高中数学材料阅读割圆术教案新课标人教版必修3A.docx

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高中数学材料阅读割圆术教案新课标人教版必修3A

2019-2020年高中数学材料阅读割圆术教案新课标人教版必修3（A）

圆周率是一个极其驰名的数。

从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。

作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。

仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。

事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。

回顾历史，人类对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。

π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。

直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。

为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。

我国的刘徽创立了割圆术，给出了“割圆”的一般法则，后世的割圆家可能在π的近似值上估计得比他精密，但若论及创始的功劳，则他的地位是无人可以替代的。

刘徽是魏人，经历可能延长到晋朝，这是史家根据《隋书》记载的魏陈留王景元四年（263A.D.）刘徽注九章的文句推断出来的。

晋朝算学博士王孝通（《缉古算经》的作者）称赞他“思极毫芒”，推许他的著作“一时独步”。

他那极富原创性的《九章算术注》（附于现传本的《九章算术》内），及《重差术》（即现传的《海岛算经》）二部著作，的确是他不朽声名的最佳脚注。

刘徽的割圆术记载在九章算术第一卷方田章的第32题关于圆面积计算的注文里。

我们把它归纳为下列几点来加以说明。

一、刘徽首先指出利用π=3这一数值算得的结果不是圆面积，而是圆内接正十二边形的面积，这个结果比π的真值少。

二、他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数加倍，算出正12边形、正24边形、正48边形、正96边形……的面积，这些面积会逐渐地接近圆面积。

设圆的半径为1，弦心距OG为；正n边形的边长AB为，面积为，根据各个勾股定理，得：

容易知道

三、已知正6边形一边（恰与半径等长，详见《九章算术》），即求得正12边形边长，……。

由正12边形求正24边形一边之长时，刘徽反复地应用到句股定理（或称商高、勾股定理），如下图：

正n边形的面积等于正n边形的面积加上n个等腰三角形的面积，即

；；...

学生利用TI-voyage200图形计算器操作：

（老师现场指导）

运行程序为：

用正多边形逐渐增加边数的方法来计算圆周率，在公元前200年左右，早为阿基米德（287？

～212B.C.）率先采用。

但阿阿基米德同时采用内接和外切两种入算，不如刘徽仅用内接，比较简便多了。

大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献。

对此，《隋书·律历志》有如下记载：

“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。

以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。

密率：

圆径一百一十三，圆周三百五十五。

约率，圆径七，周二十二。

”

　　这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。

其一是求得圆周率

　　　　3.1415926＜π＜3.1415927

2019-2020年高中数学条件概率与事件的相互独立性教学案新人教A版选修2-2

教学目标：

1、通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。

理解两个事件相互独立的概念。

2，掌握一些简单的条件概率的计算。

能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

3，通过对实例的分析，会进行简单的应用

教学重点：

条件概率定义的理解

教学难点：

概率计算公式的应用

教学设想：

引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式

教学过程：

概念：

1，对于两个事件A与B，如果P（A）>0,称P（B︱A）=P（AB）/P（A）,为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.

2，如果两个事件A与B满足等式P（AB）=P（A）P（B）,称事件A与B是相互独立的，简称A与B独立。

例1．一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可从中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求

（1）任意按最后一位数字，不超过次就对的概率；

（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过次就按对的概率.

解：

设第i次按对密码为事件（i=1,2），则表示不超过2次就按对密码．

（1）因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得

.

（2）用B表示最后一位按偶数的事件，则

.

例2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？

解：

一个家庭的两个孩子有四种可能：

{（男，男）}，{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。

这个家庭中有一个女孩的情况有三种：

{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。

在这种情况下“其中一个小孩是男孩”占两种情况，因此所求概率为2／3.

例3．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是，计算：

（1）两人都投中的概率；

（2）其中恰有一人投中的概率；（3）至少有一人投中的概率.

解：

（1）“两人各投一次，都投中”就是事件AB发生，因此所求概率为

P（AB）=P（A）P（B）=0.6×0.6=0.36

（2）分析：

“两人各投一次，恰有一人投中”包括两种情况：

甲投中，乙未投中；甲未击中，乙击中。

因此所求概率为

。

（3）分析：

“两人各投一次，至少有一人投中”包括三种情况：

甲投中，乙未投中（事件AB发生）；甲未投中，乙投中（事件AB发生）；甲、乙两人都击中目标（事件AB发生）

解法一：

“两人各投一次，至少有一人投中”的概率为

P=P（AB）＋P（AB）＋P（AB）=0.6×0.6＋0.6×（1－0.6）＋（1－0.6）×0.6

=0.36＋0.48=0.84

方法二：

分析：

“两人都未投中目标（事件AB发生）”的概率为

P（A·B）=P（A）·P（B）=（1－0.6）×（1－0.6）=0.16

P=1－P（AB）=1－0.16=0.84

例4．在一段线路中并联着三个独立自动控制的开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，计算在这段时间内线路正常工作的概率.

