。
(3)圆的面积和半径的平方。
例3:
判断下面各题中的两种量成不成比例(在括号里填上“成正比例”或“不成正比例”)。
(1)正方形的面积和边长。
()
(2)比的前项一定,比的后项和比值。
()
(3)人的体重和身高。
()
(4)每本书的单价一定,买书的本数与总价。
()
(5)出粉率一定,小麦的重量和出粉重量。
()
(6)正方体的体积和棱长。
()
(7)产品合格率一定,产品合格数和产品总数。
()
(8)工作时间一定,工作总量和工作效率。
()
例4:
判断下面每题中的两种量成什么比例关系,并说明理由。
(1)每公顷施肥量一定,施肥总量与公顷数。
(2)每台织布机的每小时织布的米数一定,织布的总米数和所用的小时数。
(3)汽车行1千米的耗油量一定,汽车所行路程和总耗油量。
(4)同一辆汽车所行驶的路程和车轮转数。
例题9:
判断下列各题的两种量是否成比例?
如果成,成什么比例?
(1)工作效率一定,工作时间和工作总量。
()
(2)货物总数一定,每次运货吨数和运货次数。
()
(3)路程一定,已走路程和剩下路程。
()
(4)圆的半径和面积。
()
(5)平行四边形的底和面积。
()
(6)在太阳照射下,同时同地的竿高和影长。
()
(7)煤的总量一定,每天烧煤量和可烧的天数。
()
(8)a·b=c,c一定,a和b。
()
(9)分数值一定,分子和分母。
()
(10)路程一定,车轮的直径和转动的周数。
()
【巩固练习】
(1)比例尺一定,图上距离与实际距离成()比例。
(2)圆的半径和面积()比例。
(3)三角形的高一定,它的面积和底成()比例。
(4)订阅《中国少年报》的钱数和份数成()比例。
(5)圆的直径和周长成()比例。
(6)差一定,被减数和减数()比例。
(7)圆锥的高一定,底面积和它的体积()比例。
(1)每公顷的施肥量一定,施肥总量与公顷数成( )比例。
(2)要修的路程一定,每天修的路程与天数成( )比例。
(3)肥料总数一定,每平方米施肥量和平方米成( )比例。
(4)钱的总数一定,铅笔数量和单价成( )比例。
(5)制造一批零件的个数一定,制造一个零件的时间和需要的总时间成( )比例。
A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例
(1)平行四边形的底一定,高和面积。
( )
(2)积一定,一个因数与另一个数。
( )
(3)一本书的页数一定,已看的页数和没看的页数。
( )
(4)工作效率一定,工作总量和工作时间。
( )
下面各题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例,并说明理由。
1、每个小朋友分的饼干数一定,饼干数的总块数和分的人数。
2、每箱梨的重量一定,箱数和总重量。
3、正方形的周长和边长。
4、正方形的面积和边长。
5、读一本书,每天读的页数和读的天数。
6、一箱饮料的数量一定,卖出的和剩下的。
7、三角形的底一定,它的面积和高。
8、每袋面粉的质量一定,面粉的总质量和袋数。
9、一个人的年龄和体重。
10、长方形的周长和宽。
11、长方形的长一定,面积与宽。
12、三角形的高一定,面积与底。
13、圆的面积与半径。
14、正方形的周长和边长。
15、一个班级的男生人数和女生人数。
16、每箱苹果个数一定,运来苹果的箱数与苹果总个数。
17房屋地面的面积一定,铺地砖的块数与每块地砖的面积。
18、每块地砖的面积一定,铺地面积与所需地砖的块数。
19、分子一定,分母和分数值。
20、三角形的高一定,它的底和面积。
21、梯形的上底和下底一定,面积和高。
22、圆的周长和直径。
23、车轮的直径一定,所行驶的路程和转数。
24、被乘数一定,乘数和积。
25、积一定,一个因数和另一个因数。
26、除数一定,被除数和商。
27、从甲地到乙地,行驶的速度和所用的时间。
28、每台电视机的价格一定,购买电视机的台数和钱数。
29、圆柱的侧面积一定,它的底面周长和高。
30、小明的身高和他的体重。
10判断下面的两种量成不成比例?
成正比例画“○”,成反比例画“△”,不成比例画“×”。
(1)每小时织布米数一定,织布的总时间和总米数。
( )
(2)一个人的年龄和他的体重。
( )
(3)生产总量一定,每天的生产量和生产天数。
( )
(4)正方形的边长和面积。
( )
(5)分母一定,分子和分数值。
( )
11填空:
(1)物品的总价一定,它的单价和数量成( )比例。
(2)每公顷的施肥量一定,施肥的公顷数和施肥总量成( )比例。
(3)要走的路程一定,已行路程与未行的路程( )比例。
(4)比的后项一定,前项和比值成( )比例。
(5)甲数是乙数的80%,甲数和乙数成( )比例。
(6)圆的半径和它的周长成( )比例。
14判断(对的打“√”,错的打“×”)
(1)生产效率一定,生产的总量和生产的时间成反比例。
( )
(2)出米率一定,大米的重量和稻谷的重量成正比例。
( )
(3)汽车速度一定,行驶的路程和所用时间成反比例。
( )
(4)三角形的高一定,它的面积和底不成比例。
( )
(5)被减数一定,减数和差成反比例。
( )
2、用一批纸装订练习本,每本25页,可以装订400本。
如果要装订500本,每本有X页。
题中()量一定,关系式:
()○()=()(一定),()和()成()比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺,需要640块。
如果改用边长0.4米的正方形地砖,需要Y块。
题中()量一定,关系式:
()○()=()(一定),()和()成()比例。
题型三:
根据图表成正反比例判断
例:
李平和同学星期六骑车去郊游,下图表示她骑车的路程和时间的关系。
(1)李平骑车行驶的路程和时间成正比例吗?
