初中数学竞赛专项训练找规律题.docx

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初中数学竞赛专项训练找规律题

观察——归纳—猜想——找规律

给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是：

（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；

（2）猜想符合规律的一般性结论；

（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.

一、数字类

基本技巧

（一）标出序列号：

例如，观察下列各式数：

0，3，8，15，24，……。

我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：

0，3，8，15，24，……。

序列号：

1，2，3，4，5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。

因此，第n项是

-1

（二）公因式法：

每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。

例如：

1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（

），

1，2，3，4，5．。

。

。

。

。

。

，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。

（三）增副

A：

2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18

答案与3有关且是n的3次幂，即：

n

+1

B：

2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即：

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用

（一）、

（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。

再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：

2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：

0、3、8、15、24……，

序列号：

1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为

。

再看原数列是同时减2得到的新数列，则在

的基础上加2，得到原数列第n项

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例：

4，16，36，64，？

，144，196，…？

（第一百个数）

同除以4后可得新数列：

1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n

，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4n

，则求出第一百个数为4*100

=40000

（一）等差数列

　　例题：

2，5，8，（）。

　　例题5：

12，15，18，（），24，27。

　　A.20B.21C.22D.23

（二）等比数列

　　例题1：

2，1，1/2，（）。

　　A.0B.1/4C.1/8D.-1

　　例题2：

2，8，32，128，（）。

（三）平方数列

　　1、完全平方数列：

　　正序：

1，4，9，16，25

　　逆序：

100，81，64，49，36

　　2、一个数的平方是第二个数。

　　1）直接得出：

2，4，16，（256）

　　解析：

前一个数的平方等于第二个数，答案为256。

　　2）一个数的平方加减一个数等于第二个数：

　　1，2，5，26，（677）前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。

　　3、隐含完全平方数列：

　　1）通过加减一个常数归成完全平方数列：

0，3，8，15，24，（35）

　　前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案35

　　2）相隔加减，得到一个平方数列：

　　例：

65，35，17，（3），1

　　A.15B.13C.9D.3

　　解析：

不难感觉到隐含一个平方数列。

进一步思考发现规律是：

65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，再观察时发现：

奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。

*（四）立方数列

　　立方数列与平方数列类似。

　　例题1：

1，8，27，64，（125）

　　解析：

数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。

　　例题2：

0，7，26，63，（124）

　　解析：

前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。

（五）、加法数列

　　数列中前两个数的和等于后面第三个数：

n1+n2=n3

　　例题1：

1，1，2，3，5，（8）。

　　A8B7C9D10

　　解析：

第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律3+5=8答案为A。

　　例题2：

4，5，（9），14，23，37

　　A6B7C8D9

　　解析：

与例一相同答案为D

　　例题3：

22，35，56，90，（145）99年考题

　　A162B156C148D145

　　解析：

22+35-1=56，35+56-1=90，56+90-1=145，答案为D

　（六）、减法数列

　　前两个数的差等于后面第三个数：

n1-n2=n3

　　例题1：

6，3，3，（0），3，-3

　　A0B1C2D3

　　解析：

6-3=3，3-3=0，3-0=3，0-3=-3答案是A。

（提醒您别忘了：

“空缺项在中间，从两边找规律”）

（七）、乘法数列

　　1、前两个数的乘积等于第三个数

　　例题1：

1，2，2，4，8，32，（256）

　　前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。

　　例题2：

2，12，36，80，（）（2007年考题）

　　A.100B.125C.150D.175

　　解析：

2×1，3×4，4×9，5×16自然下一项应该为6×25＝150选C，此题还可以变形为：

，

，

，

…..,以此类推，得出

　　2、两数相乘的积呈现规律：

等差，等比，平方等数列。

　　例题2：

3/2，2/3，3/4，1/3，3/8（A）（99年海关考题）

　　A1/6B2/9C4/3D4/9

　　解析：

3/2×2/3=12/3×3/4=1/23/4×1/3=1/41/3×3/8=1/83/8×?

