学年北京市丰台区高一上学期期末练习数学试题解析版.docx

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学年北京市丰台区高一上学期期末练习数学试题解析版

丰台区2020～2021学年度第一学期期末练习

高一数学

2021.01

考

生

须

知

1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4.本试卷满分共100分，作答时长90分钟。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合

，

，则

（A）

（B）

（C）

（D）

2．若

，

，则下列不等式成立的是

（A）

（B）

（C）

（D）

3．已知命题

，

，则命题

的否定为

（A）

，

（B）

，

（C）

，

（D）

，

4．下列函数是奇函数的是

（A）

（B）

（C）

（D）

5．已知

，

，则

的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

6．设

，则“

”是“

”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

7．函数

在区间

上的最大值为

（A）

（B）

（C）

（D）

8．已知函数

则

的零点个数为

（A）0（B）1（C）2（D）3

9．已知指数函数

是减函数，若

，

，

，则

，

，

的大小关系是

（A）

（B）

（C）

（D）

10．已知函数

，

，

，

，则下列结论正确的是

（A）函数

和

的图象有且只有一个公共点

（B）

，当

时，恒有

（C）当

时，

，

（D）当

时，方程

有解

第二部分（非选择题共60分）

二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．

11．

．

12．函数

的定义域为．

13．

．

14．若函数

的一个零点为

，则

．

15．一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上时才有疗效，而低于500mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，设经过

小时后，药在病人血液中的量为

mg．

（1）

关于

的函数解析式为；

（2）要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过小时．（精确到0.1）

（参考数据：

，

，

，

）

16．函数

的定义域为

，其图象如图所示．函数

是定义域为

的偶函数，

满足

，且当

时，

．给出下列三个结论：

①

；

②不等式

的解集为

；

③函数

的单调递增区间为

，

．

其中所有正确结论的序号是．

注：

本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得4分，不选或有错选得

分，其他得2分．

三、解答题共4小题，共36分.

17．记不等式

的解集为A，不等式

的解集为B．

（Ⅰ）当

时，求

；

（Ⅱ）若

，求实数a的取值范围．

18．在平面直角坐标系

中，角

以

为始边，其终边与单位圆

的交点为

．

（Ⅰ）求

，

的值；

（Ⅱ）若

，求函数

的最小正周期和单调递增区间．

19．已知函数

的图象过原点，且

．

（Ⅰ）求实数

的值；

（Ⅱ）若

，

，请写出

的最大值；

（Ⅲ）判断并证明函数

在区间

上的单调性．

20．设函数

的定义域为

，如果存在区间

，使得

在区间

上是单调函数且值域为

，那么称

在区间

上具有性质

．

（Ⅰ）分别判断函数

和

在区间

上是否具有性质

；（不需要解答过程）

（Ⅱ）若函数

在区间

上具有性质

，

（

）求实数

的取值范围；

（

）求

的最大值．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2020～2021学年度第一学期期末练习

高一数学

2021.01

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合

，

，则

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：

观察法，选B.

2．若

，

，则下列不等式成立的是

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：

因为

，故

，选A.

3．已知命题

，

，则命题

的否定为

（A）

，

（B）

，

（C）

，

（D）

，

解析：

改两处，选A.

4．下列函数是奇函数的是

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：

A、B非奇非偶；C偶函数；D奇函数，选D.

5．已知

，

，则

的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：

第二象限余弦值为负，

，故

，选B.

6．设

，则“

”是“

”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

解析:

小对勾函数，选A.

7．函数

在区间

上的最大值为

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：

因为

，故

，故当

时，

取得最大值

，选C.

8．已知函数

则

的零点个数为

（A）0（B）1（C）2（D）3

解析：

可计算，可画图.零点为0，1，选C.

9．已知指数函数

是减函数，若

，

，

，则

，

，

的大小关系是

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：

取

，则

，

，

，故

，选B.

10．已知函数

，

，

，

，则下列结论正确的是

（A）函数

和

的图象有且只有一个公共点

（B）

，当

时，恒有

（C）当

时，

，

（D）当

时，方程

有解

解析：

对于A，

和

的图象有2个公共点，错误；

对于B，

，当

时，恒有

，错误；

对于C，当

时，

，

，错误；

故选D.