为什么?
(2)利用图估计,李平20分钟大约行了多少千米?
行20千米大约用了多少分钟?
(答案保留整数)
例:
根据表中两种量相对应的比值,判断它们是不是成正比例,并说明理由。
(1)
面粉的袋数(袋)
1
2
3
4
面粉的总重量(千克)
25
50
75
100
(2)
钢铁的重量(千克)
7.8
15.6
23.4
31.2
钢铁的体积(m3)
1
2
3
4
【巩固练习】
(4)糖果厂包装一批糖果,每袋糖果的粒数和装的袋数如下表:
每袋的粒数
12
15
20
24
…
装的袋数
50
40
30
25
…
每袋糖果的粒数和装的袋数成反比例吗?
为什么?
1、仔细观察每张表格,思考表格中两种量之间有关系吗?
有什么关系?
为什么?
表格1
数量/本
1
3
6
8
10
20
……
总价/元
4
12
24
32
40
80
……
表格2
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
总价/元
6
8
12
16
20
24
……
表格3用60元钱购买笔记本,笔记本的单价和可以购买的数量如下表:
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
数量/本
40
30
20
15
12
10
……
题型四:
根据比例关系填表
例4:
(1)根据
,填写下表。
20
35
120
2
8
(2)下表中
和
两个量成反比例,请把表格填写完整
2
40
5
0.1
(3)下表中
和
两个量相关联的量,观察规律,请把表格填写完整
0.5
0.6
1
1.5
2.7
3
【巩固练习】
(1)如果x和y成正比例,并且
=20。
请完成下表。
y
20
80
130
1000
850
x
1.5
8
0.4
10
在下图中,描出上题中y与相对应的x的点(注意找几个关键点),然后连成线。
(21)已知x和y成正比例关系,请完成下列表格。
x
60
8
y
6
4
2.4
(3)已知x和y成反比例关系,请完成下表。
x
0.07
1.4
0.2
y
14
10
(4)小英和妈妈的年龄变化情况如下,把表填写完整。
小英的年龄/岁
6
7
8
9
10
11
妈妈的年龄/岁
30
31
母女的年龄成正比例吗?
为什么?
10、某造纸厂每小时造纸1.5吨,2小时、3小时┈┈各造纸多少吨?
(1)把下表填写完整。
造纸时间/时
1
2
3
4
……
造纸吨数/吨
1.5
……
(2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。
吨数/吨
4
3
2
1
0
1234567时间/时
(3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?
为什么?
(4)根据图像判断,5小时造纸多少吨?
题型五:
比例的扩大缩小
例5:
选择。
(把正确答案的序号填在括号里)
(1)如果两种相关联的量成正比例,一种量扩大几倍,另一种量就()相同的倍数。
①扩大②缩小③增加④减少
(2)如果两种相关联的量成反比例,一种量扩大几倍,另一种量就()相同的倍数。
①扩大②缩小③增加④减少
(3)和一定,一个加数和另一个加数()。
①成正比例②成反比例③不成比例
(4)正方形的面积和边长()。
①成正比例②成反比例③不成比例
(5)甲、乙两车行同一段路程,甲车需3小时,乙车需5小时,甲、乙两车速度的比是()。
①11∶6②3∶5③5∶3
题型六:
根据关系式,说出哪种量一定,哪两种量成正比例或反比例。
例:
根据下面的关系式,说出哪种量一定,哪两种量成正比例。
(1)总价=单价×数量。
( )一定,( )和( )成正比例。
(2)长方形面积=底×高。
( )一定,( )和( )成正比例。
(3)xy=z。
( )一定,( )和( )成正比例。
(4)铺地面积=方砖面积×方砖块数。
( )一定,( )和( )成正比例。
(5)路程=速度×时间。
( )一定,( )和( )成正比例。
已知ab=c,a、b都不为0。
先写两个正比例关系式,再填空。
______( )一定,( )和( )成正比例。
______( )一定,( )和( )成正比例。
(1)速度×时间=路程。
速度一定,( )和( )成( )比例。
时间一定,( )和( )成( )比例。
路程一定,( )和( )成( )比例。
(2)单价×数量=总价。
单价一定,( )和( )成( )比例。
数量一定,( )和( )成( )比例。
总价一定,( )和( )成( )比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时,()与()成()比例;
当高一定时,()与()成()比例;
当侧面积一定时,()与()成()比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中,
当()一定时,()与()成正比例;
当()一定时,()与()成反比例;
6、当a×b=c(a、b、c为三种量,且均不为0)。
()一定,()与()成()比例;
()一定,()与()成()比例;
()一定,()与()成()比例;
拓展
例:
若x和y是两种相关联的量,判断它们是否成比例,成什么比例
(1)若5x=4y,(x,y均不为0),则x和y成()比例。
(2)若
,(x