北京中考一二模分类 4圆的证明及计算.docx

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北京中考一二模分类4圆的证明及计算

2015北京中考一、二模分类汇编四圆

顺义25．如图，是⊙的直径，是⊙上一点，是的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD．

（1）求证：

AF⊥EF；

（2）若，AB=5，求线段BE的长．

石景山25．如图，是⊙的直径，是⊙上一点，

是中点，过点作的垂线交的延长线于点．过点作⊙的切线交于点．

（1）求证：

；

（2）如果，，求的长．

怀柔25.如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，D是⊙O的

切线CN上一点，BD交AC于点E，且BA=BD．

（1）求证：

∠ACD=45°；

（2）若OB=2，求DC的长．

丰台25．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，联结PD.

（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明；

（2）联结CO并延长交⊙O于点F，联结FP交CD于点G，如果CF=10，，

求EG的长.

大兴25．已知：

如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，且PA＝PD，⊙O为△APD的外接圆．

（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC＝4，tan∠DAC＝，求⊙O的半径．

通州25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF.

（1）求证：

AF是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长.

延庆25.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．

（1）求证：

∠ACM=∠ABC；

（2）延长BC到D，使CD=BC，连接AD与CM交于点E，

若⊙O的半径为2，ED=1，求AC的长．

西城25．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O

交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所

在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE．

（1）依题意补全图形；

（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等

的角，并加以证明．

房山25．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E.过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G.

（1）求证：

GE是⊙O的切线；

（2）若OF：

OB=1：

3，⊙O的半径为3，求AG的长．

东城25.如图,在⊙中，为直径，，弦与交于点，过点分别作⊙的切线交于点，且GD与的延长线交于点．

（1）求证：

;

（2）已知：

，⊙的半径为，求的长．

朝阳25.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O

切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.

（1）求证：

∠BAD=∠DAE；

（2）若AB=6，AD=5，求DF的长.

燕山25．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E．

（1）求证：

∠CED＝90°；

（2）若AB＝13，sin∠C＝，求CE的长．

门头沟25．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于E、F．

（1）求证：

FE⊥AB；

（2）当AE=6，sin∠CFD=时，求EB的长．

平谷25．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，∠BAC=2∠CBE，交AC于点E，交⊙O于点F，连接AF．

（1）求证：

∠CBE=∠CAF；

（2）过点E作EG⊥BC于点G，若∠C=45°，CG=1，

求⊙O的半径．

海淀25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径.

（1）求证：

OD⊥CE；

（2）若DF=1，DC=3，求AE的长．

（2015昌平2）25．如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点，．

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；

（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．

（2015昌平2）25．解：

（1）与⊙O相切．…………………………………1分

∵，

又∵，

∴．

∴∥．…………………………………2分

∵半径垂直于弦于点，

∴．

∴与⊙O相切．　　　…………………………………3分

（2）∵半径垂直于弦于点，=8，

∴．

∵是⊙O的直径，

∴．

在中，．　………………………………………4分

∵∥，

∴∽．

∴．

∴．

∴．　　　　　………………………………………………5分

（2015海淀2）25．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上，CE=CA，

AB，CE的延长线交于点F．

（1）求证：

CE与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长．

（2015海淀2）25．（本小题满分5分）

证明：

连接OE，OC．

在△OEC与△OAC中，

∴△OEC≌△OAC．………………………………………………………………………………..1分

∴∠OEC=∠OAC．

∵∠OAC=90°，

∴∠OEC=90°．

∴OE⊥CF于E．

∴CF与⊙O相切．…………………………………………………...2分

（2）解：

连接AD．

∵∠OEC=90°，

∴∠OEF=90°．

∵⊙O的半径为3，

∴OE=OA=3．

在Rt△OEF中，∠OEF=90°，OE=3，EF=4，

∴，……………………………………………………3分

．

在Rt△FAC中，∠FAC=90°，，

∴．……………………………………………4分

∵AB为直径，

∴AB=6=AC，∠ADB=90°．

∴BD=．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

∴．

∴BD=．…………………………………………………………….5分

（2015西城2）25．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG．

（1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且时，求PG的长．

（2015西城2）25.解：

（1）补全图形如图5所示.……………1分

答：

PG与⊙O相切.