第二部分（非选择题共60分）

二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．

11．

．

解析：

.

12．函数

的定义域为．

解析：

，

，故的定义域为

.

13．

．

解析：

原式=

.

14．若函数

的一个零点为

，则

．

解析：

，

，当

时，

.

15．一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上时才有疗效，而低于500mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，设经过

小时后，药在病人血液中的量为

mg．

（1）

关于

的函数解析式为；

（2）要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过小时．（精确到0.1）

（参考数据：

，

，

，

）

解析：

；

，即

，即

，又

，

故再次注射该药的时间不能超过

小时.

16．函数

的定义域为

，其图象如图所示．函数

是定义域为

的偶函数，

满足

，且当

时，

．给出下列三个结论：

①

；

②不等式

的解集为

；

③函数

的单调递增区间为

，

．

其中所有正确结论的序号是．

注：

本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得4分，不选或有错选得

分，其他得2分．

解析：

因为

，故

周期为2，又

是定义域为

的偶函数，

故

，故

对称轴为

，可得到

在

上的图象.

对于①，

，①正确；

对于②，

，②错误；

对于③，与正余弦的增减区间类似，正确.

综上，填①③.

三、解答题共4小题，共36分.

17．记不等式

的解集为A，不等式

的解集为B．

（Ⅰ）当

时，求

；

（Ⅱ）若

，求实数a的取值范围．

解：

（Ⅰ）由

得，

，所以

；

由

得，

或

，所以

，或

；

当

时，

，

所以

，或

.……………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

，

因为

，

所以

，所以实数a的取值范围是

.……………………………9分

18．在平面直角坐标系

中，角

以

为始边，其终边与单位圆

的交点为

．

（Ⅰ）求

，

的值；

（Ⅱ）若

，求函数

的最小正周期和单调递增区间．

解：

（Ⅰ）依题意知

，

所以

.……………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

因为

，所以

，

所以

，

令

，由

得，

，且

的最小正周期为

，

即

，于是

，

所以

，

由周期函数的定义可知，函数

的最小正周期为

.

（在求周期时，直接用公式

获得答案的，同样给分）

由

得，

，

所以函数

的单调递增区间是

.

……………………………9分

19．已知函数

的图象过原点，且

．

（Ⅰ）求实数

的值；

（Ⅱ）若

，

，请写出

的最大值；

（Ⅲ）判断并证明函数

在区间

上的单调性．

解：

（Ⅰ）因为

的图象过原点，且

，

所以

，

解得：

.……………………………3分

（Ⅱ）

的最大值为-1.……………………………5分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

，所以

，

所以

在区间

上是单调递减函数.

证明如下：

令

，

，且

，

因为

，且

，

所以

，

所以

，即

，

所以

在区间

上是单调递减函数，

即

在区间

上是单调递减函数.……………………………9分

20．设函数

的定义域为

，如果存在区间

，使得

在区间

上是单调函数且值域为

，那么称

在区间

上具有性质

．

（Ⅰ）分别判断函数

和

在区间

上是否具有性质

；（不需要解答过程）

（Ⅱ）若函数

在区间

上具有性质

，

（

）求实数

的取值范围；

（

）求

的最大值．

解：

（Ⅰ）函数

在区间

上不具有性质P，

在区间

上具有性质P.……………………………2分

（Ⅱ）（

）方法1：

因为函数

在区间

上具有性质P，

则

在

有两个不相等的实数根

，

即

在

有两个不相等的实数根.

设

，即

在

有两个不相等的实数根.

所以

，即

.解得：

所以，实数

的取值范围

方法2：

因为函数

在

单调递增，

函数

在区间

上具有性质P，

则

在

有两个不相等的实数根

，

即

在

有两个不相等的实数根.

设

，即

在

有两个不相等的实数根.

所以，实数

的取值范围

.

（

）

因为

，所以当

时，

取最大值1.………………………9分