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脉冲系统与脉冲控制综述

在现实世界中，存在许多实际的工程和自然系统•在某些时间区间连续渐变，而又由于某种原因，在某些时刻内会系统状态会遭到突然的改变。

由于变化时间往往非常短，其突变或跳跃过程可以视为在某时刻瞬间发生的。

我们把这种现象称为脉冲现象。

这些系统不能单靠传统的连续系统或单靠离散系统能解决的，可以找到许多具有这种现象的例子，女口，生态学中的种群增长［1-3］，传染病防治［4・6］•数字通信系统［7・9］•金融［10］，经济学中优化控制问题（11］等等都具有这种脉冲现象。

这种例子在很多领域中也能找到，女口，自动控制，计算机网络、供应链系统以及通信系统等等。

这种状态在某些瞬间发生突然变化的系统是不能用单用连续动力系统或者离散动力系统来描述的，这就很很自然的人们就提出了脉冲系统来描述这类具有脉冲现彖的动力系统。

一般来说，一个脉冲系统包括-三个元素［12］:

（1）一个连续的常微分系统，控制系统在脉冲或重置事件间的动态行为。

（2）一个离散的差分系统•在脉冲或重置事件发生的时候，状态瞬间改变的情况。

（3）一个判据，决定什么时候发生重置事件。

通常连续时间非线性脉冲系统可以描述为

x（z）二/（Xz）u/（z））,心3£2・・•}（、

⑴

次中脉冲时间仏山，®・・・｝是一个严格递增的时间序列，为系统状态变量，“为系统控制输入，山二X（r；）•班G）。

类似的离散时间脉冲系统可以描述为

X（t+i）=f{x（t\u（i））fy“{心・・・},

（2）x（4+1）=Ci（mr=€{12

其中f€ZJzr弋表非负整数。

2国内外研究现状

脉冲系统的研究最早可以追溯到上世纪60时年代Miliman.VD,Myshkis.AD［13］。

近些年来，脉冲系统作为一个非常活跃的研丸方向，吸引了一大批来自不同领域的学者进行研究。

夷理论日趋成熟，下而从以下几个方面来介绍脉冲系统近几年的研究现状：

2.1脉冲系统稳定性研究的现状

稳定性是动力系统的一个重要的性质，近几年来，在过去的脉冲系统研究的基础上［12］,运用Lyapunov稳崔理论与脉冲系统的比较原理，结合现实工程当中的应用，将时间滞后、参数不确以耗散性无源性、随机等因素被考虑到脉冲系统模型中来，并考虎脉冲系统的输入状态稳;问题，极大的丰富了经典的脉冲系统稳定性理论。

1）脉冲系统的输入状态稳定研究系统的稳企性问题，一个很重要的方而就是刻画外部输入对系统的影响。

由此，引入Tinpui-10-siatestability（ISS）和integral-i叩ui•to•siatestability（ilSS）。

2008年JoaoP.Hcspanha.

DanielLiberzon.AndrewR.Teel（141在Automatica上发表了一篇长文，在一般连续系统和切换系统ISS与ilSS基础上引入了脉冲系统ISS的概念。

定义1假设仏）是一个给定序列。

假设存在一个函数和使得，对任意初值和每个输入“，相应的

（1）的解全局满足

如,'（卜&）|,-0）+7（呱J］）VZ>/o

其中Wb是J间隔上的上确界范数，我们说脉冲系统

（1）是输入状态稳圧（ISS）Q

定义2假设｛/J是一个给定序列。

假设存在一个函数和笄，使得，对任意初值和每个输入“,相应的

（1）的解全局满足

讣（f）|<0（H（心）|J一心）+［讪心）|卅+2L7⑷,

（|"5）|）0空则脉冲系统⑴是integrali叩ui•U）•siatestable（ilSS）o以上两个定义都是宦义在一个特定的脉冲序列仏｝的基础上，如果（3）和（4）对于属于脉冲序列集合&上任意一个脉冲序列都成立，那么我们说脉冲系统在&匕统一ISS和统-ilSSo为了刻画脉冲频繁程度与ISS的关系，引入了类似丁•切换系统驻留时间的定义，给出了由驻留时间表达的脉冲系统

