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建筑力学基本计算

《建筑施工与管理》专业建筑力学基本计算之六

力矩分配法计算三跨连续梁

1、基本概念和计算要求

在学习力矩分配法时,要注意下列问题：

1）力矩分配法是一种渐近的计算方法，不须解方程即可直接求出杆端弯矩，可以分析连续梁和结点无侧移刚架的内力。

2）力矩分配法是在位移法基础上派生出来的，其杆端弯矩、结点力矩的正负号规定和位移法完全一致。

3）力矩分配法的三大要素：

转动刚度、分配系数、传递系数。

其中转动刚度在位移法中已经涉及，只是概念稍为变化，传递系数较易理解和记忆。

主要是分配系数，要求熟练掌握其计算方法和特征。

2、基本计算方法

在应用力矩分配法计算具有多个分配结点的连续梁时，其基本原理是在加刚臂和放松刚臂的过程中，完成杆端弯矩的计算。

其基本思路为：

1）用刚臂约束所有的刚性结点，控制其转角。

计算固端弯矩和约束力矩。

2）每次轮流放松一个结点，其它所有结点仍需加刚臂约束。

在所放松的结点处进行力矩的分配和传递。

3）将各杆端的固端弯矩分别与各次的分配力矩和传递力矩相叠加（求代数和）即得该杆端的最后弯矩。

最后杆端弯矩在每个结点处都应该平衡。

4）根据杆端弯矩和荷载利用叠加法画弯矩图。

3、计算步骤和常用方法

考试要求为应用力矩分配法计算具有两个结点的三跨连续梁，并画出其弯矩图。

计算时要注意：

1）计算汇交于同一结点各杆杆端的分配系数后，先利用分配系数之和应等于1的条件进行校核，然后再进行下一步的计算。

2）特别应注意列表进行力矩分配、传递及最后杆端弯矩的计算方法。

3）分配时，要从约束力矩大的结点开始分配，可达到收敛快的效果。

4）应特别注意一定要将约束力矩先变号再进行分配。

5）求约束力矩时，应注意将其他结点传递过来的力矩计算在内。

6）当分配力矩达到所需精度时，即可停止计算（通常可以把精度控制在0.3范围内）。

应注意停止计算时只分配不再传递，以免引起邻近结点出现不平衡力矩。

7）画内力图时，宜利用最后杆端弯矩在每个结点处都应该平衡的条件进行校核。

4、举例

试用力矩分配法作图（a）所示连续梁的弯矩图。

[解]