解：

分别记这段时间内开关JA,JB,JC能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是

∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是

自我检测　

1．设、为两个事件，且，若，，则（）

A．B．C．D．

2．某人忘记了电话号码的最后一个数字，如果已知最后一个数字是不小于的数，则他按对的概率是（）

A．B．C．D．

3．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（）

A．B．C．D．

4，某产品的制作需三道工序，设这三道工序出现次品的概率分别是P1,P2,P3。

假设三道工序互不影响，则制作出来的产品是正品的概率是。

5．在5道题中，有3道选择题和2道解答题，如果不放回地依次抽取2道题：

（1）则第一次抽到选择题的概率为.

（2）第一次和第二次都抽到选择题的概率为.

（3）则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到选择题的概率为

6．甲、乙两人分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求

（1）人都射中的概率；

（2）人中恰有人射中的概率；

（3）人至少有人射中的概率；

答案：

1，A。

2，A。

3，A。

4，（1－P1）（1－P2）（1－P3）。

5，

（1）0.6

（2）0.3（3）0.5.

6，

（1）0.72.

（2）0.26.（3）0.98

小结：

1、条件概率的定义：

设A，B为两个事件，则在事件A发生的条件下，

事件B发生的概率就叫做的条件概率

2、条件概率的计算公式；

3，相互独立事件的定义:

设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响（即P（AB）=P（A）P（B））,则称事件A与事件B相互独立.

作业；P60，1，2.

2． 2．1条件概率与事件的相互独立性

预习目标：

1、了解条件概率的概念，能利用概率公式解决有关问题；

　2、理解事件的相互独立性，掌握相互独立事件同时发生的概率.

学习重点：

条件概率的计算公式及相互独立事件同时发生的概率的求法.

学习过程：

一．课前预习：

内化知识　夯实基础

（一）基本知识回顾

1．的两个事件叫做相互独立事件.

2、两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的，即

.

一般的，如果事件、相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的，即.

3、一般的，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率.

4、条件概率的性质：

（1）

（2）

5、计算事件发生的条件下的条件概率，有2种方法：

（1）利用定义：

（2）利用古典概型公式：

二．过关练习

1、在个球中有个红球和个白球（各不相同），不放回地依次摸出个球，在第一次摸出红球的条件下，第次也摸到红球的概率为（）

A．B．C．D．

2、从一副不含大小王的张扑克牌中不放回地抽取张，每次抽张，已知第一次抽到，第二次也抽到的概率为.

3、掷骰子次，每个结果以记之，其中，分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设，，则.

4、事件、、相互独立，如果，，，则.

三．课堂互动：

积极参与　领悟技巧

例1．一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可从中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求

（3）任意按最后一位数字，不超过次就对的概率；

（4）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过次就按对的概率.

例2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？

例3．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是，计算：

（1）两人都投中的概率；

（2）其中恰有一人投中的概率；（3）至少有一人投中的概率.

例4．在一段线路中并联着三个独立自动控制的开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，计算在这段时间内线路正常工作的概率.

四．强化训练：

自我检测　能力升级

1．设、为两个事件，且，若，，则（）

A．B．C．D．

2．某人忘记了电话号码的最后一个数字，如果已知最后一个数字是不小于的数，则他按对的概率是（）

A．B．C．D．

3．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（）

A．B．C．D．

4，某产品的制作需三道工序，设这三道工序出现次品的概率分别是P1,P2,P3。

假设三道工序互不影响，则制作出来的产品是正品的概率是。

5．在5道题中，有3道选择题和2道解答题，如果不放回地依次抽取2道题：

（1）则第一次抽到选择题的概率为.

（2）第一次和第二次都抽到选择题的概率为.

（3）则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到选择题的概率为.

6．甲、乙两人分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求

（1）人都射中的概率；

（2）人中恰有人射中的概率；

（3）人至少有人射中的概率；

答案：

答案：

1，A。

2，A。

3，A。

4，（1－P1）（1－P2）（1－P3）。

5，

（1）0.6

（2）0.3（3）0.5.

6，

（1）0.72.

（2）0.26.（3）0.98

小结：

1、条件概率的定义

2、条件概率的计算公式；

3、相互独立事件的定义:

作业；P60，1，2.

