九年级中考二轮专题复习梯形.docx
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九年级中考二轮专题复习梯形
2019-2020年九年级中考二轮专题复习：
梯形
一、选择题
1.（xx•山东烟台，第7题3分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（ ）
A．1.5B．3C．3.5D．4.5
考点：
等腰梯形的性质，直角三角形中30°锐角的性质，梯形及三角形的中位线．
分析：
根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根据三角形的中位线，可得答案．
解答：
已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，
∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC．∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC．
∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°，BC=2DC=2×3=6．
∵EF是梯形中位线，∴MF是三角形BCD的中位线，∴MF=BC=6=3，
故选：
B．
点评：
本题考查了等腰梯形的性质，利用了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质．
2.（xx•湖南怀化，第5题，3分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是（ ）
A．
△ABC≌△DCB
B．
△AOD≌△COB
C．
△ABO≌△DCO
D．
△ADB≌△DAC
考点：
等腰梯形的性质；全等三角形的判定．
分析：
由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易证得△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC；继而可证得∠ABO=∠DCO，则可证得△ABO≌△DCO．
解答：
解：
A、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；故正确；
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵BC＞AD，
∴△AOD不全等于△COB；故错误；
C、∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABO=∠DCO，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；故正确；
D、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ADB和△DAC中，
，
∴△ADB≌△DAC（SAS），故正确．
故选B．
点评：
此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
3.（xx•山东淄博,第7题4分）如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC．则cos∠DPC的值是（ ）
A．B．C．D．
考点：
等腰梯形的性质．
分析：
先根据等腰三角形的性质得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根据∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性质求出∠DPC的度数，进而得出结论．
解答：
解：
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，
∵AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，
∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，
∵∠BAC=∠CDB=90°，
∴3∠ABD=90°，
∴∠ABD=30°，
在△ABP中，
∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，
∴∠APB=60°，
∴∠DPC=60°，
∴cos∠DPC=cos60°=．
故选A．
点评：
本题考查的是等腰梯形的性质，熟知等腰梯形同一底上的两个角相等是解答此题的关键．
4．（xx•浙江宁波，第8题4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（）
A．
2：
3
B．
2：
5
C．
4：
9
D．
：
考点：
相似三角形的判定与性质．
分析：
先求出△CBA∽△ACD，求出=，COS∠ACB•COS∠DAC=，得出△ABC与△DCA的面积比=．
解答：
解：
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC
又∵∠B=∠ACD=90°，
∴△CBA∽△ACD
==，
AB=2，DC=3，
∴===，
∴=，
∴COS∠ACB==，
COS∠DAC==
∴•=×=，
∴=，
∵△ABC与△DCA的面积比=，
∴△ABC与△DCA的面积比=，
故选：
C．
点评：
本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是明确△ABC与△DCA的面积比=．
5.（xx•湘潭，第3题，3分）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=（ ）米．
（第1题图）
A．
7.5
B．
15
C．
22.5
D．
30
考点：
三角形中位线定理
分析：
根据三角形的中位线得出AB=2DE，代入即可求出答案．
解答：
解：
∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=15米，
∴AB=2DE=30米，
故选D．
点评：
本题考查了三角形的中位线的应用，注意：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6.（xx•德州，第7题3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：
2，则斜坡AB的长为（ ）
A．
4米
B．
6米
C．
12米
D．
24米
考点：
解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：
先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．
解答：
解：
在Rt△ABC中，∵=i=，AC=12米，
∴BC=6米，
根据勾股定理得：
AB==6米，
故选B．
点评：
此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．
7.（xx•广西贺州，第9题3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（ ）
A．
12
B．
15
C．
12
D．
15
考点：
等腰梯形的性质．
分析：
过点A作AE∥CD，交BC于点E，可得出四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰梯形的性质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定义求出∠EAC的度数，故可得出四边形ADEC是菱形，再由等边三角形的判定定理得出△ABE是等边三角形，由此可得出结论．
解答：
解：
过点A作AE∥CD，交BC于点E，
∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD=30°，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，
∴∠EAC=30°，
∴AE=CE=3，
∴四边形ADEC是菱形，
∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE=3，
∴梯形ABCD的周长=AB+（BE+CE）+CD+AD=3+3+3+3+3=15．
故选D．
点评：
本题考查的是等腰梯形的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．
