大连交通大学高等数学E1应试指南第17章docx.docx
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大连交通大学高等数学E1应试指南第17章docx
第一章函数、极限与连续
知识要点：
1、会求给定函数的自然定义域（用导数研究奇偶性凹凸性的时候
要用到）
2、会求反函数（第二换元积分法要用到）
3、会判断一个函数是否有界，掌握奇偶性和单调性的基本概念（这
三个性质很多地方要用到）
4、数列极限与函数极限的定义（极限研究的是当自变量发生某种
变化时，函数值是否无限接近于某个确定的实数值）
5、会求左右极限（判断间断点和求左右导数的时候要用到）
6、
有界函数与无穷小的乘积为无穷小
7、
无穷小和无穷大之间互为倒数
8、
掌握高阶，同阶，等价，n阶无穷小的基本概念
9、
几个重要的等价无穷小：
当x（x
x0）时，如果g（x）
0，则：
1
cos（g（x））:
1g（x）2
n1
g（x）
1~1g（x）
，
sin（g（x））:
g（x）~tan（g（x）），
2，
n
arcsing（x）:
g（x）:
arctang（x）
，ln（1g（x））~g（x）
，
eg（x）
1~g（x）
，
ag（x）1~g（x）lna（a0）
10
、极限的四则运算法则
11
、复合函数的极限运算法则：
如果
f（u）关于变量u连续，则：
limf（g（x））f（limg（x））
12、准则I（夹逼准则）：
如果数列xn,yn及zn满足下列条件:
（1）ynxnzn（n1,2,3,）;
limyn
a,limzna,
（2）n
n
limxna.
那末数列xn的极限存在,且n
12、单调递增有上界的数列必有极限，单调减少有下界的数列必有极限
sing（x）
13
、两个重要极限：
（1）如果x
a时，g（x）
lim
0，则：
xag（x）
1
（2）如果x
a时，g（x）
0
lim1g（x）g（x）
，则：
xa
14
、当求极限的函数是几个无穷小的积和商时可以进行等价无穷小
替换，和差的时候不可以
15、会判断函数在一点是否连续
16、函数的间断点及其分类：
第一类间断点：
跳跃间断点，可去间断点；第二类间断点：
无穷间断点，振荡间断点；会判断是哪种类型的间断点
17、连续函数之间的和差积商都是连续的，两连续函数的复合也是
连续的，初等函数在其定义区间内都是连续的
18、闭区间上连续函数的性质：
最大最小值定理，有界性定理，零
点定理，介值定理
19、会求函数的水平渐近线和垂直渐近线
注意事项：
1、讨论函数连续性的时候，对于分段函数，若在每个小的开区间
上为初等函数，则在此开区间上必连续；而在分隔点处，先求
在分隔点处的左右极限然后与函数值进行比较，如间断必须判
1
e
断出是哪种间断点
2、幂指函数求极限：
limf（x）g（x）limeg（x）lnf（x）elim[g（x）lnf（x）]
3、做题的时候一定要把求极限符号下自变量的变化趋势给写出
来，我不写是为了表示两种不同的变化趋势都适用，你做具体
题的时候不可以不写，推导的过程中极限符号不可落掉，避免
出现极限等于一个函数的情形
第二章导数与微分
知识要点：
f（x0）
y
f（x0
x）
f（x0）
lim
lim
x
1、掌握导数的定义：
x0x
x0
2、函数在一点处左右导数的定义
3、函数在一点可导左右导数都存在且相等函数在这一点连续
4、函数在x0处导数的几何意义：
函数图像过点（x0,f（x0））切线的斜率
5、求导的四则运算法则
6、会求函数过某点的切线方程和法线方程
7、复合函数求导法则：
[f（g（x））]f（u）
ug（x）g（x）
dy1dx
8、反函数求导法则：
dxdy
9、导数表里的公式都要记住
10、掌握隐函数求导法则，会求隐函数的一阶导和二阶导
11、掌握参数方程求导公式：
dydydx
dxdtdt
12、会求函数的微分：
df（x）f（x）dx，函数在一点处的微分：
df（x）xx0f（x0）x
