完整版平面向量与三角形四心问题.docx
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完整版平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心
已知O是ABC内的一点，BOC,AOC,AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：
SA?
OASB?
OBSC?
OC0
OD
SBOD
SCOD
SBOD
SCOD
SA
OA
SBOA
SCOA
SBOA
SCOA
SBSC
OD
图2
OA
SBSC
SA?
OASB?
OBSC?
OC0
推论O是ABC内的一点，且x?
OAy?
OBz?
OC0，则
SBOC:
SCOA:
SAOBx:
y:
z
有此定理可得三角形四心向量式
OAOBOC0
O是ABC的重心
SBOC:
SCOA:
SAOB1:
1:
1
O是
S
ABC的内心
BOC:
SCOA
:
SAOB
a:
b:
ca?
OA
b?
OBc?
OC0
O是
ABC的外心
S
BOC:
SCOA
:
SAOB
sin2A:
sin2B:
sin2C
sin2A?
OA
sin2B
?
OB
sin2C?
OC
0
O是ABC的垂心
SBOC:
SCOA:
SAOBtanA:
tanB:
tanC
SBOC:
SCOADB:
AD
SBOC:
SCOAtanA:
tanB
同理得SCOA:
SAOBtanB:
tanC，SBOC:
SAOBtanA:
tanC
SBOC:
SCOA:
SAOBtanA:
tanB:
tanC
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统
4.2三角形“四心”的相关向量问题
一．知识梳理：
四心的概念介绍：
如图⑴.
（0，），则P的轨迹一定通过△ABC的（）.
A．重点B．外心C．内心D．垂心
∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）
A．内心B．重心C．外心D．垂心
解：
作出如图的图形AD⊥BC，由于sinB=sinC=AD，
∴=
由加法法则知，P在三角形的中线上
故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心
故选：
B．
与“垂心”有关的向量问题
A．重点B．外心
C．内心
D．
垂心
uuuruuuruuur
uuuruuur
uuur
uuur
uuur
uuur
【解析】由PAPBPB
PC，得PB
（PA
PC）
0，即PB
CA
uuuruuuruuur
uuur
3P是△ABC所在平面上一点，若PAPB
PBPC
PA⊥BC．∴P是△ABC的垂心．如图⑶.
uuuruuur
0，所以PB⊥CA．同
理可证PC⊥AB，
A
B
C
图⑶
4已知O是平面上一定点，A，B，
，（0，），则动点P的轨迹一定通过
uuur
OP
uuur
OA
uuur
AC
uuur
uuur
AB
cosB
AC
cosC
uuur
AB
△ABC
的（
A．重点
B．外心
C．内心
D．垂心
uuur
解析】由题意AP
uuur
AC
uuur
uuur
AB
cosB
AC
uuurAB
cosC
由于
uuur
uuur
AB
cosB
AC
cosC
uuur
AC
uuur
AB
uuur
BC
0，
uuur
uuur
AB
cosB
AC
cosC
BC的直线上，
uuuruuurACBC
uuuruuur即ABBC
uuuur
BC
uuuur
CB
uuuruuru
0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点
在过点A且垂直于
所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，如图⑷.
5若H为△ABC所在平面内一点，且
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
HA
BC
HB
CA
HC
AB
2
则点H是△ABC的（）
A．重点B．外心
C．
内心
D．垂心
证明:
QHA
HB
CA
BC
（HA
HB）?
BA
（CA
CB）?
BA
得（HA
HBCA
即（HC
HC）?
BA
CB）?
BA0
HC
0AB
同理AC
HB,BC
HA，
故H是△ABC的垂心
与“内心”有关的向量问题
6已知I为△ABC所在平面上的一点
，且AB
c，
ACb，
BCa．若
uuruuruur
aIAbIBcIC0，则I是△ABC的（
．A．重点B．外心C．内心
D．垂心
解析】
uur
∵IB
uur
IA
uuur
AB，
uurC
uur
IA
uuur
AC，
则由题意得（a
uurbc）IA
uuurbAB
uuur
cAC0，
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuurAB
AC
bAB
cAC
AC
AB
AB
AC
AC
ABuAuBur
，
ABAC
uuur
uuur
uur
bc
AB
AC
AI
abc
uAuBur
uAuCur
uuur
AB
uuur与
AB
uuur
ACuuuruuur
uuur分别为AB和AC方向上的单位向量，AC
uur
BAC．
∴AI与∠BAC平分线共线，即AI平分
同理可证：
BI平分ABC，CI平分ACB．从而I是△ABC的内心，如图⑸
的（）
（）．
A．重点
B．外心C．内心
D．垂心
A．垂心B．重心C．内心D．外心
∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，
可得AO在∠BAC的平分线上同理可得OB平分∠ABC，OA平分∠ACB，∴O是△ABC的内心．
故选：
C．
与“外心”有关的向量问题
uuuur
OC2，则O是△ABC的（）
uuuuruuuur
8已知O是△ABC所在平面上一点，若OA2OB2
△ABC的外心，如图⑺。
△ABC的（
）。
A．重点
B．外心C．内心
D．垂心
uuuruuur
uuur
uuur
OBOC
AB
AC
【解析】由于
过BC的中点，
当（0，）时，
uuur
uuur
表
2
AB
cosB
AC
cosC
uuru
示垂直于BC的向量（注意：
理由见二、4条解释。
），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的外心，如图⑻
四心的相互关系
1.三角形外心与垂心的向量关系及应用
设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是
uuuur
OH
uuur
OA
uuur
OB
uuurOC。
2.三角形外心与重心的向量关系及应用
设△ABC的外心为O，则点G为△ABC的重心的充要条件是
uuur
OG
1uuur（OA
3
uuur
OB
uuurOC）
3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用
设△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线（O、G、H1
三点连线称为欧拉线），且OG1GH。
2
相关题目
10．设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使．
求证：
（1）H是△ABC的垂心；
（2）O，G，H三点共线，且OG：
GH=1：
2．
【解答】证明：
（1）∵△ABC外心为O，
∴
又∵
∴
则=?
==0
即AH⊥BC
同理BH⊥AC，CH⊥AB即H是△ABC的垂心；
（2）∵G为△ABC的重心
=3=3+=
即=3
即O，G，H三点共线，且OH=3OG
即O，G，H三点共线，且OG：
GH=1：
2
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