（1）ISS与ilSS的充分条件。

1）如果脉冲系统（1>的连续部分是ISS的，但是控制脉冲序列的离散事件系统不是ISS,

系统是ISS.如果脉冲发生不是很频繁。

2）如果脉冲系统（1>的连续部分不是ISS的，但是控制脉冲序列的离散事件系统是ISS,

那么脉冲间隔足够短的话，脉冲系统（1〉是ISS。

3）如果连续部分和离散部分都是ISS的，那么任意脉冲间隔都将使得脉冲系统（I）ISS。

在此基础上，Chcn.Wii.Hua和Zheng,WeiXingl⑸乂将以上结论推广到脉冲时滞系统。

2）脉冲时滞系统的稳定性问题

脉冲时滞系统是比经典时滞系统和脉冲常微分系统更加广泛和复杂的一类系统•对这类系统的研究是在时滞系统和脉冲常微分系统的基础上发展起来。

近几年来，也有不少的研究成果。

脉冲时滞系统的连续系统部分通常是一个时滞微分系统。

最早的一篇关于脉冲时滞系统的研究开始于1986年AnokhinO关于此类系统的研究，有了一些结果，但相对传统的脉冲系统来说还刚刚起步。

近些年来，关于脉冲时滞系统取得了很大的进展［3.16-28］0

研究时滞系统比研究不带时滞的动态系统要有挑战的多。

许多工具，如Lyapunov函数方S.Razumikhin技术•和比较原理等等都成功的应用于脉冲时滞系统。

最近，一批关于脉冲时滞系统统一渐进稳世性的结论被得到，放松了一些关于Lyapunov的导数的限制。

如2001年，LiuXinzhi和G.Ballinger［29］利用Lyapunov函数法结合Razumkhin条件建立了脉冲时滞系统的稳泄型条件，这些条件保证了有脉冲作用下，系统能保持原来的稳定性•甚至可以使一个原来不稳定的系统在脉冲的作用下而稳泄化。

因此突出了脉冲效应和脉冲时刻对系统稳定性的影响，如一个无脉冲效应的不稳定的时滞系统，在适当的时刻加以适当的脉冲效应，原来系统可以变成渐进稳总的，这些结果对于利用脉冲对一个系统进行镇；"具有较大意义。

这类脉冲系统一直没有得到指数稳泄的充分条件，直到最近才得到此类脉冲时滞系统的指数稳定的条件［26/0］0Yang.ZC和Xu.DY［30］,研究了一类非线性脉冲时滞系统，其中，连续时滞系统部分是一个多重时滞的系统，利用参数变异法给出了系统指数稳；4八的条件，给出了系统的收敛速度，并给出了脉冲控制设计步骤，可以调整脉冲间隔来调整收敛速度.

Chen.Wu-Hua和Zheng.WeiXing［31］研究了一类带有不确定参数的脉冲时滞系统，其中不确世参数是时变且有界的。

分三种情况的讨论了此类脉冲系统：

稳定的连续动力系统不稳定的离散系统，不稳定的连续系统和稳宦的离散系统，连续的和离散的部分都不稳世的。

Liu.B和HilLDJ［32］研究了离散脉冲时滞系统•并建立了离散脉冲系统和离散时滞脉冲系统的比较原理，并且分析估计了这些系统的吸引区域。

并且应用比较原理分析了几类（线性、仿射和非线性）离散脉冲系统的稳世性。

并推广到离散脉冲时滞大系统［33］03）随机脉冲系统的稳定性问题

目前所谓随机脉冲的系统大致有两种情况，第一种是连续演化部分是一个由随机微分方程描述的系统。

Liu.B卩4］通过构造类Lyapunov函数和伊藤枳分，运用脉冲系统的比较原理，建立了随机脉冲系统的稳世性充分条件。

随机脉冲系统的稳圧属性可以由一个确定性的脉冲系统的稳世性结果导出。

Xu丄G和Xu・DY［35］带时变时滞的脉冲控制随机系统，通过参数便依法和估计Cauchy矩阵，得到了一些均方指数稳ik的条件，并给出了收敛速度的估讣值0这个结论可推广于用脉冲控制镇泄不稳宦的随机系统。

