生产裸铜线和塑包线的工艺数学建模.docx
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生产裸铜线和塑包线的工艺数学建模
附录
生产裸铜线和塑包线的工艺如图所示：
拉丝机
裸铜线
塑包机
塑包线
联合机
塑包线
某厂现有Ⅰ型拉丝机和塑包机各一台，生产两种规格的裸铜线和相应的两种塑包线，没有拉丝塑包联合机（简称联合机）。
由于市场需求扩大和现有塑包机设备陈旧，计划新增Ⅱ型拉丝机或联合机（由于场地限制，每种设备最多一台），或改造塑包机，每种设备选用方案及相关数据如下：
拉丝机
塑包机
联合机
原有Ⅰ型
新购Ⅱ型
原有
改造
新购
方案代号
1
2
3
4
5
所需投资（万元）
0
20
0
10
50
运行费用（元/小时）
5
7
8
8
12
固定费用（万元/年）
3
5
8
10
14
规格1生产效率（米/小时）
1000
1500
1200
1600
1600
规格2生产效率（米/小时）
800
1400
1000
1300
1200
废品率（%）
2
2
3
3
3
每千米废品损失（元）
30
30
50
50
50
已知市场对两种规格裸铜线的需求分别为3000km和2000km，对两种规格塑包线的需求分别为10000km和8000km左右。
按照规定，新购及改进设备按每年5%提取折旧费，老设备不提；每台机器每年最多只能工作8000小时。
为了满足需求，确定使总费用最小的设备和生产计划。
摘要
本文研究工厂生产生产裸铜线和塑包线，针对市场的不同需求而做出不同的方案，考虑到生产过程中所需投资、运行费用、固定费用、生产效率、废品率等因素的影响，寻求各种方案的最优解，使得总费用最小。
本文针对各种约束约束条件，建立优化问题的模型，建立寻求总费用最小的模型。
本文建立模型较简单，但是能清楚地说明问题。
本文使用各种费用相加求出总费用最优解的方法，使用数学LINGO软件对各方面进行求解，并考虑约束条件，给出工厂生产裸铜线和塑包线的最优方案和最小费用，同时还进行了灵敏度分析，充分考虑了各种因素对结果带来的影响。
关键词：
裸铜线塑包线总费用最优方案
1问题重述
在进行多种设备选用方案投资时，人们常常想知道该向选择哪一种方案才能使总费用最小，且能使我们以后的收益达到最大。
为了能够做到这一点，我们在选择方案时必须对各个方面进行分析、估价，计算出各种方案所需的总费用。
工厂财务人员经过对市场调查后以及对现阶段的原有生产方面，得到了一些基本的数据，即在这一时期内购买拉丝机或联合机的费用或者塑包机改造的费用，它们运行时费用，固定的费用，以及各种机器的生产效率，废品率和它们的废品损失费。
本题需要我们选择一种最好设备选用方案，使总费用最低。
并给出对应的机器工作时间以及各种新设备和改进设备的折旧费，和市场对裸铜线与塑包线的需求量。
2问题分析
从表中有5种方案机器生产，总生产能力要超过总需求量，而且购买或者改造设备消耗的总费用要最少。
我们容易想到的是枚举法，算出各个方案的最少费用，逐一计算并作比较，即可找出最优方案。
显然这不是解决这类问题的好办法，随着问题规模的变大，枚举法的计算量将是无法接受的。
这是一个优化问题，它的目标是使消耗的的总费用最小。
要作的决策变量xij表示第i种方案机器用于生产第j种规格线材的时间（单位:
千小时）,（i=1,2,3,4,5;j=1,2）。
用Mi表示第i种方案机器的数目（0-1变量）,也就是用0-1变量表示一种方案是否被选用，从而建立这个问题的0-1规划模型，借助现成的数学软件求解。
建立优化问题的模型最主要的是用数学符号和式子表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件。
对于本题决策变量是明确的，即xij表示第i种方案机器用于生产第j种规格线材的时间，目标函数总费用最小。
约束条件应为满足需求的限制，机器生产能力的限制，变量范围的限制，现有生产设备数量的限制。
3基本假设
1、机器在生产期间不会出现故障，工作运行正常
2、机器都在工作时需内，
3、废品损失只是由于机器原因造成，人为原因排除
4、两种规格的生产效率都在允许范围内
5、不会应市场经济原因而改变运行费用
4符号说明
Mi：
表示第i种方案机器的数目（0-1变量）
Xij：
表示第i种方案机器用于生产第j种规格线材的时间
K：
新购及改进设备年折旧费
F：
设备年固定费用
R：
年运行费用
L：
废品损失
5模型建立与求解
5．1模型建立：
决策变量:
用Mi表示第i种方案机器的数目（0-1变量）,xij表示第i种方案机
器用于生产第j种规格线材的时间（单位:
千小时）,（i=1,2,3,4,5;j=1,2）.