注意事项：
1、讨论函数可导性的时候，对于分段函数，如果在每个开区间上
是初等函数则在开区间内必可导，而在分隔点处要分别求左右
导数，如果左右导数存在且相等则可导，否则不可导
2、
左导数不等于左极限：
f（x0
x）
f（x0）
f（x0）lim
x
limf（x），
x0
xx0
也不可以对分隔点左侧函数先求导函数再取极限得到
3、应用隐函数求导法则求在给定点处一、二阶导数的时候，不仅
要在结果中把横坐标的值代入，相应纵坐标的值也要代入
4、
幂指函数求导数可以用对数求导法也可以：
（f（x）g（x））（eg（x）lnf（x））eg（x）ln
f（x）
（g（x）lnf（x）），但不可以令
f（x）
u,g（x）v，然后化成yuv
然后用幂函数求导公式，因为这里的
v不是常数，这样的做法从过程到结果都是极其错误的
5、求切线方程和法线方程的时候，要先判断给出的点是否在函数
图像上，如果在就是切点，如果不在要先把切点设出来
第三章微分中值定理与导数的应用
知识要点：
1、会用罗尔定理和拉格朗日定理来证明一些简单的结论，理解拉格朗日中值定理的证明过程，对柯西中值定理的内容有一定的了解
2、导函数为0的函数必为常值函数
0
3、会用洛比达法则来求未定式的极限：
0，
limf（x）limf（x）
F（x）F（x）
4、掌握一些化简后可以间接利用洛比达法则来计算的函数的极限
5、掌握利用函数一阶导数符号来判断函数单调性的一般步骤，会
求极值点与极值
6、掌握利用函数二阶导数符号来判断函数凹凸性的一般步骤，会
求拐点
7、会求函数的最值点与最值
8、如果函数只有有限个驻点与不可导点，则极值点不是驻点就一
定是不可导点；最值点不是极值点就一定是端点。
所以求极值
的时候要把所有不可导的点与驻点都找出来，而在求最值的时
候要把所有不可导点，驻点以及端点都找出来
9、会用函数单调性来证明某些不等式
注意事项：
1、罗尔定理有三个条件：
闭区间连续，开区间可导，端点处函数
值相同，拉格朗日中值定理有两个条件：
闭区间连续，开区间可导；
当用上述两个定理来做证明题时，注意把相应的条件写上去
2、不论是讨论单调性还是讨论凹凸性，都是在每个小的开区间上
讨论一阶导或二阶导的符号，在相应“闭区间”（只要小区间
端点在定义域里就一定要带上）上得到单调性和凹凸性；不要
总是拿开区间说事
3、极值点，最值点都是实数。
而拐点是凹凸性发生变化的点（左
右两侧二阶导符号发生变化）不是单调性发生变化的点，拐点
是图像上的一个点，既有横坐标又有纵坐标
4、用洛必达法则求极限的时候，只要是未定式，我们总是先用洛比达法则直到求出最后结果，如果最后的结果是个有限的实数或者为无穷大，则中间的推导过程是成立的，而如果最后发现极限不存在且也不是无穷大，则中间的过程是错误的，需要用其他的方法来计算这个极限
5、找出函数所有不可导点，一般在定义域里找导函数没有意义的点，同理找函数所有二阶导不存在的点，通常是找二阶导函数表达式没有意义的点
6、如果题目里限定了自变量的取值范围，即给出了定义域的时候，就不要跑出定义域在函数没有意义的区间上讨论单调性和凹凸性
第四章不定积分
知识要点：
1、
理解f（x）的不定积分
f（x）dx指的是函数f（x）的所有原函数，而
f（x）所有原函数之间只相差一个常数，所以如果已知
F（x）是
f（x）的一个原函数，则
f（x）dxF（x）
C
2、
不定积分的性质：
一、多个（只要有限个都成立）函数之和的
不定积分等于不定积分之和。
二、
kf（x）dxkf（x）dx
3、
第一换元积分法：
如果已知F（U）是f（U）的一个原函数，则：
f（（x））（x）dxf（U）dU
F（U）U（x）
C
4、第一换元积分法常见的几种类型：
积分类型
1.f（axb）dx
1
f（ax
b）d（axb）（a
0）
a
2.
f（x）x1dx
1
f（x）d（x）（
0）
3.
f（lnx）
1
f（lnx）d（lnx）
dx
x
第4..f（ex）exdx
f（ex）dex
一
5.