Li.CG、Chen丄和Aihara・

K（36］也用比较原理讨论了这种脉冲随机系统的稳定性问题，并将它推广到同步带有扰动的混沌系统和带有扰动的随机神经网络上。

Zhang.H和Guan.ZH［37・38］讨论了一类带有马尔科夫跳变、参数不确世、脉冲效应的脉冲随机系统。

另一种是具有随机脉冲时刻的脉冲系统［391，即｛人心「・｛女昇・•｝是一组随机序列。

在实际问题中脉冲发生的时刻是全是确企的，而常常是随机的，也就是说，脉冲时刻是随机变量。

由于脉冲时刻是随机的，具有随机脉冲时刻的微分方程的所有解均为随机过程•这与传统的确定性脉冲时刻的微分方程解的性质柑差甚远，一般的确泄性脉冲时刻的脉冲系统的解是一个分段函数•无论是时间依赖的脉冲系统还是状态依赖的脉冲系统，其共同特征是脉冲时刻

4）脉冲神经网络

为了进一步扩大神经网络的适用范羽，GuanZH和ChenGR［40］在1990年提出了脉冲神经网络，也就是在传统的Hopfield神经网络中引入脉冲扰动0在这个工作中，作者研究了两个基本问题：

脉冲神经网络全局指数稳世性，平衡点的存在唯一性。

最近，文献［41-49］报告了脉冲时滞神经网络的稳泄性的一些新的研究成果。

Liu,XZ、Teo,KL和Xu,BJ［47］考虑了一类脉冲高阶Hopfield时滞神经网络的指数稳定，并估计了其指数收敛率问题。

Liu,X

ZWang,Q［41］通过Lyapunov-Razumikhin方法研究了一类高阶Hopfield时变时滞神经网络全局指数脉

冲镇定问题•可以通过脉冲控制它的指数收敛速度。

Li,CD、Feng,G和

Huang,TW［42）提出了亦能混杂切换Hopfield神经网络。

利用切换Lyapunov函数和广义

Halanay不等式，得到了一些任意切换脉冲和受限切换脉冲的渐进指数稳定的判据。

Song,Q

K和Cao,JD［44］研究了一类模糊Cohen-Grossberg时变时滞神经网络的稳定性问题，给出了一些指数稳定的条件，不仅讨论了稳世的系统在脉冲扰动的情况，页讨论了不稳;4人的系统利用脉冲效应达到稳定。

2.2脉冲控制研究现状

脉冲控制［50.51］在很多具体工程应用中广泛存在，而且作为一种典型的混朵系统，是目前工程和控制界研究的热点之一。

脉冲控制在实践中有着广泛的应用，如生态系统管理（4・6.52.53］，金融市场上的货币供应控制［10.11］，很多情况下，脉冲控制比连续控制更为有效，甚至有时只有脉冲控制才能达到控制的目的。