（1）计算固端弯矩

将两个刚结点B、C均固定起来，则连续梁被分隔成三个单跨超静定梁。

因此，可由表查得各杆的固端弯矩

其余各固端弯矩均为零。

将各固端弯矩填入图（b）所示的相应位置。

由图可清楚看出，结点B、C的约束力矩分别为

（2）计算分配系数

分别计算相交于结点B和相交于结点C各杆杆端的分配系数。

①由表查得各转动刚度S

结点B：

结点C：

②计算分配系数

结点B：

校核：

，说明结点B计算无误。

结点C：

校核：

，说明结点C计算无误。

将各分配系数填入图（b）的相应位置。

（3）传递系数

查表得各杆的传递系数为

有了固端弯矩、分配系数和传递系数，便可依次进行力矩的分配与传递。

为了使计算收敛得快，用力矩分配法计算多结点的结构时，通常从约束力矩大的结点开始。

（4）首先放松结点C，结点B仍固定

这相当于只有一个结点C的情况，因而可按单结点力矩的分配和传递的方法进行。

①计算分配弯矩

将它们填入图（b）中，并在分配弯矩下面划一条横线，表示C结点力矩暂时平衡。

这时结点C将有转角，但由于结点B仍固定，所以这个转角不是最后位置。

②计算传递弯矩

在图（b）中用箭头表示传递力矩。

（5）放松结点B，重新固定结点C

①约束力矩应当注意的是结点B不仅有固端弯矩产生的约束力矩，还包括结点C传来的传递弯矩，故约束力矩

②计算分配弯矩

③计算传递弯矩

以上均填入图（b）相应位置。

结点B分配弯矩下的横线说明结点B又暂时平衡，同时也转动了一个转角，同样因为结点C又被固定，所以这个转角也不是最后位置。

（6）由于结点C又有了约束力矩O.25kN·m，因此应再放松结点C，固定结点B进行分配和传递。

这样轮流放松，固定各结点，进行力矩分配与传递。

因为分配系数和传递系数都小于1，所以结点力矩数值越来越小，直到传递弯矩的数值按计算精度要求可以略去不计时，就可以停止运算。

（7）最后将各杆端的固端弯矩，各次分配弯矩和传递弯矩相叠加，就可以得到原结构各杆端的最后弯矩。

见图（b）所示，最后各杆的杆端弯矩下划双线。

（8）根据各杆最后杆端弯矩和荷载用叠加法画弯矩图如图（c）所示。

建筑力学基本计算5

力法计算一次超静定结构

1、基本概念和计算要求

在学习力法计算超静定结构的时候,要注意下列几点：

1）力法的基本原理，通过多余未知力的概念，把超静定结构问题转化为静定结构的计算问题。

2）结构超静定次数的确定，多余约束、多余约束反力和抄静定次数的关系，基本结构的确定。

3）力法典型方程的建立及方程中想关系数的意义。

2、基本计算方法

在学习力法的基本方法时，要注意下列问题：

1）选择基本结构。

由于力法是以多余未知力作为基本未知量，首先应根据去掉多余约束的原则和方法去掉多余约束代之以多余未知力，得到与原结构相应的静定结构即基本结构。

选择基本结构应注意：

基本结构必须是几何不变体系的静定结构，几何可变体系（或瞬变体系）不能用作基本结构；多余约束力的方向应该符合约束的方向；选择的基本结构应该尽量使解题步骤简化。

2）基本方程的建立。

将基本结构与原结构以受力条件进行比较会发现：

只要多余未知力就是原结构的支座反力，则基本结构与原结构受力情况完全一致；当解出多余未知力，将其视为荷载加在基本结构上，超静定结构的计算即转化为静定结构的计算。

3、计算步骤和常用方法

考试要求基本是以力法计算一次超静定刚架（或梁）为主，基本计算步骤是：

1）选择基本结构。

确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并以相应的约束力代替而得到的一个静定结构作为基本结构。

2）建立力法典型方程。

（一次超静定结构）

3）计算δ11和Δ1P。

首先要画出基本结构在荷载作用下的MP图和基本结构在单位未知力作用下的

图，然后用图乘法分别计算δ11（

图和

图图乘）和Δ1P（MP图和

图图乘）。

4）求多余未知力。

代入力法典型方程求出多余未知力。

5）作内力图（一般为作弯矩图）。

可按

式叠加对应点的弯矩，从而画出弯矩图。

4、举例

作图（a）所示超静定刚架的弯矩图。

已知刚架各杆EI均为常数。

[解]

（1）选择基本结构

图（a）为二次超静定刚架，去掉C支座约束，代之以多余未知力X1、X2得到如图（b）所示悬臂刚架作为基本结构。

（2）建立力法典型方程

原结构C支座处无竖向位移和水平位移，故△1=O，△2=0，则其力法方程为

（3）计算系数和自由项

①画基本结构荷载弯矩图MP图如图（c）所示。

②画基本结构单位弯矩图

图和

图分别如图（d）、（e）所示。

③用图乘法计算各系数和自由项：

（4）求多余未知力

将以上所求得的系数和自由项代入力法方程，得

解得

其中X1为负值，说明C支座竖向反力的实际方向与假设相反，即应向上。

（5）根据叠加原理作M图，如图f所示。

结构的位移计算

1、基本概念和计算要求

在学习结构的位移计算时,应注意下列几点：

1）位移计算的目的主要是考虑结构的刚度计算和为力法打下基础，后一个更为重要。

2）虚功原理是位移计算的基础，在学习时，着重要考虑由虚功原理得出的位移求解公式及其每一项的物理意义。

3）在用单位荷载法计算位移时，关键是虚设单位力（广义力）的位置、方向和性质都必须与所求位移一一对应。

2、基本计算方法

结构位移的计算方法主要有积分法和图乘法两种：

1）积分法：

在用积分法计算结构位移的时候，着重考虑梁和刚架的位移计算，所以位移计算公式为

，从而，只需要分段建立弯矩方程，就可以利用积分公式求出位移。

2）图乘法：

对于利用图乘法求结构的位移这是一个最重要也是最常用的方法。

最后公式为

，从而，需要分别画出荷载作用下的MP图和虚设单位荷载作用下的

图，就可以利用图乘公式求位移。

3、计算步骤和常用方法

考试要求一般为求解常见荷载作用下梁和刚架的位移，积分法作为基础，而图乘法是最常用的方法和手段。

计算过程中要注意：

1）图乘法的三个适用条件，只要有一条不满足，就不能使用图法。

2）在使用图乘法的基本公式时，要理解图乘法是以一个弯矩图的面积ω乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yC，再除以EI。

