高考理科数学答题详细指导导数及其应用.docx

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高考理科数学答题详细指导导数及其应用

2020年高考理科数学答题详细指导

导数及其应用

第一节导数的概念及运算、定积分

基础知识

1．导数的概念

（1）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：

函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率li＝li❶为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′x＝x0，即f′（x0）＝li＝li.

函数y＝f（x）的导数f′（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′（x）|反映了变化的快慢，|f′（x）|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

（2）导数的几何意义：

函数f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点P（x0，y0）❷处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′（x0）（x－x0）．

❷曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′（x0）的切线，是唯一的一条切线.

（3）函数f（x）的导函数：

称函数f′（x）＝li为f（x）的导函数．

（4）f′（x）是一个函数，f′（x0）是函数f′（x）在x0处的函数值（常数），[f′（x0）]′＝0.

2．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f（x）＝xn（n∈Q*）

f′（x）＝n·xn－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cosx

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sinx

f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）

f′（x）＝axlna

f（x）＝ex

f′（x）＝ex

f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）

f′（x）＝

f（x）＝lnx

f′（x）＝

3.导数的运算法则

（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；

（2）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

（3）＝（g（x）≠0）．

4．复合函数的导数

复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

5．定积分的概念

在f（x）dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．

6．定积分的性质

（1）kf（x）dx＝kf（x）dx（k为常数）；

（2）[f1（x）±f2（x）]dx＝f1（x）dx±f2（x）dx；

（3）f（x）dx＝f（x）dx＋f（x）dx（其中a＜c＜b）．❸

❸求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质（3）进行计算.

7．微积分基本定理

一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）＝f（x），那么f（x）dx＝F（b）－F（a），常把F（b）－F（a）记作F（x），即f（x）dx＝F（x）＝F（b）－F（a）．

8．定积分的几何意义❹

定积分f（x）dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f（x）及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.

①S＝f（x）dx；②S＝－f（x）dx；③S＝f（x）dx－f（x）dx；

④S＝f（x）dx－g（x）dx＝[f（x）－g（x）]dx.

❹

（1）定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：

面积非负，而定积分的结果可正可负.

（2）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.

[熟记常用结论]

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2．熟记以下结论：

（1）′＝－；

（2）（ln|x|）′＝；

（3）′＝－（f（x）≠0）；

（4）[af（x）±bg（x）]′＝af′（x）±bg′（x）．

3．常见被积函数的原函数　

（1）cdx＝cx；

（2）xndx＝（n≠－1）；

（3）sinxdx＝－cosx；（4）cosxdx＝sinx；

（5）dx＝ln|x|；（6）exdx＝ex.

[小题查验基础]

一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．（　　）

（2）因为（lnx）′＝，所以′＝lnx．（　　）

（3）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）dx＝f（t）dt.（　　）

（4）定积分一定是曲边梯形的面积．（　　）

答案：

（1）√　

（2）×　（3）√　（4）×

二、选填题

1．下列求导运算正确的是（　　）

A.＝1＋　　B．（log2x）′＝

C．（3x）′＝3xlog3eD．（x2cosx）′＝－2sinx

解析：

选B　＝x′＋＝1－；（3x）′＝3xln3；＝（x2）′cosx＋x2（cosx）′＝2xcosx－x2sinx．故选B.

2．如图所示为函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数的图象，那么y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（　　）

解析：

选D　由y＝f′（x）的图象知，y＝f′（x）在（0，＋∞）上单调递减，说明函数y＝f（x）的切线的斜率在（0，＋∞）上也单调递减，故可排除A、C.

又由图象知y＝f′（x）与y＝g′（x）的图象在x＝x0处相交，说明y＝f（x）与y＝g（x）的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.

3．已知t是常数，若（2x－2）dx＝8，则t＝（　　）

A．1B．－2

C．－2或4D．4

解析：

选D　由（2x－2）dx＝8，得（x2－2x）＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2（舍去）．

4．若f（x）＝x·ex，则f′

（1）＝________.

解析：

∵f′（x）＝ex＋xex，∴f′

（1）＝2e.

答案：

2e

5．曲线y＝1－在点（－1，－1）处的切线方程为______________________．

解析：

∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2.

故所求切线方程为2x－y＋1＝0.