费用（均以千元为单位）包括:
新购及改进设备年折旧费（0.05K）,设备年固定费用（F）、年运行费用（R）、废品损失（L）,其中:
K=200M2+100M4+500M5
F=30M1+50M2+80M3+100M4+140M5
R=5（x11+x12）+7（x21+x22）+8（x31+x32）+8（x41+x42）+12（x51+x52）
设备1的年废品损失为
0.030×0.02×（1000x11+800x12）=0.6x11+0.48x12
设备2的年废品损失为
0.030×0.02×（1500x21+1400x22）=0.9x21+0.84x22
设备3的年废品损失为
0.050×0.03×（1200x31+1000x32）=1.8x31+1.5x32
设备4的年废品损失为
0.050×0.03×（1600x41+1300x42）=2.4x41+1.95x42
设备5的年废品损失为
0.050×0.03×（1600x51+1200x52）=2.4x51+1.8x52
总的设备年废品损失为
L=0.6x11+0.48x12+0.9x21+0.84x22+1.8x31+1.5x32+2.4x41+
1.95x42+2.4x51+1.8x52
优化目标：
Min0.05K+F+R+L=30M1+60M2+80M3+105M4+165M5+5.6x11+5.48x12+7.9x21+7.84x22+9.8x31+9.5x32+10.4x41+9.95x42+14.4x51+13.8x52
约束条件：
1）满足需求:
裸铜线不仅直接供应市场,还可以作为半成品供塑包机生产塑包线,所以裸铜线（规格1）的需求量为3000+1200x31+1600x41裸铜线（规格1）由设备1,2生产,考虑到废品损失,应有
（1－0.02）×（1000x11+1500x21）≥3000+1200x31+1600x41
即980x11+1470x21-1200x31-1600x41≥3000
同理有
784x12+1372x22-1000x32-1300x42≥2000
1164x31+1552x41+1552x51≥10000
970x32+1261x42+1164x52≥8000
2）机器生产能力的限制:
每台机器每年最多只能工作8000小时,
即xi1+xi2≤8Mi（i=1,2,3,4,5）
3）现有生产设备数量的限制:
M1=1
M3+M4=1
4）变量范围的限制:
Mi为0-1变量,xij非负
基本模型：
min=30*M1+60*M2+80*M3+105*M4+165*M5+5.6*x11+5.48*x12+7.9*x21+7.84*x22+9.8*x31+9.5*x32+10.4*x41+9.95*x42+14.4*x51+13.8*x52;980*x11+1470*x21-1200*x31-1600*x41>=3000;784*x12+1372*x22-1000*x32-1300*x42>=2000;1164*x31+1552*x41+1552*x51>=10000;970*x32+1261*x42+1164*x52>=8000;x11+x12<=8*M1;x21+x22<=8*M2;x31+x32<=8*M3;x41+x42<=8*M4;x51+x52<=8*M5;M1=1;M3+M4=1;
5.2模型求解：
将以上模型输入LINDO求解，容易得到
Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:
573.9489Objectivebound:
573.9489Infeasibilities:
0.2273737E-12Extendedsolversteps:
0Totalsolveriterations:
12VariableValueReducedCostM11.0000000.000000M21.00000056.00000M31.00000080.00000M40.00000085.80000M51.000000125.8443X110.22235580.000000X120.0000000.7142857X211.8925790.000000X226.1074210.000000X310.0000002.186297X326.3793810.000000X410.0000002.648397X420.0000000.000000X516.4432990.000000X521.5567010.000000RowSlackorSurplusDualPrice1573.9489-1.00000020.000000-0.5714286E-0230.000000-0.6078717E-0240.000000-0.1243200E-0150.000000-0.1606053E-0167.7776440.00000070.0000000.500000081.6206190.00000090.0000002.400000100.0000004.894461110.000000-30.00000120.0000000.000000
即需要新购Ⅱ型拉丝机和联合机各1台,不需要改造塑包机设备;相应的任
务分配可以从xij的数值得到;总费用为574千元.
6模型评价
生产问题的建模主要由两方面组成，一是选择最佳设备方案提高产量。
二是构造优化模型
本文通过对各种费用的研究及不同方案、市场的需求的考虑，最终得出了工厂生产裸铜线和塑包线的最优计划和总费用的最优解。
本文通过对所需投资、运行费用、固定费用、生产效率、废品率等的考虑，建立了优化模型，并运用LINGO软件求解，所得的结果对工厂的生产计划有一定的指导意义。
本文还考虑了约束条件，满足需求、机器生产能力的限制、现有生产设备数量的限制、变量范围的限制等条件，将变量限制在一定的范围内，缩小范围，更有利于研究。
本模型存在一些不足：
本文考虑的一些因素不是很充分，比如工人的生产技术对生产的影响、经济变化对费用的影响等。
因此，本模型还可以在费用方面进行改进，进行研究比较。
7参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊等编著，数学模型（第三版）北京：
高等教育出版社，2003年8月
附录：
模型程序：
model:
min=30*M1+60*M2+80*M3+105*M4+165*M5+5.6*x11+5.48*x12+7.9*x21+7.84*x22+9.8*x31+9.5*x32+10.4*x41+9.95*x42+14.4*x51+13.8*x52;980*x11+1470*x21-1200*x31-1600*x41>=3000;784*x12+1372*x22-1000*x32-1300*x42>=2000;1164*x31+1552*x41+1552*x51>=10000;970*x32+1261*x42+1164*x52>=8000;x11+x12<=8*M1;x21+x22<=8*M2;x31+x32<=8*M3;x41+x42<=8*M4;x51+x52<=8*M5;M1=1;M3+M4=1;@bin（M1）;@bin（M2）;@bin（M3）;@bin（M4）;@bin（M5）;end
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