学年高中数学北师大版选修22同步配套教学案第三章 1 12 函数的极值.docx
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学年高中数学北师大版选修22同步配套教学案第三章112函数的极值
1．2 函数的极值
极值点与极值
1．在你们学习小组10人中，李阳最高，张红最矮．
问题1：
李阳最高说明了什么？
提示：
李阳是这10人中最高的．
问题2：
在你们班中，李阳一定还最高吗？
提示：
不一定．
2．已知y＝f（x），y＝g（x）的图像．
问题1：
观察y＝f（x）的图像，在区间（a，b）内，函数值f（x0）有何特点？
提示：
f（x0）在（a，b）内最大．
问题2：
函数值f（x0）在定义域内还是最大吗？
提示：
不一定．
问题3：
对于f（x）在（a，x0），（x0，b）上，其单调性与导函数的符号有何特点？
提示：
f（x）在（a，x0）上增加，导数大于零，在（x0，b）上减少，导数小于零．
问题4：
函数y＝g（x）在（a，b）上，结论如何？
提示：
与y＝f（x）在（a，b）上结论相反．
1．函数极值的概念
（1）极大值：
在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极大值点，其函数值f（x0）为函数的极大值．
（2）极小值：
在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极小值点，其函数值f（x0）为函数的极小值．
（3）极值：
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
2．函数的单调性与极值
（1）如果函数y＝f（x）在区间（a，x0）上是增加的，在区间（x0，b）上是减少的，则x0是极大值点，f（x0）是极大值．
（2）如果函数y＝f（x）在区间（a，x0）上是减少的，在区间（x0，b）上是增加的，则x0是极小值点，f（x0）是极小值.
求函数极值点的步骤
求函数极值点的步骤
（1）求出导数f′（x）；
（2）解方程f′（x）＝0；
（3）对于方程f′（x）＝0的每一个解x0，分析f′（x）在x0左、右两侧的符号（即f（x）的单调性），确定极值点．
①若f′（x）在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点．
②若f′（x）在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点．
③若f′（x）在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b.
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立即可．
（3）极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．
（4）在区间上单调的函数没有极值．
求函数的极值
[例1] 求下列函数的极值：
（1）f（x）＝x3－3x2－9x＋5；
（2）f（x）＝
.
[思路点拨] 首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．
[精解详析]
（1）函数f（x）＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′（x）＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,3）
3
（3，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
增加
极大值
减少
极小值
增加
因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f（－1）＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f（3）＝－22.
（2）函数f（x）＝
的定义域为（0，＋∞），
且f′（x）＝
，
令f′（x）＝0，得x＝e.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（0，e）
e
（e，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
f（x）
增加
极大值
减少
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f（e）＝
，没有极小值点．
[一点通] 求函数的极值必须严格按照求函数极值的步骤进行，其关键是列表检查导数值为0的点的左、右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点；否则，不是极值点．
1．（陕西高考）设函数f（x）＝xex，则（ ）
A．x＝1为f（x）的极大值点
B．x＝1为f（x）的极小值点
C．x＝－1为f（x）的极大值点
D．x＝－1为f（x）的极小值点
解析：
求导得f′（x）＝ex＋xex＝ex（x＋1），令f′（x）＝ex（x＋1）＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f（x）的极小值点．
答案：
D
2.已知f（x）＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′（x）的图像如图所示，则函数f（x）的极大值是（ ）
A．－2a＋c
B．－4a＋c
C．－3a
D．c
解析：
由导函数f′（x）的图像知当00；当x>2时，f′（x）<0；当x＝2时，f′（x）＝0.又f′（x）＝3ax2＋2bx，所以b＝－3a，f（x）＝ax3－3ax2＋c，所以函数f（x）的极大值为f
（2）＝－4a＋c，故选B.
答案：
B
3．求下列函数的极值：
（1）f（x）＝sinx－cosx＋x＋1（0（2）f（x）＝x2e－x.
解：
（1）由f（x）＝sinx－cosx＋x＋1,0知f′（x）＝cosx＋sinx＋1＝1＋
sin
，0令f′（x）＝0，从而sin
＝－
，又0.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（0，π）
π
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
π＋2
因此，当x＝
时，f（x）有极小值
；当x＝π时，f（x）有极大值π＋2.
（2）f′（x）＝2xe－x－x2e－x，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，0）
0
（0,2）
2
（2，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
0
－
f（x）
0
所以f（x）的极小值是f（0）＝0，极大值是f
（2）＝
.
