学年高中数学北师大版选修22同步配套教学案第三章 1 12 函数的极值.docx

1、学年高中数学北师大版选修22同步配套教学案第三章 1 12 函数的极值12函数的极值 极值点与极值1在你们学习小组10人中，李阳最高，张红最矮问题1：李阳最高说明了什么？提示：李阳是这10人中最高的问题2：在你们班中，李阳一定还最高吗？提示：不一定2已知yf(x)，yg(x)的图像问题1：观察yf(x)的图像，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？提示：f(x0)在(a，b)内最大问题2：函数值f(x0)在定义域内还是最大吗？提示：不一定问题3：对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？提示：f(x)在(a，x0)上增加，导数大于零，在(x0，b)上减

2、少，导数小于零问题4：函数yg(x)在(a，b)上，结论如何？提示：与yf(x)在(a，b)上结论相反1函数极值的概念(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点2函数的单调性与极值(1)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加

3、的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值(2)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.求函数极值点的步骤求函数极值点的步骤(1)求出导数f(x)；(2)解方程f(x)0；(3)对于方程f(x)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点(1)按定义，极值点x0是区间a，b内部的点，不会是端点

4、a，b.(2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立即可(3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一(4)在区间上单调的函数没有极值 求函数的极值例1求下列函数的极值：(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x).思路点拨首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值精解详析(1)函数f(x)x33x29x5的定义域为R，且f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)增加 极大值减少 极小值增加 因此，x1是函数的极大值点

5、，极大值为f(1)10；x3是函数的极小值点，极小值为f(3)22.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，令f(x)0，得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)增加 极大值减少 因此，xe是函数的极大值点，极大值为f(e)，没有极小值点一点通求函数的极值必须严格按照求函数极值的步骤进行，其关键是列表检查导数值为0的点的左、右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点；否则，不是极值点1(陕西高考)设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值

6、点解析：求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点答案：D2.已知f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极大值是()A2acB4acC3aDc解析：由导函数f(x)的图像知当0x0；当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.又f(x)3ax22bx，所以b3a，f(x)ax33ax2c，所以函数f(x)的极大值为f(2)4ac，故选B.答案：B3求下列函数的极值：(1)f(x)sin xcos xx1(0x2)；(2)f(x)x2ex.解：(1)由f(x)sinxcos xx1,0x2，知f(x

7、)cos xsin x11sin，0x2.令f(x)0，从而sin，又0x0时，0x1；当f(x)0时，x1.函数f(x)6x39x2的极小值为f(0)0.一点通解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题4已知函数f(x)x3ax23x9在x3处取得极值，则a()A2 B3C4 D.5解析：f(x)3x22ax3，由题意得f(3)0，解得a5.答案：D5已知函数y3xx3m的极大值为10，则m的值为_ .解析：y33x23(1x)(1x)，令y0得x11，x21，经判断知x1是极大值点，故f(1)2m10，

8、m8.答案：86(重庆高考)已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c.(1)确定a，b的值；(2)若c3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围解：(1)对f(x)求导得f(x)2ae2x2be2xc，由f(x)为偶函数，知f(x)f(x)，即2(ab)(e2xe2x)0，所以ab.又f(0)2a2bc4c，故a1，b1.(2)当c3时，f(x)e2xe2x3x，那么f(x)2e2x2e2x32310，故f(x)在R上为增函数(3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc，而2e2x2

9、e2x24，当x0时等号成立下面分三种情况进行讨论当c0，此时f(x)无极值；当c4时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x40，此时f(x)无极值；当c4时，令e2xt，注意到方程2tc0有两根t1,20，即f(x)0有两个根x1ln t1或x2ln t2.当x1xx2时f(x)x2时，f(x)0，从而f(x)在xx2处取得极小值综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，).与函数极值有关的综合问题例3设函数f(x)x33x1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同实根，求实数a的取值范围思路点拨第(1)问利用导数求单调区间和极值，第(2)问可由(

10、1)的结论，把问题转化为函数yf(x)与ya的图像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解精解详析(1)f(x)3x23，令f(x)0，解得x11，x21，当x1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0.f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)；f(x)的单调递减区间为(1,1)当x1时，f(x)有极大值3；当x1时，f(x)有极小值1.(2)由(1)得函数yf(x)的图像大致形状如右图所示，当1a0，即a1或a1时，由f(x)0得x1a，x2a，显然x0x2，则由题设知1a1时，不等式1a3无解；当a1时，解不等式1a3，得a1.综合得a的取值范围是.(1)对于可导函数来说，yf(x)在极

11、值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点例如，函数yx3在x0处，f(0)0，但x0不是函数的极值点(2)可导函数f(x)在x0取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧，f(x)的符号不同(3)若函数yf(x)在(a，b)内有极值，则yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即单调函数没有极值 1函数y2x33x2的极值情况为()A在x0处取得极大值0，但无极小值B在x1处取得极小值1，但无极大值C在x0处取得极大值0，在x1处取得极小值1D以上都不对解析：因为y2x33x2，所以y6x26x6x(x1)令y0，解得x0或x1.令yf(x)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化

12、情况如下表：x(，0)0(0,1)1(1，)f(x)00f(x) 极大值 极小值 所以，当x0时，函数y2x33x2取得极大值0；当x1时，函数y2x33x2取得极小值1.答案：C2函数yaxln(1x)在x0时取极值，则a的值为()A0 B1C1 D.不存在解析：ya(x1)，由题意得x0时y0，即a1.检验：当a1时y，当x0，当0x1时y0，符合题意答案：B3函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极值，则()A0b1 Bb0 D.b解析：f(x)3x23b.因f(x)在(0,1)内有极值，所以f(x)0有解，x，01，0b0，即f(x)0；当x(3,0)时，xf(x)0；当x(0,3

13、)时，xf(x)0，即f(x)0；当x(3，)时，xf(x)0，即f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.f(x)有两个极值点1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时，函数取得极大值，故只有不正确答案：7求下列函数的极值(1)f(x)x3x23x4；(2)f(x)x3ex.解：(1)f(x)x3x23x4，f(x)x22x3.令f(x)0，得x13，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化，如表所示：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x) 极大值 极小值 x1是f(x)的极大值点，x3是f(x)的极小值点f(x)极大值f(1)，f(x)极小值f(3)5.(2)f(x)3x

14、2exx3exexx2(x3)，由f(x)0得x0或x3.当x变化时，f(x)与f(x)的变化如表所示：x(，3)3(3,0)0(0，)f(x)00f(x) 极小值 无极值 由表可知x3是f(x)的极小值点f(x)极小值f(3)27e3，函数无极大值8已知函数f(x)16x320ax28a2xa3，其中a0，求f(x)的极值解：f(x)16x320ax28a2xa3，其中a0，f(x)48x240ax8a28(6x25axa2)8(2xa)(3xa)，令f(x)0，得x或x.(1)当a0时， ，则随着x的变化，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)00f(x) 极大值 极小值 当x时，函数取得极大值f；当x时，函数取得极小值f0.(2)当a0时， 0时，函数f(x)在x处取得极大值f，在x处取得极小值f0；当a0时，函数f(x)在x处取得极大值f0，在x处取得极小值f.