特别注意竖标yC必须从直线弯矩图上取得。

3）要学会能正确灵活使用图乘的公式，首先要熟练掌握图乘法的计算步骤，包括支座反力的计算、弯矩图的绘制、基本图形的面积和形心、图乘时的正负号取舍等等；其次要灵活运用图乘法的技巧（即图乘法中图形叠加概念的灵活运用）。

4）学会掌握标准抛物线的判别方法，即看抛物线顶点处的切线是否与基线相平行。

5）用图乘法计算位移时所求位移的方向须按计算结果的正负判定，当计算结果为正，说明所求位移的方向与虚设单位力的方向一致，否则相反。

4、举例

试求图（a）所示刚架结点B的水平位移ΔBx，EI为常数。

[解]先作出MP图和

图，如图（b）、（c）所示。

MP图为荷载单独作用下的弯矩图；

图为在B点水平方向虚设单位力FP=1情况下结构的弯矩图。

由图乘法，可得

建筑力学基本计算3

梁的强度计算

1、基本概念和计算要求

在计算梁的强度问题时，要注意下列基本概念：

1）惯性矩的有关概念和计算，组合截面的惯性矩计算，抗弯截面系数的计算。

2）理解中性轴和中性层的有关概念，对理解正应力的分布规律和计算十分重要。

要注意中性轴的确定方法（中性轴必然通过截面形心）。

3）熟悉纯弯曲时梁横截面上的正应力分布规律，知道最危险点在截面的上、下边缘。

2、基本计算方法

梁的强度计算主要是如下几点：

1）利用正应力公式计算截面上任意一点的正应力。

2）由强度条件校核梁的正应力强度。

3）由强度条件设计梁的截面。

4）由强度条件计算梁上的最大容许荷载。

3、计算步骤和常用方法

考试要求对梁的强度问题主要是针对塑性材料（拉、压性能一样）的单跨静定梁，横截面为简单图形（圆形、矩形或空心圆截面）：

1）在计算正应力时，首先要明确该截面在梁上的位置，以便根据弯矩图确定该截面的弯矩值及正负号；其次要计算该截面对中性轴的惯性矩IZ，以及所求点到中性轴z的距离y，若中性轴位置未定，则应先计算截面形心位置以确定中性轴位置；为了简便起见，通常采取按绝对值计算出正应力的大小，再按弯矩的正负号直观判断；计算最大正应力时，则要求画出弯矩图，以确定最大弯矩值。

2）在应用强度条件时，首先要考虑最大正应力的计算；其次要能判断梁的危险截面和危险点；再则就是在设计截面时，对矩形截面情况下，必须理清h与b的比例关系。

3）在计算梁上的最大容许荷载时，要理清Mmax和荷载之间的关系式，从而可由Mmax确定最大容许荷载的值。

4、举例

外伸梁受力及其截面尺寸如图（a）所示。

已知材料的许用拉应力[σ+]=40MPa，许用压应力[σ-]=70MPa。

试校核梁的正应力强度。

[解]

（1）求最大弯矩

作出梁的弯矩图如图（b）所示。

由图中可见，B截面有最大负弯矩，C截面有最大正弯矩。

（2）计算抗弯截面系数

先确定中性轴位置及计算截面对中性轴的惯性矩。

中性轴必通过截面形心。

截面形心距底边为

截面对中性轴z的惯性矩为

由于截面不对称于中性轴，故应分别计算Wz

（3）校核强度

由于材料的抗拉性能和抗压性能不同，且截面又不对称于中性轴，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。

①校核最大拉应力

首先分析最大拉应力发生在哪里。

由于截面不对称于中性轴，且正负弯矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的B截面上。

应该对最大正弯矩截面C和最大负弯矩截面B上的拉应力进行分析比较。

B截面最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为

；C截面最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为

。

由于不能直观判断出二者的大小，故需通过计算来判断。

B截面

MPa

C截面

MPa

比较可知，最大拉应力发生在最大正弯矩截面的下边缘，应对其进行强度校核

所以，满足强度要求。

②校核最大压应力

也要首先确定最大压应力发生在哪里。

与分析最大拉应力一样，也要比较两个截面。

B截面最大压应力发生在截面下边缘，其值为

，C截面最大压应力发生在截面上边缘，其值为

。

因

，

，所以最大压应力一定发生在B截面下缘，应对其进行强度校核

所以，满足强度要求。

建筑力学基本计算2

静定梁内力图的画法

1、基本概念和计算要求

在学习静定单跨梁的时候,要注意下面的几点：

1）的类型和特点，要注意如何确定和计算三种梁的支座反力。

2）梁的剪力和弯矩，基本定义；特别是剪力和弯矩的正负号规定，这是很难掌握但又是很关键的，要注意别与计算符号相混淆；截面法求指定截面的剪力和弯矩，即用截面法将梁截开成两段后，习惯上是去掉梁的右边一段，取其左边部分为分离体，这样需求剪力和弯矩的截面处于分离体的右端成右截面，则其剪力向下为正，弯矩逆时针转向为正。