8.（xx•襄阳，第10题3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于（ ）
A．
80°
B．
90°
C．
100°
D．
110°
考点：
梯形；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质．
分析：
根据等边对等角可得∠DEC=80°，再根据平行线的性质可得∠B=∠DEC=80°，∠A=180°﹣80°=100°．
解答：
解：
∵DE=DC，∠C=80°，
∴∠DEC=80°，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC=80°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣80°=100°，
故选：
C．
点评：
此题主要考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．
9．（xx·台湾，第3题3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E点在BC上，且AE⊥BC．若AB＝10，BE＝8，DE＝6，则AD的长度为何？
（ ）
A．8B．9C．6
D．6
分析：
利用勾股定理列式求出AE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE＝90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解：
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝
＝
＝6，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∴AD＝
＝
＝6
．
故选C．
点评：
本题考查了梯形，勾股定理，是基础题，熟记定理并确定出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．
10.（xx年广西钦州，第10题3分）如图，等腰梯形ABCD的对角线长为13，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．13B．26C．36D．39
考点：
等腰梯形的性质；中点四边形．
分析：
首先连接AC，BD，由点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH，FG，EF，GH是三角形的中位线，然后由中位线的性质求得答案．
解答：
解：
连接AC，BD，
∵等腰梯形ABCD的对角线长为13，
∴AC=BD=13，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=GF=BD=6.5，EF=GH=AC=6.5，
∴四边形EFGH的周长是：
EH+EF+FG+GF=26．
故选B．
点评：
此题考查了等腰梯形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
11．（xx衡阳，第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形，坝顶宽米，坝高米，斜坡的坡度，则坝底的长度为【】
A．米B．米C．米D．米
二.填空题
1.（xx•广西玉林市、防城港市，第17题3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是 7+ ．
考点：
直角梯形．
分析：
根据题意得出AB=AD，进而得出BD的长，再利用在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而求出CD以及利用勾股定理求出BC的长，即可得出梯形ABCD的周长．
解答：
解：
过点A作AE⊥BD于点E，
∵AD∥BC，∠A=120°，
∴∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABE=∠ADE=30°，
∴AB=AD，
∴AE=AD=1，
∴DE=，则BD=2，
∵∠C=90°，∠DBC=30°，
∴DC=BD=，
∴BC===3，
∴梯形ABCD的周长是：
AB+AD+CD+BC=2+2++3=7+．
故答案为：
7+．
点评：
此题主要考查了直角梯形的性质以及勾股定理和直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出∠DBC的度数是解题关键．
2.（xx•扬州，第13题，3分）如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1= 67.5° ．
（第1题图）
考点：
等腰梯形的性质；多边形内角与外角
分析：
首先求得正八边形的内角的度数，则∠1的度数是正八边形的度数的一半．
解答：
解：
正八边形的内角和是：
（8﹣2）×180°=1080°，
则正八边形的内角是：
1080÷8=135°，
则∠1=×135°=67.5°．
故答案是：
67.5°．
点评：
本题考查了正多边形的内角和的计算，正确求得正八边形的内角的度数是关键．
3.（xx•扬州，第14题，3分）如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为 40 cm3．
（第2题图）
考点：
翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理
分析：
根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积．
解答：
解：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE=10cm；
由折叠的性质可得：
AF⊥DE，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC=BC×AF=×10×8=40cm2．
故答案为：
40．
点评：
本题考查了翻折变换的性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是得出AF是△ABC的高．
4.（xx•黑龙江龙东,第3题3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足 AB=DC（或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D）等 条件时，有MB=MC（只填一个即可）．
考点：
梯形；全等三角形的判定．.
专题：
开放型．
分析：
根据题意得出△ABM≌△△DCM，进而得出MB=MC．
解答：
解：
当AB=DC时，∵梯形ABCD中，AD∥BC，
则∠A=∠D，
∵点M是AD的中点，
∴AM=MD，
在△ABM和△△DCM中，
，
∴△ABM≌△△DCM（SAS），
∴MB=MC，
同理可得出：
∠ABC=∠DCB、∠A=∠D时都可以得出MB=MC，
故答案为：
AB=DC（或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D）等．
点评：
此题主要考查了梯形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ABM≌△△DCM是解题关键．
5.（xx•青岛，第13题3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 2 ．
考点：
轴对称-最短路线问题；等腰梯形的性质．
分析：
要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考虑转化PA、PB的值，从而找出其最小值求解．
解答：
解：
∵E，F分别是底边AD，BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形，
∴B点关于EF的对称点C点，
∴AC即为PA+PB的最小值，
∵∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，
∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AD=2，
∴PA+PB的最小值=AB•tan60°=．
故答案为：
2．
点评：
考查等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．
6.（xx•攀枝花，第16题4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：
ED=2：