如•给计算机网络系统打不补丁［54］,是不肯连续进行的。

由于脉冲控制实现简单，成本低且能耗少，己经引起控制界的广泛关注。

近些年来，发展迅速。

脉冲控制在混沌方而的应用：

Zhi-HongGuan［55］提出了一种非线性系统脉冲控制方法，得到了脉冲控制系统的指数稳定和渐进稳泄的条件，并将其应用于陈氏混沌系统的控制中。

乙H・Guan和D・J.Hill［56,5刀研究了一类脉冲切换控制并将其应用于混沌控制与同步。

混沌同步与通信保密L58-60］是脉冲控制中的一个重要的应用。

自上世纪九十年代以来（5&59.61］,发展十分迅猪，各种主流的杂志上发表了大量文章。

总体来说，混沌同步的方法可以分为连续的和脉冲的两大类同不方案•在连续同步方案中，作为混沌同步控制所需要的信号，混沌同步的驱动信号被连续的传递到响应系统中。

而在脉冲冋步方案中，仅仅需要将采样脉冲信号传递给响应系统。

根据脉冲系统稳定性的柑关理论，脉冲控制同步的速度和精度依赖于脉冲采样周期和脉冲采样宽度•同步所需要脉冲的最小宽度随着脉冲周期的增大而增大。

而脉冲同步的速度还依赖于脉冲的幅值0下而对近些年来，脉冲控制混沌同步的文献做一个简单的综述。

WangYW和GuanZH［62］借助比较系统原理为陈氏混沌系统设计了脉冲控制器，并且估计了脉冲时间间隔的范围。

［63.64］建立了基于单变量耦合的脉冲同步控制策略，该方法适用于一类非线性连续系统，并且利用该理论设讣脉冲同步控制较容易确定脉冲间隔。

［64］建立了脉冲模糊模型，提出了基于T・S模型的饿脉冲模糊同步理论，该方法适用于一般的非线性系统。

近来，复杂网络受到系统•与控制界的大量的学者的高度关注。

Liu.B、Liu.XZ、Chen.GR和Wang•HY［65］利用脉冲控制实现了一类不确定的复杂网络的同步，瓦方案是在网络的每个节点上放一个脉冲控制器，在脉冲时刻（所有节点的时钟频率相同）的到一个共同的信息（孤立节点的解），通过每个节点共享这个信息，最终达到同步。

络同步的脉冲控制器。

另外，张群娇.陆君安和何克淸［67］考虑到脉冲的采样时滞是不可避免了，提出了时滞脉冲控制，模型如下

x（r）=Ax（t）+s-（x（O,t）,f£€{12・・・}

AA・二C/（f・q）,“{12…},

假设脉冲间隔必须大于时滞，即抵给岀了系统全局渐进稳泄的充分条件。

23其他的一些应用

2.3.1脉冲系统与网络控制系统网络控制系统（NCS）是目前系统与控制领域研究的一个热点。

将通信网络引入控制系统当中，使得控制系统的研究进入了一个新的纪元。

网络因素的引入，导致了一些的情况的发生，例如，丢包，传输时滞等等。

脉冲系统同样也是对此类问题建模的一个强有力的工具。

PayamNaghshtabrizi.JoaoP.Hespanha和AndrewR.Teel［7］研究了采样时间不确定的采样系统，利用线性脉冲系统对其建模。

将反馈采样信号也增广为系统状态•得到一下脉冲系统

加）"如r

细）二

脉冲间隔即采样间隔•通过分析脉冲系统的稳泄性，所得结论比以往的结论的保守性更小，容许的最大采样间隔更大，而且准许采用系统采用变采样时间的方式采样。

在此研究的基础上，将上述方法推广到反惯信号传输有时滞的情况【9】（如图1所示）

图1带时滞的闭合回路的网络控制系统（NCS）

依据以上分析可以得到更大准许时滞（rAJ）和采样间隔（Rnax）（见下图2）。

图表2蓝色的线代表［9］的结果；红色的代表其他文献的结果

黄剑、关治洪和王仲东［68］针对NCS中，网络信道数据丢包的不利影响，建立了有损网络控制系统的脉冲系统模型，根据切换系统的“驻留时间“思想，分析岀此类脉冲系统的渐进稳总性的条件。

在物理意义上，驻留时间指的是网络控制系统在两个相邻的通信故障事件之间连续正常工作的时间。

［69］提出了网络化脉冲控制系统的概念并研究了新环境下的系统稳；"性问题。

针对数据丢包的情形，定义了一个N步丢包率的概念，并且证明了在非网络化的脉冲控制系统为渐近稳泄的前提下，只要其N步丢包率充分小则得到的网络化脉冲控制系统仍然将保持渐近稳定性。

对于传输时滞的影响，在前人工作的启发下提出一个状态预测器，利用此预测器基于系统模型可以预测出系统状态的估讣值，使用此估计值计算得到控制输出•2.3.2脉冲系统在其他方面的应用

近些年来，还被引入了对一些生态系统进行建模，脉冲的疫苗接种［70,71］，人口学［2,3,72,73］，化学绝育模型［74］，脉冲出生率［75］»病虫害控制的脉冲模型：