答案：

2x－y＋1＝0

考题规律

考点一导数的运算[基础自学过关]

[题组练透]

1．f（x）＝x（2018＋lnx），若f′（x0）＝2019，则x0等于（　　）

A．e2　　　　　　　　　B．1

C．ln2D．e

解析：

选B　f′（x）＝2018＋lnx＋x×＝2019＋lnx，故由f′（x0）＝2019，得2019＋lnx0＝2019，则lnx0＝0，解得x0＝1.

2．（2019·宜昌联考）已知f′（x）是函数f（x）的导数，f（x）＝f′

（1）·2x＋x2，则f′

（2）＝（　　）

A.B.

C.D．－2

解析：

选C　因为f′（x）＝f′

（1）·2xln2＋2x，所以f′

（1）＝f′

（1）·2ln2＋2，解得f′

（1）＝，所以f′（x）＝·2xln2＋2x，所以f′

（2）＝×22ln2＋2×2＝.

3．若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f′

（1）＝2，则f′（－1）＝________.

解析：

f′（x）＝4ax3＋2bx，

∵f′（x）为奇函数且f′

（1）＝2，

∴f′（－1）＝－2.

答案：

－2

4．求下列函数的导数．

（1）y＝x2sinx；

（2）y＝lnx＋；

（3）y＝；

（4）y＝xsincos.

解：

（1）y′＝（x2）′sinx＋x2（sinx）′

＝2xsinx＋x2cosx.

（2）y′＝′＝（lnx）′＋′＝－.

（3）y′＝′＝＝－.（4）∵y＝xsincos

＝xsin（4x＋π）

＝－xsin4x，

∴y′＝－sin4x－x·4cos4x

＝－sin4x－2xcos4x.

[名师微点]

1．求函数导数的总原则：

先化简解析式，再求导．

2．常见形式及具体求导6种方法

连乘形式

先展开化为多项式形式，再求导

三角形式

先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导

分式形式

先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导

根式形式

先化为分数指数幂的形式，再求导

对数形式

先化为和、差形式，再求导

复合函数

先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元

[提醒]　对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f（x）＝f′（x0）g（x）＋h（x）（x0为常数）的函数，解决这类问题的关键是明确f′（x0）是常数，其导数值为0.因此先求导数f′（x），令x＝x0，即可得到f′（x0）的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．

考点二导数的几何意义及其应用[全析考法过关]

[考法全析]

考法

（一）　求切线方程

[例1]　（2018·全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝x3＋（a－1）·x2＋ax，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为（　　）

A．y＝－2x　　　　　　B．y＝－x

C．y＝2xD．y＝x

[解析]　法一：

∵f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax，

∴f′（x）＝3x2＋2（a－1）x＋a.

又f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）恒成立，

即－x3＋（a－1）x2－ax＝－x3－（a－1）x2－ax恒成立，

∴a＝1，∴f′（x）＝3x2＋1，∴f′（0）＝1，

∴曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.

法二：

∵f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，

∴f′（x）＝3x2＋2（a－1）x＋a为偶函数，

∴a＝1，即f′（x）＝3x2＋1，∴f′（0）＝1，

∴曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.

[答案]　D

考法

（二）　求切点坐标

[例2]　已知函数f（x）＝xlnx在点P（x0，f（x0））处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P（x0，f（x0））的坐标为________．

[解析]　∵f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝lnx＋1，由题意得f′（x0）·（－1）＝－1，即f′（x0）＝1，∴lnx0＋1＝1，lnx0＝0，∴x0＝1，∴f（x0）＝0，即P（1,0）．

[答案]　（1,0）

考法（三）　由曲线的切线（斜率）求参数的值（范围）

[例3]　

（1）（2018·商丘二模）设曲线f（x）＝－ex－x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）＝3ax＋2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－1,2]B．（3，＋∞）

C.D.

（2）（2018·全国卷Ⅲ）曲线y＝（ax＋1）ex在点（0,1）处的切线的斜率为－2，则a＝________.

[解析]　

（1）由f（x）＝－ex－x，得f′（x）＝－ex－1，

∵ex＋1>1，∴∈（0,1）．由g（x）＝3ax＋2cosx，得g′（x）＝3a－2sinx，又－2sinx∈[－2,2]，∴3a－2sinx∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线f（x）＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在过曲线g（x）＝3ax＋2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则

解得－≤a≤.