=1/16答案是A。

　（八）、除法数列

　　与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式：

　　1、两数相除等于第三数。

　　2、两数相除的商呈现规律：

顺序，等差，等比，平方等。

（九）、质数数列

　　由质数从小到大的排列：

2，3，5，7，11，13，17，19…

（十）、循环数列

　　几个数按一定的次序循环出现的数列。

　　例：

3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4

　　以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。

1、二级数列

　　这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。

　　例1：

26122030（42）

　　A.38B.42C.48D.56

　　解析：

后一个数与前个数的差分别为：

4，6，8，10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该是B。

　　例2：

2022253037（）

　　A.39B.45C.48D.51

　　解析：

后一个数与前一个数的差分别为：

2，3，5，7这是一个质数数列，因而要选的答案与37的差应该是11，所以答案应该是C。

　　例3：

25112032（47）

　　A.43B.45C.47D.49

　　解析：

后一个数与前一个数的差分别为：

3，6，9，12这显然是一个等差数列，因而要选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。

　　例4：

4571l19（35）

　　A.27B.31C.35D.41

　　解析：

后一个数与前一个数的差分别为：

1，2，4，8这是一个等比数列，因而要选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。

　　例5：

34716（43）

　　A.23B.27C.39D.43

　　解析：

后一个数与前一个数的差分别为：

1，3，9这显然也是一个等比数列，因而要选的答案与16的差应该是27，所以答案应该是D。

　　例6：

3227232018（17）

　　A.14B.15C.16D.17

　　解析：

后一个数与前一个数的差分别为：

-5，-4，-3，-2这显然是一个等差数列，因而要选的答案与18的差应该是-1，所以答案应该是D。

　　例7：

1，4，8，13，16，20，（25）

　　A.20B.25C.27D.28

　　解析：

后一个数与前一个数的差分别为：

3，4，5，3，4这是一个循环数列，因而要选的答案与20的差应该是5，所以答案应该是B。

　　例8：

1，3，7，15，31，（63）

　　A.61B.62C.63D.64

　　解析：

后一个数与前一个数的差分别为：

2，4，8，16这显然是一个等比数列，因而要选的答案与31的差应该是32，所以答案应该是C。

　　例9：

（69），36，19，10，5，2

　　A.77B.69C.54D.48

　　解析：

前一个数与后一个数的差分别为：

3，5，9，17这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数，后面的数应该是17*2-1=33，因而33+36=69答案应该是B。

　　例10：

1，2，6，15，31，（56）

　　A.53B.56C.62D.87

　　解析：

后一个数与前一个数的差分别为：

1，4，9，16这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案与31的差应该是25，所以答案应该是B。

　　例11：

1，3，18，216，（5184）

　　A.1023B.1892C.243D.5184

　　解析：

后一个数与前一个数的比值分别为：

3，6，12这显然是一个等比数列，因而要选的答案与216的比值应该是24，所以答案应该是D：

216*24=5184。

　　例12：

-21716（28）43

　　A.25B.28C.3lD.35

　　解析：

后一个数与前一个数的差值分别为：

3，6，9这显然是一个等差数列，因而要选的答案与16的差值应该是12，所以答案应该是B。

　　例13：

1361015（）

　　A.20B.21C.30D.25

　　解析：

相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即：

1+3=4=22，6+10=16=42，则15+？

=36=62呢，答案应该是B。

　　例14：

102，96，108，84，132，（36），（228）

解析：

后项减前项分别得-6，12，-24，48，是一个等比数列，则48后面的数应为-96，132-96=36，再看-96后面应是96X2=192，192+36=228。

二、设计类

【例1】在数学活动中，小明为了求

的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求

的值为         。

（2）请你利用图b，再设计一个能求

的值的几何图形。

三、动态类

【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，…。

若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。

则第10圈的长为           。

【例4】已知甲运动方式为：

先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：

先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。

在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,……。

依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是                    。

解析：

【例3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，……归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+10＝79。

【例4】（－3，－4）

四、计算类

【例10】观察下列等式：

，……则第n个等式可以表示为                    。

解析：

【例10】

【例11】观察下列各式：

，

，

，……根据前面的规律，得：

                    。

（其中n为正整数）

解析：

【例11】

【例12】观察下列等式：

观察下列等式：

4－1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，……这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示了自然数，用关于n的等式表示这个规律为                    。

解析：

【例12】

（n≥1，n表示了自然数）

五、图形类

【例13】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。

观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点共有                    个。

解析：

【例13】第一个正方形的整点数为2×4-4＝4，第二个正方形的正点数有3×4－4＝8，第三个正方形的整点数为4×4－4＝12个，……故第10个正方形的整点数为11×4-4＝40，

【例14】“

”代表甲种植物，“

”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。

按此规律，第六个图案中应种植乙种植物                    株。

【例14】第一个图案中以乙中植物有2×2＝4个，第二个图案中以乙中植物有3×3＝9个，第三个图案中以乙中植物有4×4＝16个，……故第六个图案中以乙中植物有7×7＝49个.

练习

一、数字排列规律题

1、观察下列各算式：

1+3=4=221+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42

按此规律

（1）试猜想：

1+3+5+7+…+2005+2007的值？

（2）推广：

1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？

2、下面数列后两位应该填上什么数字呢？

23581217____

3、请填出下面横线上的数字。

112358____21

4、有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、……聪明的你猜猜第100个数是什么？

5、有一串数字36101521___第6个是什么数？

6、观察下列一组数的排列：

1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（）.

A．1B．2C．3D．4

7、100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为_________个．

二、几何图形变化规律题

1、观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……

从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个．

2、观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是（填图形名称）.

三、数、式计算规律题

1、已知下列等式：

①13＝12；

②13＋23＝32；

③13＋23＋33＝62；

④13＋23＋33＋43＝102；

由此规律知，第⑤个等式是．

2、观察下面的几个算式：

1+2+1=4，

1+2+3+2+1=9，

　　1+2+3+4+3+2+1=16，

　　1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…

根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：

1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____.

3、1+2+3+…+100＝？

经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+

，其中ｎ是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：

1×2+2×3+…

＝？

观察下面三个特殊的等式

将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝

读完这段材料，请你思考后回答：

⑴

⑵

⑶

4、

参考答案:

一、1、

（1）10042

（2）（n+1）2

2、2330。

数列中每两个相邻数字间的差分别是1，2，3，4，5，6，7。

3、13。

这一数列后面一个数是前面相邻两个数的和。

4、34。

考虑时，可以从第一个数开始，每3个数加一个括号（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），……一共加了33个括号，剩下的一个必是第100个。

每个括号的第一个数分别是1，2，3，……因此第100个数必然是34。

5、28。

3+3=66+4=1010+5=1515+6=2121+7=28,所以第6个是28。

其实一般这类的规律题无非就是在数的基础上加减乘除，有些麻烦点的就是一个数乘上倍数后在加1或减1。

6、A7、33

二、1、6022、圆

三、1、

2、10000

3、⑴343400或

⑵

⑶

4、109.