f（ax）axdx
1
f（ax）dax
换
lna
元
6.
f（sinx）
cosxdx
f（sinx）dsinx
积
7.
f（cosx）
sinxdx
f（cosx）dcosx
分
f（tanx）sec2xdx
法
8.
f（tanx）dtanx
9.
f（cotx）csc2xdx
f（cotx）dcotx
10.
f（arctanx）
1
2dx
f（arctanx）d（arctanx）
x
1
11.
f（arcsinx）
1
dx
f（arcsinx）d（arcsinx）
1
x2
换元公式
uaxb
ux
ulnx
uex
uax
usinxucosx
utanxucotx
uarctanxuarcsinx
mn
5、sinxcosxdx形式的不定积分，m，n均为偶数时，考虑用倍
角公式，否则谁奇就拆谁
6、
tanmxsecnxdx（
cotmxcscnxdx）形式的不定积分，不是令tanx
（cotx）为U就是令secx（cscx）为U
7、
第二换元积分法：
如果x
（t）单调可导，则：
f（x）dx
f[（t）]（t）dtt1（x）
8、被积函数f（x）中如果含有a2x2，则令xasint，t（2,2），
注意此时cost0
被积函数f（x）中如果含有naxb
nax
b
tn或
9、
或cx
d时，令axb
ax
b
tn
x关
cx
d
，注意这里是在用第二换元积分法，要先反解出
于t的函数x
（t）
10、
掌握分部积分公式：
f（x）g（x）dx
f（x）g（x）f（x）g（x）dx
Pn（x）
dx
11、
Pm（x）
对于有理函数的不定积分：
，当被积函数为假分式
Pn（x）
的时候，先把被积函数Pm（x）用多项式除法分解为一个多项式
和真分式之和，然后再求不定积分
12、对于真分式的不定积分：
一、
二、
c
dx
c
*
1
c
ba
C
a
ba
dx
lnx
axb
x
a
ex
f
c
dx
（ax2
bx
c）*e
f
be2adx
ax2
bx
ax2
bx
c
2a
ax2
bxc
（ax2
bx
c）
e
dx
f
be2a
ax2
bx
c
*
ax2
bx
dx
2a
c
对于第一个不定积分可由第一换元法解出；而对于第二个不定积分，当分母判别式大于零时，此时分母可因式分解，用真分式分解可解。
当分母判别式等于零时，分母为完全平方项，令分母的一次因
1
式为中间变量用第一换元积分法转化为u2的不定积分进而得解。
当分母判别式小于零时，分母为完全平方项加上一个正数，可转化为
1
1u2的不定积分进而得解；注意事项：
1、f（x）dx表示的是所有原函数，中间过程和最后结果都不要忘了
C，当计算一个复杂的不定积分时，如果在计算过程中前面算某个
不定积分时已经使用了C1代表任意常数，后面使用的其他任意常数要
和C1区别一下，不要使用同一个符号
2、用第一换元积分法的时候，要想令
x
U，就要在被积函数里凑
出来
x这个因式，然后
xdxd（
x）
dU
3、不管是用第一还是第二换元法，最后的结果都要转化成关于原变
量的函数，当使用第二换元法时，注意x（t）的单调性要求对t取值
范围的限制，这往往会影响开根号时的符号问题
4、我们使用分部积分公式是想把一个不容易计算的不定积分，转化
为一个更容易求出的另一个不定积分，那么事先就要考虑应该对谁求
导对谁取原函数，用几次分部积分公式可以求出。
第五章
定积分
知识要点：
b
f（x）dx
1、f（x）在闭区间a,b上的定积分
a
，表示的是函数f（x）图像
与x轴所围成的曲边梯形（夹在直线xa与xb之间那部分）位于x轴上方图形的面积减去位于x轴下方图形的面积，是由一个极限的形式
来定义的：
b
n
a
f（x）dxlim
f（i）xi
0
i1
2、熟记定积分的七个性质，尤其是定级分中值定理：
b
f（x）dxf
（ba）
a
a,b
，这里
b
0
以及：
（8）当a
b时,
f（x）dx
a
（9）
3、掌握积分上限函数及其求导公式：
ba
f（x）dxf（x）dx
ab
x
f（t）dtf（x）
a
更复杂的情形：
