广义积分的收敛判别法.docx

广义积分的收敛判别法.docx

《广义积分的收敛判别法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广义积分的收敛判别法.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

广义积分的收敛判别法

FinalrevisionbystandardizationteamonDecember10,2020.

广义积分的收敛判别法

第二节　广义积分的收敛判别法

上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。

因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．

定理（Cauchy收敛原理）f（x）在[a,+∞）上的广义积分收敛的充分必要条件是：

存在A>0,使得b,>A时，恒有

证明：

对使用柯西收敛原理立即得此结论．

同样对瑕积分（为瑕点）,我们有

定理（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f（x）在[a,b）上有定义，在其任何闭子区间[a,b–]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是:

,只要0<，就有

定义如果广义积分收敛，我们称广义积分绝对收敛（也称f（x）在[a,+上绝对可积];如收敛而非绝对收敛，则称条件收敛，也称f（x）在[a,+上条件可积．

由于，均有

因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理．

定理如果广义积分绝对收敛，则广义积分必收敛．

它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。

对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．

下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．

比较判别法：

定理（无限区间上的广义积分）设在[a,+）上恒有（k为正常数）

则当收敛时,也收敛;

当发散时,也发散．

证明：

由Cauchy收敛原理马上得结论成立．

对瑕积分有类似的结论判别法

定理设f（x）,g（x）均为[a,b）上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k,使

[a,b）,则

1）如收敛，则也收敛。

2）如发散，则也发散．

比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．

定理如果f（x）,g（x）是[a,+上的非负函数,且则

（1）如果,且收敛,则积分也收敛．

（2）如果,且发散，则积分也发散．

证明：

如果则对于,存在A,

当时,

即成立.显然与同时收敛或同时发散，在l=0或l=时，可类似地讨论.

使用同样的方法，我们有

定理对以b为唯一瑕点的两个瑕积分与如果f（x）,g（x）是非负函数，且则

（1）当,且收敛时，则也收敛．

（2）当，且发散时，则也发散．

对无限区间上的广义积分中，取作比较标准，则得到下列Cauchy判别法：

设f（x）是[a,+的函数，在其任意闭区间上可积,那么:

定理　若0f（x），p>1,那么积分收敛，如f（x），p1,则积分发散．

其极限形式为

定理如（,p>1）,则积分收敛．

如,而,1,则　发散.

例判断下列广义积分的收敛性。

（1）

（2）（m>0,n>0）

解：

（1）因为0

由收敛推出收敛．

（2）因为所以当n－m>1时，积分收敛.当n－m1时，积分发散．

对于瑕积分，使用作为比较标准，我们有下列柯西判别法．

定理　设x=a是f（x）在[a,b上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么

（1）如0f（x）（c>0）,p<1,则收敛．

（2）如f（x）（c>0）,p1,则发散．

瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为

定理设

如0k<,p<1,则收敛

如0

例判别下列瑕积分的敛散性。

（1）（k2<1）

（2）（p,q>0）

解：

（1）1是被积函数的唯一瑕点

因为=

由知瑕积分收敛．

（2）0与都是被积函数的瑕点．

先讨论由

知:

当p<1时,瑕积分收敛;当p1时,瑕积分发散．

再讨论

因

所以当q<1时,瑕积分收敛，

当q1时，瑕积分发散．

综上所述，当p<1且q<1时,瑕积分收敛;其他情况发散．

例求证:

若瑕积分收敛，且当时函数f（x）单调趋向于+，则xf（x）=0.

证明：

不妨设,f（x）0,且f（x）在（0,1）上单调减少。

已知收敛，由柯西收敛准则，有

（<1）,有

从而

0<

或

0

即xf（x）=0.

例求证瑕积分（>0）,当<时收敛

当时发散.