3）计算中，为了使计算符号与规定符号一致，计算剪力和弯矩时仍按规定的正号来假设剪力和弯矩的方向。

4）荷载情况一般以集中力、均布荷载、集中力偶三种为主，其他类型的荷载可不予考虑。

2、基本计算方法

单跨静定梁内力图的画法主要有函数方程法和微分关系法两种：

1）函数方程法

根据函数方程作内力图是画内力图的基本方法，原理较为简单，计算过程中应注意如下几点：

（1）分段。

要理解为什么要分段和怎样分段，分段处由于有荷载作用，所以该处相邻的左右截面内力不同，列内力方程和画图时应注意两者的区别。

（2）坐标x。

梁轴线为x轴，坐标x表示梁上任意距坐标原点为x距离的截面。

各段内力变化规律不同，每段都应设一个xi坐标，各xi坐标的起点，可以是整根梁的左端点。

（3）建立方程。

用截面法写出某i段坐标为xi的截面上内力的计算式，称为第i段内力方程。

（4）取值范围。

对坐标xi只要简单说明其取值范围即可。

（5）剪力图和弯矩图，可根据函数方程的函数表示分段分别画出梁的剪力图和弯矩图。

对水平直线，一个点就可以确定；对斜直线，可用两点确定；对二次抛物线，可以采取描点的方法，一般取三个截面计算内力值，就可近似地描出这段的曲线图形。

2）微分关系法

利用微分关系作梁的内力图，十分简便、迅捷，是作内力图的重要方法之一，应当很熟练的掌握，也是一般同学考试时最常用的方法。

特别是要很熟练的掌握弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系：

（1）弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系：

（2）用微分关系说明内力图的规律（教材上已全部列出，这里不再详细表述）。

3、计算步骤和常用方法

考试要求对所绘制的静定梁的内力图，其难易程度一般掌握在将梁分为三段，荷载包括集中力、均布荷载、集中力偶，梁型只限于单跨静定梁。

（1）正确计算支座反力，并且应进行校核。

（2）梁上均布荷载，只能在用截面法截开后才能进行等效代换，不能先等效代换再截取分离体。

等效代换的目的只是为了计算某截面内力或建立内力方程，不能根据它作内力图。

（3）内力图与荷载之间的关系必须符合微分关系所体现的规律性。

特别要注意突变值、极值、曲线的凹凸方向等。

（4）各图形要比例适当、上下对正、影条线与横轴垂直。

同时一定要注意标注上各控制点数值、单位、图形的正负号、图名等。

（5）要注意在画剪力图和弯矩图时，一般都是从梁的左端开始。

梁左端的零截面作为整个内力图的起点，画到最右端截面时应回到零。

图线不闭合就说明计算或绘图有误，应当检查核算，这是作内力图时的一种检查方法。

4、举例

利用微分关系作图示外伸梁的内力图。

[解]

（1）计算支座反力

由

得FAy=8kN（↑）

由

得FCy=20kN（↑）

根据本例梁上荷载作用的情况，应分AB、BC、CD三段作内力图。

（2）作FQ图

AB段：

梁上无荷载，FQ图应为一水平直线，通过FQA右=FAy=8kN即可画出此段水平线。

BC段：

梁上无荷载，FQ图也为一水平直线，通过FQB右=FAy—FP=8—20=—12kN，可画出。

在B截面处有集中力FP，FQ由+8kN突变到

—12kN，（突变值8+12=20kN=FP）。

CD段：

梁上荷载q=常数＜0，FQ图应是斜直

线，FQC右=FAy—FP+FCy=8—20+20=8kN及FQD

=0可画出此斜直线。

在C截面处有支座反力FCy，FQ由—12kN突

变到+8kN（突变值12+8=20kN=FCy）。

作出FQ图如图b所示。

（3）作M图

AB段：

q=0，FQ=常数，M图是一条斜直线。

由MA=0及MB=FAy×2=8×2=16kN·m作出。

BC段：

q=0，FQ=常数，M图是一条斜直线。

由MB=16kN·m及MC=FAy×4—FP×2=—8kN·m

作出。

CD段：

q=常数，方向向下，M图是一条下凸

的抛物线。

由MC=—8kN·m、MD=0，可作出大致的曲线形状。