（2）∵y′＝（ax＋a＋1）ex，

∴当x＝0时，y′＝a＋1，

∴a＋1＝－2，解得a＝－3.

[答案]　

（1）D　

（2）－3

考法（四）　两曲线的公切线问题

[例4]　已知曲线f（x）＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g（x）＝－lnx相切，则a的值为________．

[解析]　由f（x）＝x3＋ax＋，得f′（x）＝3x2＋a.

∵f′（0）＝a，f（0）＝，

∴曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y－＝ax.

设直线y－＝ax与曲线g（x）＝－lnx相切于点（x0，－lnx0），g′（x）＝－，

∴

将②代入①得lnx0＝，

∴x0＝e，∴a＝－＝－e－.

[答案]　－e－

[规律探求]

看个性

考法

（一）是求曲线的切线方程，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）；求过某点M（x1，y1）的切线方程时，需设出切点A（x0，f（x0）），则切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），再把点M（x1，y1）代入切线方程，求x0.

考法

（二）是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标．

考法（三）是由切线求参数的值（范围），其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．

考法（四）是曲线的公切线问题．解决此类问题通常有两种方法：

一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f（x）上的切点P1（x1，f（x1）），在y＝g（x）上的切点P2（x2，g（x2）），则f′（x1）＝g′（x2）＝

找共性

1.解题口诀归纳

2.求曲线的切线注意点

（1）“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点；

（2）曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个

[过关训练]

1．[口诀第1、2句]曲线y＝在点（0，－1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（　　）

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1

解析：

选B　因为y′＝，所以y′x＝0＝2，所以曲线在点（0，－1）处的切线方程为y＋1＝2x，即y＝2x－1，与两坐标轴的交点坐标分别为（0，－1），，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－1|×＝.

2．[口诀第3、4句]已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切（其中e为自然对数的底数），则实数a的值为________．

解析：

由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－lna，代入曲线方程得y＝1－lna，所以切线方程为y－（1－lna）＝2（x＋lna），即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1⇒a＝1.

答案：

1

3．[口诀第3、4句]若一直线与曲线y＝和曲线x2＝ay（a>0）相切于同一点P，则a的值为________．

解析：

设切点P（x0，y0），则由y＝lnx，得y′＝，

由x2＝ay，得y′＝x，则有解得a＝2e.

答案：

2e

考点三定积分的运算及应用[基础自学过关]

[题组练透]

1.（sinx－cosx）dx＝________.

解析：

（sinx－cosx）dx

＝sinxdx－cosxdx＝－cosx－sinx

＝2.

答案：

2

2.dx＋dx＝________.

解析：

dx＝lnx＝1－0＝1，因为dx表示的是圆x2＋y2＝4在x轴及其上方的面积，故dx＝π×22＝2π，故答案为2π＋1.

答案：

2π＋1

3．由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为____________．

解析：

法一：

画出草图，如图所示．

解方程组及得交点分别为（1,1），（0,0），（3，－1），

所以所求图形的面积

S＝dx＋dx

＝dx＋dx

＝＋

＝＋6－×9－2＋＝.

法二：

如图所求阴影的面积就是三角形OAB的面积减去由y轴，y＝，y＝2－x围成的曲边三角形的面积，即

S＝×2×3－（2－x－）dx

＝3－

＝3－＝.

答案：

4．一物体在力F（x）＝（单位：

N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4（单位：

m）处，则力F（x）做的功为________J.

解析：

由题意知，力F（x）所做的功为W＝F（x）dx＝5dx＋（3x＋4）dx＝5×2＋＝10＋＝36（J）．

答案：

36

[名师微点]

1．正确选用求定积分的4个常用方法

方法

适用类型

方法解读

定理法

较简单函数

利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数

性质法

绝对值函数、分段函数

利用定积分的性质将积分区间分解为若干部分求解

几何法

函数较复杂且有明显的几何意义

用定积分的几何意义来求，即通过图形中面积的计算来求定积分值的大小

奇偶

性法

函数具有奇偶性

若函数f（x）为偶函数，且在区间[－a，a]上连续，则f（x）dx＝2f（x）dx；若f（x）为奇函数，且在区间[－a，a]上连续，则f（x）dx＝0

2．利用定积分求平面图形面积的4个步骤

3．定积分在物理中的2个应用

（1）求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v（t）dt.

（2）变力做功，一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同的方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝F（x）dx.

