等差数列的前n项和练习含标准答案.docx

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等差数列的前n项和练习含标准答案

课时作业8　等差数列的前n项和

时间：

45分钟　　满分：

100分

课堂训练

1．已知{an}为等差数列，a1＝35，d＝－2，Sn＝0，则n等于（　　）

A．33　　　　　　　　B．34

C．35D．36

【答案】　D

【解析】　本题考查等差数列的前n项和公式．由Sn＝na1＋d＝35n＋×（－2）＝0，可以求出n＝36.

2．等差数列{an}中，3（a3＋a5）＋2（a7＋a10＋a13）＝24，则数列前13项的和是（　　）

A．13B．26

C．52D．156

【答案】　B

【解析】　3（a3＋a5）＋2（a7＋a10＋a13）＝24⇒6a4＋6a10＝24⇒a4＋a10＝4⇒S13＝＝＝＝26.

3．等差数列的前n项和为Sn，S10＝20，S20＝50.则S30＝________.

【答案】　90

【解析】　等差数列的片断数列和依次成等差数列．

∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列．

∴2（S20－S10）＝（S30－S20）＋S10，解得S30＝90.

4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.

【分析】　

（1）应用基本量法列出关于a1和d的方程组，解出a1和d，进而求得S28；

（2）因为数列不是常数列，因此Sn是关于n的一元二次函数且常数项为零．设Sn＝an2＋bn，代入条件S12＝84，S20＝460，可得a、b，则可求S28；

（3）由Sn＝n2＋n（a1－）得＝n＋（a1－），故是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×＝＋，可求得S28.

【解析】　方法一：

设{an}的公差为d，

则Sn＝na1＋d.

由已知条件得：

整理得解得

所以Sn＝－15n＋×4＝2n2－17n，

所以S28＝2×282－17×28＝1092.

方法二：

设数列的前n项和为Sn，则Sn＝an2＋bn.

因为S12＝84，S20＝460，

所以

整理得

解之得a＝2，b＝－17，

所以Sn＝2n2－17n，S28＝1092.

方法三：

∵{an}为等差数列，

所以Sn＝na1＋d，

所以＝a1－＋n，所以是等差数列．

因为12,20,28成等差数列，

所以，，成等差数列，

所以2×＝＋，解得S28＝1092.

【规律方法】　基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．

课后作业

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10等于（　　）

A．100　　　　　　　　　　B．210

C．380D．400

【答案】　B

【解析】　d＝＝＝4，则a1＝3，所以S10＝210.

2．在等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10＝（　　）

A．27B．24

C．29D．48

【答案】　C

【解析】　由已知

解得∴a10＝2＋9×3＝29.

3．数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n－1，则这个数列一定是（　　）

A．等差数列B．非等差数列

C．常数列D．等差数列或常数列

【答案】　B

【解析】　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－1－[（n－1）2＋2（n－1）－1]＝2n＋1，当n＝1时a1＝S1＝2.

∴an＝这不是等差数列．

4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于（　　）

A．6B．7

C．8D．9

【答案】　A

【解析】　∴

∴Sn＝na1＋d＝－11n＋n2－n＝n2－12n.

＝（n－6）2－36.

即n＝6时，Sn最小．

5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于（　　）

A．22B．21

C．19D．18

【答案】　D

【解析】　∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，

an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146，

∴5（a1＋an）＝180，a1＋an＝36，

Sn＝＝＝234.

∴n＝13，S13＝13a7＝234.∴a7＝18.

6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为（　　）

A．8B．7

C．6D．5

【答案】　D

【解析】　S奇＝6a1＋×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋×2d＝5（a1＋5d）＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.

7．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则等于（　　）

A．7B.

C.D.

【答案】　D

【解析】　＝＝＝＝＝.

8．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于（　　）

A．445B．765

C．1080D．1305

【答案】　B

【解析】　an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列．

∴an＝－60＋（n－1）×3，即an＝3n－63.

∴an＝0时，n＝21，an>0时，n>21，an<0时，n<21.

S′30＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|

＝－a1－a2－a3－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30

＝－2（a1＋a2＋…＋a21）＋S30

＝－2S21＋S30

＝765.

二、填空题（每小题10分，共20分）

9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则数列的通项公式an＝________.

【答案】　2n

【解析】　设等差数列{an}的公差d，则

，∴，∴an＝2n.

10．等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于________．

【答案】　10

【解析】　∵等差数列共有2n＋1项，∴S奇－S偶＝an＋1＝.

即132－120＝，求得n＝10.

【规律方法】　利用了等差数列前n项和的性质，比较简捷．

三、解答题（每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

11．在等差数列{an}中，

（1）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；

（2）若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.

【分析】　在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式和前n项和公式，先求出a1和d，然后再求前n项和或特别的项．

【解析】　

（1）∵a6＝10，S5＝5，

∴

解方程组，得a1＝－5，d＝3，

∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，

S8＝＝44.

（2）由Sn＝＝＝－1022，

解得n＝4.

又由an＝a1＋（n－1）d，

即－512＝1＋（4－1）d，

解得d＝－171.

【规律方法】　一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a1和d，然后再用公式求出其他的量．

12．已知等差数列{an}，且满足an＝40－4n，求前多少项的和最大，最大值为多少？

【解析】　方法一：

（二次函数法）∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，

∴Sn＝＝·n＝－2n2＋38n

＝－2[n2－19n＋（）2]＋

＝－2（n－）2＋.

令n－＝0，则n＝＝9.5，且n∈N＋，

∴当n＝9或n＝10时，Sn最大，

∴Sn的最大值为S9＝S10＝－2（10－）2＋＝180.

方法二：

（图象法）∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，

a2＝40－4×2＝32，∴d＝32－36＝－4，

Sn＝na1＋d＝36n＋·（－4）＝－2n2＋38n，

点（n，Sn）在二次函数y＝－2x2＋38x的图象上，Sn有最大值，其对称轴为x＝－＝＝9.5，

∴当n＝10或9时，Sn最大．

∴Sn的最大值为S9＝S10＝－2×102＋38×10＝180.

方法三：

（通项法）∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，

a2＝40－4×2＝32，

∴d＝32－36＝－4<0，数列{an}为递减数列．

令有

∴即9≤n≤10.

当n＝9或n＝10时，Sn最大．

∴Sn的最大值为S9＝S10＝×10＝×10＝180.

【规律方法】　对于方法一，一定要强调n∈N＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n＝9或n＝10，需注意am＝0时，Sm－1＝Sm同为Sn的最值．