2．2．2独立重复实验与二项分布

教学目标：

知识与技能：

理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

过程与方法：

能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：

承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：

理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题

教学难点：

能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算

授课类型：

新授课

课时安排：

1课时

讲解新课：

1_独立重复试验的定义：

指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

2．独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率．

它是展开式的第项

3.离散型随机变量的二项分布:

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

，（k＝0,1,2,…，n，）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ

0

1

…

k

…

n

P

…

…

由于恰好是二项展开式

中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，

记作ξ～B（n，p），其中n，p为参数，并记＝b（k；n，p）．

例1．某射手每次射击击中目标的概率是0.8.求这名射手在10次射击中，

（1）恰有8次击中目标的概率；

（2）至少有8次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．）

解：

设X为击中目标的次数，则X～B（10,0.8）.

（1）在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为

P（X=8）＝

.

（2）在10次射击中，至少有8次击中目标的概率为

P（X≥8）=P（X=8）+P（X=9）+P（X=10）

.

例2．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P（ξ>3）．

解：

依题意，随机变量ξ～B．

　　∴P（ξ=4）==，P（ξ=5）==．

∴P（ξ>3）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=

例3．某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留两个有效数字）：

（1）5次预报中恰有4次准确的概率；

（2）5次预报中至少有4次准确的概率

解：

（1）记“预报1次，结果准确”为事件．预报5次相当于5次独立重复试验，根据次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率

答：

5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.

（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即

答：

5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．

例4．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？

（结果保留两个有效数字）

解：

记事件＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验

1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率，

1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率，

所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为

答：

1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为．

课堂练习：

1．每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（）

2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（）

3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是（）

4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（）

5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为．（设每次命中的环数都是自然数）

6，种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：

⑴全部成活的概率；⑵全部死亡的概率；

⑶恰好成活3棵的概率；⑷至少成活4棵的概率

答案：

1.C2.D3.A4.A5.0.784。

6，⑴；⑵；

⑶

；⑷

小结：

1．独立重复试验要从三方面考虑第一：

每次试验是在同样条件下进行第二：

各次试验中的事件是相互独立的第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生

2．如果1次试验中某事件发生的概率是，那么次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为对于此式可以这么理解：

由于1次试验中事件要么发生，要么不发生，所以在次独立重复试验中恰好发生次，则在另外的次中没有发生，即发生，由，所以上面的公式恰为展开式中的第项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系

六、课后作业：

课本58页练习1、2、3、4第60页习题2.2B组2、3

七、板书设计（略）

八、课后记：

教学反思：

1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

2.能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

2．2．2独立重复实验与二项分布

学习目标：

1，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

2，能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率

学习重点：

理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题

学习难点：

能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算

学习过程：

一．课前预习：

内化知识　夯实基础

1，n次独立重复试验

在————————————条件下—————————————的n次试验称为n次独立重复试验。

2，独立重复试验概型有什么特点？

⑴在同样条件下重复地进行的一种试验；

⑵各次试验之间相互独立，互相之间没有影响；

⑶每一次试验只有两种结果，即某事要么发生，

要么不发生，并且任意一次试验中发生的概率

都是一样的。

3，应用二项分布解决实际问题的步骤：

（1）判断问题是否为独立重复试验；

（2）在不同的实际问题中找出概率模型

中的n、k、p；

（3）运用公式求概率。

4，设诸葛亮解出题目的概率是0.9，三个臭皮匠各自独立解出的概率都是0.6，皮匠中至少一人解出题目即胜出比赛，诸葛亮和臭皮匠团队哪个胜出的可能性大？

解：

设皮匠中解出题目的人数为X，则X的分布列：

至少一人解出的概率为：

解1：

（直接法）P（x≥1）=P（x=1）+P（x=2）+P（x=3）=0.936.

解2：

（间接法）P（x≥1）=1-P（x=0）=1-0.43=0.936

因为0.936﹥0.9，所以臭皮匠团队胜出的可能性大

三．课堂互动：

积极参与　领悟技巧

例1．某射手每次射击击中目标的概率是0.8.求这名射手在10次射击中，

（1）恰有8次击中目标的概率；

（2）至少有8次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．）

例2．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P（ξ>3）．

例3．某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留两个有效数字）：

（1）5次预报中恰有4次准确的概率；

（2）5次预报中至少有4次准确的概率

例4．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？

（结果保留两个有效数字）

课堂练习：

1．每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（）

2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（）

3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是（）

4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（）

5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为．（设每次命中的环数都是自然数）

6，种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：

⑴全部成活的概率；⑵全部死亡的概率；

⑶恰好成活3棵的概率；⑷至少成活4棵的概率

小结：

1．独立重复试验要从三方面考虑第一：

每次试验是在同样条件下进行第二：

各次试验中的事件是相互独立的第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生

2．如果1次试验中某事件发生的概率是，那么次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为对于此式可以这么理解：

由于1次试验中事件要么发生，要么不发生，所以在次独立重复试验中恰好发生次，则在另外的次中没有发生，即发生，由，所以上面的公式恰为展开式中的第项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系

六、课后作业：

课本58页练习1、2、3、4第60页习题2.2B组2、3