证明：

如图6，连接OG.

∵PF=PG，

∴∠1=∠2.

又∵OG=OA，

∴∠3=∠A.

图5

∵CD⊥AB于点E，

∴∠A+∠AFE=90°.

又∵∠2=∠AFE，

∴∠3+∠1=90°.………………………2分

即OG⊥PG.

∵OG为⊙O的半径，

∴PG与⊙O相切.……………………3分

（2）解：

如图7，连接CG.

图6

∵CD⊥AB于点E，

∴∠OEC=90°.

∵DG∥AB，

∴∠GDC=∠OEC=90°.

∵∠GDC是⊙O的圆周角，

∴CG为⊙O的直径.

∵E为半径OA的中点，

图7

∴.

∴∠OCE=30°即∠GCP=30°.

又∵∠CGP=90°，，

∴.…………………5分

（2015石景山2）2015．如图，点在⊙上，于点，，，为延长线上一点，且，.

（1）求证：

是⊙O的切线；

（2）若点是弧的中点，且交于点，求的长．

（2015石景山2）25．

（1）证明：

连结

∵于点

∴是⊙的直径…………………………………1分

∵，∴

在中，，∴

由勾股定理

在中，由勾股定理逆定理：

∴°即

∴是⊙的切线…………………………………2分

（2）解：

∵点是弧的中点

∴…………………………………3分

∵是⊙的直径

∴

∴°

∴

∴

即

∴………………

∵

∴可得

∴…………………………………5分

（2015朝阳2）25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，BD是⊙O

的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，连接AD．

（1）求证：

PA是⊙O的切线；

（2）若AB=，BC=4，求AD的长．

（2015朝阳2）25.

（1）证明：

连接OA交BC于点E，

由AB=AC可得OA⊥BC．………………………1分

∵PA∥BC，

∴∠PAO=∠BEO=90°.

∵OA为⊙O的半径，

∴PA为⊙O的切线.……………………………2分

（2）解：

根据

（1）可得CE=BC=2．

Rt△ACE中，.………………………………3分

∴tanC=．

∵BD是直径，

∴∠BAD=90°．…………………………………………………………4分

又∵∠D=∠C，

∴AD=.………………………………………………………5分

（2015东城2）25．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．

（1）求证：

DF是⊙O的切线；

（2）若DF=3，DE=2．①求值；②求的度数．

（2015东城2）25.

（1）连结OD，

∵AD平分∠BAC

∴∠DAF＝∠DAO

∵OA=OD

∴∠OAD＝∠ODA

∴∠DAF＝∠ODA

∴AF∥OD．┉┉1分

∵DF⊥AC∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切线┉┉2分

（2）①连接BD

∵直径AB，

∴∠ADB=90°

∵圆O与BE相切

∴∠ABE=90°

∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°

∴∠DAB=∠DBE

∴∠DBE=∠FAD

∵∠BDE=∠AFD=90°

∴△BDE∽△AFD

∴┉┉3分

②连接OC，交AD于G

由①，设BE=2x，则AD=3x

∵△BDE∽△ABE∴∴

解得：

x1=2，x2＝（不合题意，舍去）

∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8

（2015门头沟2）25．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，AE为⊙O的切线，过点B作BD⊥AE于D．

（1）求证：

∠DBA=∠ABC；

（2）如果BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的半径．

（2015门头沟2）25．（本小题满分5分）

（1）证明：

连接OA.（如图）

∵AE为⊙O的切线，BD⊥AE，

∴∠DAO=∠EDB=90°.

∴DB∥AO.

∴∠DBA=∠BAO.…………1分

又∵OA=OB，

∴∠ABC=∠BAO.

∴∠DBA=∠ABC.………………………………………………2分

（2）在Rt△ADB中，∠ADB=90°，

∵BD=1，tan∠BAD=，

∴AD=2，……………………………………………………………………3分

由勾股定理得AB=.

∴cos∠DBA=

又∵BC为⊙O的直径，

∴∠BAC=90°.

又∵∠DBA=∠ABC.

∴cos∠ABC=cos∠DBA=

∴…………………………………………4分

∴⊙O的半径为…………………………………………………………5分

（2015顺义2）25．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）若，AC=6，求⊙O的直径．

（