已知函数极值求参数的值
[例2] 已知函数f（x）＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
（1）求a，b的值；
（2）求函数y＝f（x）的极小值．
[思路点拨] 利用函数在x＝1处取得极大值3建立关于a，b的方程组即可求解．
[精解详析]
（1）∵当x＝1时，函数有极大值3，
f′（x）＝3ax2＋2bx，
∴
∴
解之得a＝－6，b＝9.
（2）f′（x）＝－18x2＋18x＝－18x（x－1）．
当f′（x）＝0时，x＝0或x＝1.
当f′（x）>0时，0当f′（x）<0时，x<0或x>1.
∴函数f（x）＝－6x3＋9x2的极小值为f（0）＝0.
[一点通] 解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题．
4．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝（ ）
A．2 B．3
C．4D.5
解析：
f′（x）＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′（－3）＝0，解得a＝5.
答案：
D
5．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为________.
解析：
y′＝3－3x2＝3（1＋x）（1－x），令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，经判断知x＝1是极大值点，
故f
（1）＝2＋m＝10，m＝8.
答案：
8
6．（重庆高考）已知函数f（x）＝ae2x－be－2x－cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4－c.
（1）确定a，b的值；
（2）若c＝3，判断f（x）的单调性；
（3）若f（x）有极值，求c的取值范围．
解：
（1）对f（x）求导得f′（x）＝2ae2x＋2be－2x－c，
由f′（x）为偶函数，知f′（－x）＝f′（x），
即2（a－b）（e2x－e－2x）＝0，所以a＝b.
又f′（0）＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.
（2）当c＝3时，f（x）＝e2x－e－2x－3x，那么f′（x）＝2e2x＋2e－2x－3≥2
－3＝1>0，故f（x）在R上为增函数．
（3）由
（1）知f′（x）＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥2
＝4，
当x＝0时等号成立．
下面分三种情况进行讨论．
当c<4时，对任意x∈R，f′（x）＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f（x）无极值；
当c＝4时，对任意x≠0，f′（x）＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f（x）无极值；
当c>4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋
－c＝0有两根t1,2＝
>0，
即f′（x）＝0有两个根x1＝
lnt1或x2＝
lnt2.
当x1x2时，f′（x）>0，从而f（x）在x＝x2处取得极小值．
综上，若f（x）有极值，则c的取值范围为（4，＋∞）.
与函数极值有关的综合问题
[例3] 设函数f（x）＝x3－3x＋1.
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 第
（1）问利用导数求单调区间和极值，第
（2）问可由
（1）的结论，把问题转化为函数y＝f（x）与y＝a的图像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解．
[精解详析]
（1）∵f′（x）＝3x2－3，
令f′（x）＝0，
解得x1＝－1，x2＝1，
∴当x<－1或x>1时，f′（x）>0，
当－1∴f（x）的单调递增区间为（－∞，－1）和（1，＋∞）；
f（x）的单调递减区间为（－1,1）．
当x＝－1时，f（x）有极大值3；
当x＝1时，f（x）有极小值－1.
（2）由
（1）得函数y＝f（x）的图像大致形状如右图所示，
当－1直线y＝a与y＝f（x）的图像有三个不同交点，
即方程f（x）＝a有三个不同的实根时，a的取值范围为（－1,3）．
[一点通] 极值问题的综合应用主要是利用函数的单调性和极值确定函数图像的大致形状和位置．题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．
7．函数f（x）＝x3－3x＋2的零点个数为________．
解析：
f′（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1），可知f（x）在（－∞，－1）及（1，＋∞）上是增加的，在（－1,1）上是减少的，故f（x）的极大值为f（－1）＝4，极小值为f
（1）＝0，其大致图像如图所示，零点个数为2.
答案：
2
8．已知函数f（x）＝x3＋3ax2＋（3－6a）x＋12a－4（a∈R）．
（1）证明：
曲线y＝f（x）在x＝0处的切线过点（2,2）；
（2）若f（x）在x＝x0处取得极小值，x0∈（1,3），求a的取值范围．
解：
（1）证明：
f′（x）＝3x2＋6ax＋3－6a.
易知f（0）＝12a－4，f′（0）＝3－6a，
故曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为
y＝（3－6a）x＋12a－4，
令x＝2，得y＝2，
所以曲线y＝f（x）在x＝0处的切线过点（2,2）．
（2）由f′（x）＝0得x2＋2ax＋1－2a＝0.
①当Δ＝（2a）2－4（1－2a）≤0，即－
－1≤a≤
－1时，f（x）没有极小值．
②当Δ＝（2a）2－4（1－2a）>0，即a>
－1或a<－
－1时，由f′（x）＝0得x1＝－a－
，x2＝－a＋
，
显然x0＝x2，则由题设知1<－a＋
<3.