证明:

∵=

=

所以当3<1时，即<时，瑕积分收敛．当31，即时，瑕积分发散．

前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．

定理（积分第二中值定理）设g（x）在[a,b]上可积，f（x）在[a,b]上单调，则存在ξ[a,b]　使

=

为了证明定理，我们先讨论下列特殊情况．

引理设f（x）在[a,b]上单调下降并且非负，函数g（x）在[a,b]上可积，则存在c[a,b]，使

=f（a）

证明：

作辅助函数=f（a）对[a,b]的任一分法

P:

a=x0

我们有

=

由此得到

|－|

=||

△xi

这里L是|g（x）|在[a,b]的上界,是在上的振幅，从这个估计式可知,当时,应当有

我们来证明

为此，引入记号

G（x）=

并作如下变换

=

=

=

=　　　（）　　

=

因为,,

所以

=

{}

=

同样可证

我们证明了不等式

即

现令|p|,取极限，就得到

因此，存在c[a,b]，使得

=　（因为在［］上是连续函数）

也就是=证毕

下面我们证明定理

证明：

如f（x）是单调下降的，则f（x）－f（b[a,b,使

=

即

=

对f（x）单调上升的情形，可作类似讨论.

使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法

定理　若下列两个条件之一满足，则收敛

（1）（Abel判别法）收敛，g（x）在[a,]上单调有界;

（2）（Dirichlet判别法）设F（A）=在[a,]上有界，g（x）在[a,上单调,且g（x）=0.

证明：

（1）,设|g（x）|M，[a,）,因收敛，由Cauchy收敛原理，,使时,有

由积分第二中值定理，我们得到

+=

再由Cauchy收敛原理知收敛

（2）设M为F（A）在[a,+上的一个上界，则,显然有

同时,因为g（x）=0，所以存在,当x>A0时,有

g（x）|<

于是，对有

+=

由Cauchy收敛原理知收敛

例讨论广义积分的敛散性，

解：

令f（x）=,g（x）=cosx

则当x时，f（x）单调下降且趋于零，

F（A）==在[a,上有界．

由Dirichlet判别法知收敛，

另一方面

因发散，收敛

从而非负函数的广义积分发散

由比较判别法知发散，

所以条件收敛

例讨论广义积分的敛散性．

解：

由上一题知，广义积分收敛,而arctanx在[a,+上单调有界，所以由Abel判别法知收敛。

另一方面,当时,有

前面已证发散

由比较判别法知发散,所以条件收敛.

对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法

定理若下列两个条件之一满足，则收敛：

（b为唯一瑕点）

（1）（Abel判别法）收敛,g（x）在[a,上单调有界

（2）（Dirichlet判别法）=在[a,上有界,g（x）在（上单调,且.

证明:

（1）只须用第二中值定理估计

2）的证明.

例讨论积分（0

解:

对于0

由收敛知

绝对收敛敛

对于0p<2,因为函数f（x）=,当时单调趋于0,而函数

g（x）=

满足

所以积分

收敛.

但在这种情况下,

是发散的,

事实上

由

因发散,收敛,知发散

从而当0p<2时,积分条件收敛.最后我们讨论p=2的情形,

因为

当时,上式无极限,所以积分发散.

值得注意的是,两种广义积分之间存在着密切的联系,设中x=a为f（x）的瑕点,作变换y=,则有=而后者是无限区间上的广义积分.

习题

1、论下列积分的敛散性（包括绝对收敛，条件收敛，发散）

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）；

（11）；

（12）．

2．证明：

若瑕积分收敛，且当时，函数f（x）单调趋于+，则xf（x）=0．

3.若函数f（x）在有连续导数f/（x），且无穷积分与都收敛，则f（x）=0．

4.设f（x）在上可导，且单调减少，f（x）=0,求证:

收敛收敛．

5.证明：

若函数f（x）在上一致连续，且无穷积分收敛，则f（x）=0．

6.求证：

若无穷积分收敛，函数f（x）在内单调，则f（x）=o（）．

7.计算下列广义二重积分的值．

（1）其中D=；

（2）；

（3）,并由此证明.

8、讨论下列广义重积分的敛散性．

（1）,；

（2）．