带脉冲效应的捕食者•食饵模型是对综合害虫管理（IPM〉建模的一个有力工具，这种方法综合了生物控制和化学控制等方法，生物控制通过释放天敌（捕食者或者寄生虫）或者利用病理来控制害虫，这样既保护了环境又对公众健康有益•化学控制是通过喷洒杀虫剂来控制害虫的，它能使害虫数量迅速减少，尤其当考虑到释放天敌的成本或天敌数量不足以控制害虫时，必须使用杀虫剂，综合害虫管理比传统的方法（生物控制、化学控制）更有效。

捕食与被捕食系统

（Lolka-Volterra）描述如下:

一二x（r）（r（z）-«（r）A-（z）-/?

（z）y（O）,山（5）芈=y（f）（o（「）+c（f）x（O-〃（r）y（r））

其中班0和y（0分别表示食饵种群X和捕食种群Y的密度，而且两种群进行周期繁衍（按年或季节等九如果自然环境突变，食饵种群出生率过低，不到下次繁殖期就被捕食殆尽，那么捕食种群也将因没有食饵而趋于灭绝。

另一方而•如果自然环境突变，捕食种群的出生率过低或死亡率剧增，而食饵种群繁衍旺盛且少被捕食，可能泛滥成灾一一即产生“爆破”。

那么更能反映其实际背景的为下列具有脉冲作用的捕倉系统【1]

Z/V

Idf

Av=G（a）

△y二h（y）

在很多时候，脉冲发生的时间点，很多时候很可能是状态依赖的ONie,LF、Peng,JG.

Teng.ZD和Hu,L

（2）根据生物和化学的害虫控制策略，研究了一类Lotka-Volterra捕食者•诱饵状态依赖脉冲系统。

Guo,HJ和Chen,LS⑶研究了带脉冲效应的Lotka-Volterra模型的有效时间害虫的控制问题。

脉冲系统模型还被用于计算机蠕虫病毒的防治方而的研究。

Li,T和GuanZh[76]提出并研究了脉冲控制作用下的蠕虫传播模型（theWormPropagationwithImpulsiveControl,WPIC模型）。

该模型的主要特点是：

脉冲作用时刻，相当于统一采取预防措施的时刻。

通过采取预防措施而使易感染类主机转变成免疫类主机，可采取的措施比如系统升级、打补丁等等。

这在一个随处可遇而并非人人都具有安全意识及相应il•算机水平的网络内采取这种措施是非常必要的，也是切实可行的。

分析了无病周期解的存在性和全局渐近稳定性•利用分支理论分析了非平凡周期解的存在性。

3结论与展望

本文简单综述了一下脉冲系统及控制最近的一些进展。

首先讨论了分三块脉冲系统的稳定性问题:

脉冲系统的输入稳定、脉冲时滞系统的稳定和随机脉冲系统的稳崔问题。

然后我们综述了脉冲控制研究现状，尤其高度关注了脉冲的混沌控制与同步。

最后我们讨论了网络

控制系统的脉冲建模与害虫防治的脉冲建模。

脉冲系统与脉冲控制有非常长和丰富的历史，

我们上而的综述不可能涵盖加全部内容，有很多重要内容由于不熟悉所以没综述到里而•

脉冲系统与脉冲控制理论己经发展多年，日趋成熟。

但由于自然界和人类社会广泛的存

在着脉冲效应，这个领域研丸的生命力任然将生生不息。

1）供应链系统是目前管理、系统工程研究的热点。

以往，多是研究静态的供应链

系统。

最近，有部分学者将控制理论的方法引入苴中，来研究供应链系统。

在供应链系统中存在这许多大量的现象适用脉冲这一强有立功据无疑会得到更好，更能反映实际情况的结果。

2）生物系统的建模与控制：

生物控制是目前控制界的一大热点，2008年IEEETAC

就发了一期系统生物学专刊•在生物领域的脉冲现象更多，脉冲会使貝中的一个有力的建模工具。

3）网络与脉冲：

利用脉冲系统对网络控制进行建模。

网络坏境下的脉冲控制，研

究受网络约束的脉冲0

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