当a>
－1时，不等式1<－a＋
<3无解；
当a<－
－1时，解不等式1<－a＋
<3，得－
－1.
综合①②得a的取值范围是
.
（1）对于可导函数来说，y＝f（x）在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处，f′（0）＝0，但x＝0不是函数的极值点．
（2）可导函数f（x）在x0取得极值的充要条件是f′（x0）＝0，且在x0左侧与右侧，f′（x）的符号不同．
（3）若函数y＝f（x）在（a，b）内有极值，则y＝f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即单调函数没有极值．
1．函数y＝2x3－3x2的极值情况为（ ）
A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值
B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值
C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1
D．以上都不对
解析：
因为y＝2x3－3x2，
所以y′＝6x2－6x＝6x（x－1）．
令y′＝0，解得x＝0或x＝1.
令y＝f（x），当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，0）
0
（0,1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
所以，当x＝0时，函数y＝2x3－3x2取得极大值0；
当x＝1时，函数y＝2x3－3x2取得极小值－1.
答案：
C
2．函数y＝ax＋ln（1－x）在x＝0时取极值，则a的值为（ ）
A．0 B．1
C．－1D.不存在
解析：
y′＝a＋
＝
（x<1），
由题意得x＝0时y′＝0，即a＝1.
检验：
当a＝1时y′＝
，当x<0时y′>0，
当0答案：
B
3．函数f（x）＝x3－3bx＋3b在（0,1）内有极值，则（ ）
A．0C．b>0D.b<
解析：
f′（x）＝3x2－3b.因f（x）在（0,1）内有极值，所以f′（x）＝0有解，∴x＝±
，∴0<
<1，∴0答案：
A
4．设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y＝xf′（x）的图像的一部分如图所示，则正确的是（ ）
A．f（x）的极大值为f（
），极小值为f（－
）
B．f（x）的极大值为f（－
），极小值为f（
）
C．f（x）的极大值为f（－3），极小值为f（3）
D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（－3）
解析：
由题图可知，
当x∈（－∞，－3）时，xf′（x）>0，即f′（x）<0；
当x∈（－3,0）时，xf′（x）<0，即f′（x）>0；
当x∈（0,3）时，xf′（x）>0，即f′（x）>0；
当x∈（3，＋∞）时，xf′（x）<0，即f′（x）<0.
故函数f（x）在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．
答案：
D
5．若函数f（x）＝
在x＝1处取得极值，则a＝________.
解析：
f′（x）＝
＝
，由题意得f′
（1）＝
＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．
答案：
3
6．已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′（x）的图像经过点（1,0），（2,0），如图所示，则下列说法中正确的是________．
①当x＝
时函数取得极小值；
②f（x）有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
解析：
由图像可知，当x∈（－∞，1）时，f′（x）>0；
当x∈（1,2）时，f′（x）<0；
当x∈（2，＋∞）时，f′（x）>0.
∴f（x）有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．
答案：
②③④
7．求下列函数的极值．
（1）f（x）＝
x3－x2－3x＋4；
（2）f（x）＝x3ex.
解：
（1）∵f（x）＝
x3－x2－3x＋4，
∴f′（x）＝x2－2x－3.
令f′（x）＝0，得x1＝3，x2＝－1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化，如表所示：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,3）
3
（3，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
∴x＝－1是f（x）的极大值点，x＝3是f（x）的极小值点．
∴f（x）极大值＝f（－1）＝
，f（x）极小值＝f（3）＝－5.
（2）f′（x）＝3x2·ex＋x3·ex＝ex·x2（x＋3），
由f′（x）＝0得x＝0或x＝－3.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如表所示：
x
（－∞，－3）
－3
（－3,0）
0
（0，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
0
＋
f（x）
极小值
无极值
由表可知x＝－3是f（x）的极小值点．
f（x）极小值＝f（－3）＝－27e－3，函数无极大值．
8．已知函数f（x）＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f（x）的极值．
解：
∵f（x）＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f′（x）＝48x2－40ax＋8a2＝8（6x2－5ax＋a2）
＝8（2x－a）（3x－a），
令f′（x）＝0，得x＝
或x＝
.
（1）当a>0时，
<
，则随着x的变化，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
∴当x＝
时，函数取得极大值f
＝
；
当x＝
时，函数取得极小值f
＝0.
（2）当a<0时，
<
，则随着x的变化，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
∴当x＝
时，函数取得极大值f
＝0；
当x＝
时，函数取得极小值f（
）＝
.
综上所述，当a>0时，函数f（x）在x＝
处取得极大值f
＝
，在x＝
处取得极小值f
＝0；
当a<0时，函数f（x）在x＝
处取得极大值f
＝0，在x＝
处取得极小值f
＝
.
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