b（x）
f（t）dtf（b（x））b（x）f（a（x））a（x）
a（x）
4、
牛顿—莱布尼兹公式：
若函数F（x）是连续函数f（x）在区间[a,b]上
的一个原函数,则
b
f（x）dxF（b）F（a）
a
还可以表示为：
b
f（x）dx
b
f（x）dx
a
a
5、
定积分第一换元法：
b
b
f（（x））（x）dx
f（U）dU
a
a
6、
定积分第二换元法：
b
f（x）dx
1（b）
f（（t））（t）dt
a
1（a）
7、定积分的分部积分公式：
b
b
b
af（x）g（x）dx
f（x）g（x）a
af（x）g（x）dx
8、对于有理函数的定积分，可先求出有理函数的不定积分，然后
用牛顿--莱布尼兹公式解出
9、对于无穷区间上的三种反常积分：
fxdxF（）F（a）
a
F（
）lim
F（x）
这里F（x）是f（x）的一个原函数，当
x
极限存在时，我们
称反常积分
f
xdx
fxdx
a
收敛，反之则称反常积分
a
发散；
b
fxdxF（b）F（）
当
F
（
）
lim
F
（）
b
收敛，反
fxdx
x
x极限存在时，我们称反常积分
之则称反常积分
b
xdx发散；
f
fxdx
F（）
F（
）
当
F（
）limF（x）
极限都存在时，我们称反常积分
F
（
）
lim
（）和
x
x
Fx
f
x
dx收敛，反之则称反常积分
fxdx发散。
a
10、
如果f（x）是奇函数，则
af（x）dx
0；
a
a
如果f（x）是偶函数，则
af（x）dx
2
0
f（x）dx。
注意事项：
U
1、a
f（x）dx
也是个积分上限函数，是个关于变量U的函数，且有：
d
dU
U
f（x）dxf（U）
a
2、定积分的值只与积分上下限和被积函数有关，与积分变量无关：
bbb
f（x）dxf（t）dtf（U）dU
aaa
3、当使用定积分的第一第二换元积分法的时候，因为积分变量要
发生变化，所以积分变量的取值范围也必然要发生相应变化，
注意一定要变更相应的积分上限和积分下限
4、见到形式比较复杂的定积分，如果积分区间关于原点对称，则
注意观察被积函数是否是一个奇函数与某个简单函数之和
第六章定积分的应用
知识要点：
4、掌握微元法的基本思想和基本步骤：
微元法即如何把待求的物理量U（总量）表示为定积分的方法：
第一步：
选取合适的积分变量
s及其变化区间[a,b]
第二步：
在区间[s,sds]上计算总量U落在此极小区间上部分分
量U的近似值dU（U的微元）：
UdU
f（s）ds
第三步：
将物理量U表示为定积分，并计算出定积分的值：
b
Uf（s）ds
a
5、
用微元法计算平面图形的面积
U（直角坐标系及参数坐标系
下）：
第一步：
选取合适的积分变量
s及其变化区间[a,b]（注：
参数
坐标系下，也是要么选择x，要么选择y，这一步不要选参变
量做积分变量）
第二步：
计算总面积U落在极小区间[s,sds]上部分分量U（在
区间长度极小时近似于一个矩形）的近似值dU（将其当作矩形
计算出来的小矩形的面积）：
UdUf（s）ds
（注：
如果是在参数坐标系下，会遇到这样的问题：
如果选择
积分变量为x，在计算小矩形面积dU时需要将其表示为f（x）dx
的形式，此时不用解出y关于x的表达式，如果y关于x只有一
个解则用y来代替，如果有两个，则一个用
y1，另一个用y2；
积分变量是y时同理）
第三步：
将总面积U表示为定积分，并计算出定积分的值：
b
Uf（s）ds
a
（注：
参数坐标系下，要对定积分表达式应用第二换元积分法
将其转化为关于参变量的定积分，然后再求解）
6、
用微元法计算旋转体的体积
U：
第一步：
选取合适的积分变量
s及其变化区间[a,b]（绕哪个轴
旋转就选哪个轴做积分变量）
第二步：
计算总体积U落在极小区间[s,sds]上部分分量
U（在
区间长度极小时近似于一个圆柱或圆环）的近似值dU（将其当作圆柱或圆环计算出来的小圆柱或小圆环的体积）：
UdU
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