1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是 ．
考点：
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯形．
分析：
首先延长BA，CD交于点F，易证得△BEF≌△BEC，则可得DF：
FC=1：
4，又由△ADF∽△BCF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ADF的面积，继而求得答案．
解答：
解：
延长BA，CD交于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在△BEF和△BEC中，
，
∴△BEF≌△BEC（ASA），
∴EC=EF，S△BEF=S△BEC=2，
∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4，
∵CE：
ED=2：
1
∴DF：
FC=1：
4，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BCF，
∴=（）2=，
∴S△ADF=×4=，
∴S四边形ABCD=S△BEF﹣S△ADF=2﹣=．
故答案为：
．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（xx•湖北黄石,第14题3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，则△BCE的周长为 ．
第1题图
考点：
等腰梯形的性质．
分析：
首先根据等腰梯形的性质可得∠D=∠C=45°，进而得到∠EBC=90°，然后证明四边形ABED是平行四边形，可得AB=DE=1，再得EC=2，然后再根据勾股定理可得BE长，进而得到△BCE的周长．
解答：
解：
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠D=∠C=45°，
∵EB∥AD，
∴∠BEC=45°，
∴∠EBC=90°，
∵AB∥CD，BE∥AD，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=1，
∵CD=3，
∴EC=3﹣1=2，
∵EB2+CB2=EC2，
∴EB=BC=，
∴△BCE的周长为：
2+2，
故答案为：
2+2．
点评：
此题主要考查了等腰梯形的性质，以及平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是掌握等腰梯形同一底上的两个角相等．
三.解答题
1.（xx年江苏南京，第19题）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：
四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？
为什么？
（第1题图）
考点：
三角形的中位线、菱形的判定
分析：
（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
（1）证明：
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；
（2）解答：
当AB=BC时，四边形DBEF是菱形．
理由如下：
∵D是AB的中点，∴BD=AB，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．
点评：
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．
2.（xx•乐山，第21题10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．[来源:
学,科,网]
考点：
直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形．.
分析：
利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长．
解答：
解：
过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1，
在△ABH中，∠B=30°，AB=2，
∴cos30°=，
即BH=ABcos30°=2×=3，
∴BC=BH+BC=4，
∵CE⊥AB，
∴CE=BC=2．
点评：
此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH的长是解题关键．
3.（xx•攀枝花，第19题6分）如图，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，点O为坐标原点，且A（2，﹣3），C（0，2）．
（1）求过点B的双曲线的解析式；
（2）若将等腰梯形OABC向右平移5个单位，问平移后的点C是否落在
（1）中的双曲线上？
并简述理由．
考点：
等腰梯形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化-平移．
分析：
（1）过点C作CD⊥AB于D，根据等腰梯形的性质和点A的坐标求出CD、BD，然后求出点B的坐标，设双曲线的解析式为y=（k≠0），然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答；
（2）根据向右平移横坐标加求出平移后的点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征判断．
解答：
解：
（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A（2，﹣3），
∴CD=2，BD=3，
∵C（0，2），
∴点B的坐标为（2，5），
设双曲线的解析式为y=（k≠0），
则=5，
解得k=10，
∴双曲线的解析式为y=；
（2）平移后的点C落在
（1）中的双曲线上．[来源:
]
理由如下：
点C（0，2）向右平移5个单位后的坐标为（5，2），
当x=5时，y==2，
∴平移后的点C落在
（1）中的双曲线上．
点评：
本题考查了等腰梯形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握等腰梯形的性质并求出点B的坐标是解题的关键．
4.（xx•黑龙江龙东,第26题8分）已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．
（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）
（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．
考点：
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；梯形中位线定理．.
分析：
（1）利用垂直于同一直线的两条直线平行得出ME∥CF，进而利用中位线的性质得出即可；
（2）根据题意得出图2的结论为：
ME=（BD+CF），图3的结论为：
ME=（CF﹣BD），进而利用△DBM≌△KCM（ASA），即可得出DB=CKDM=MK即可得出答案．
解答：
解：
（1）如图1，
∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，
∴ME∥CF，
∵M为BC的中点，
∴E为BF中点，
∴ME是△BFC的中位线，
∴EM=CF．
（2）图2的结论为：
ME=（BD+CF），
图3的结论为：
ME=（CF﹣BD）．
图2的结论证明如下：
连接DM并延长交FC的延长线于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠DBM=∠KCM
在△DBM和△KCM中
，
∴△DBM≌△KCM（ASA），
∴DB=CKDM=MK
由题意知：
EM=FK，
∴ME=（CF+CK）=（CF+DB）
图3的结论证明如下：
连接DM并延长交FC于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠MBD=∠KCM
在△DBM和△KCM中
，
∴△DBM≌△KCM（ASA）
∴DB=CK，DM=MK，
由题意知：
EM=FK，
∴ME=（CF﹣CK）=（CF﹣DB）．
点评：
此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△DBM≌△KCM（ASA）是解题关键．
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