跟踪训练

一、题点全面练

1．曲线y＝ex－lnx在点（1，e）处的切线方程为（　　）

A．（1－e）x－y＋1＝0　　B．（1－e）x－y－1＝0

C．（e－1）x－y＋1＝0D．（e－1）x－y－1＝0

解析：

选C　由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点（1，e）处的切线方程为y－e＝（e－1）（x－1），即（e－1）x－y＋1＝0.

2．曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为（　　）

A．（1,3）B．（－1,3）

C．（1,3）和（－1,3）D．（1，－3）

解析：

选C　f′（x）＝3x2－1，令f′（x）＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P（1,3）或（－1,3），经检验，点（1,3），（－1,3）均不在直线y＝2x－1上，故选C.

3．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2＋3xf′

（2）＋lnx，则f′

（2）的值等于（　　）

A．－2B．2

C．－D.

解析：

选C　因为f（x）＝x2＋3xf′

（2）＋lnx，所以f′（x）＝2x＋3f′

（2）＋，所以f′

（2）＝2×2＋3f′

（2）＋，解得f′

（2）＝－.

4.（2019·四川名校联考）已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（　　）

A．0

（2）

（2）

B．0

（2）

（2）

C．0

（2）

（2）

D．0

（2）

（2）

解析：

选C　设f′（3），f（3）－f

（2），f′

（2）分别表示直线n，m，l的斜率，数形结合知0

（2）

（2），故选C.

5.（2019·玉林模拟）由曲线y＝x2和曲线y＝围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　由解得或所以阴影部分的面积为（－x2）dx＝＝.

6．（2018·安庆模拟）设曲线y＝eax－ln（x＋1）在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

选D　∵y＝eax－ln（x＋1），∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝eax－ln（x＋1）在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.

7．（2018·延边期中）设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为（　　）

A.∪B.

C.∪D.

解析：

选C　因为y′＝3x2－≥－，故切线的斜率k≥－，所以切线的倾斜角α的取值范围为∪.

8．若曲线f（x）＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0相互垂直，则实数a＝________.

解析：

因为f′（x）＝sinx＋xcosx，所以f′＝sin＋cos＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以1×＝－1，解得a＝2.

答案：

2

9．（2019·重庆质检）若曲线y＝ln（x＋a）的一条切线为y＝ex＋b，其中a，b为正实数，则a＋的取值范围为________．

解析：

由y＝ln（x＋a），得y′＝.设切点为（x0，y0），则有⇒b＝ae－2.∵b>0，∴a>，

∴a＋＝a＋≥2，当且仅当a＝1时等号成立．

答案：

[2，＋∞）

10．（2018·烟台期中）设函数F（x）＝lnx＋（0

解析：

由F（x）＝lnx＋（0

答案：

二、专项培优练

（一）易错专练——不丢怨枉分

1．若f（x）＝x2＋2f（x）dx，则f（x）dx＝（　　）

A．－1B．－

C.D．1

解析：

选B　∵f（x）＝x2＋2f（x）dx，∴f（x）dx＝＝＋2f（x）dx，∴f（x）dx＝－.

2．设f（x）＝则f（x）dx的值为（　　）

A.＋B.＋3

C.＋D.＋3

解析：

选A　f（x）dx＝dx＋（x2－1）dx＝π×12＋＝＋.

3．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x－a1）·（x－a2）·…·（x－a8），则f′（0）＝（　　）

A．26B．29

C．212D．215

解析：

选C　因为f′（x）＝x′·[（x－a1）（x－a2）·…·（x－a8）]＋[（x－a1）（x－a2）·…·（x－a8）]′·x＝（x－a1）（x－a2）·…·（x－a8）＋[（x－a1）（x－a2）·…·（x－a8）]′·x，所以f′（0）＝（0－a1）（0－a2）·…·（0－a8）＋0＝a1a2·…·a8.

因为数列{an}为等比数列，

所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，

所以f′（0）＝84＝212.

4．若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于（　　）

A．－1或－B．－1或

C．－或－D．－或7

解析：

选A　因为y＝x3，所以y′＝3x2，

设过点（1,0）的直线与y＝x3相切于点（x0，x），

则在该点处的切线斜率为k＝3x，

所以切线方程为y－x＝3x（x－x0），即y＝3xx－2x.

又点（1,0）在切线上，所以x0＝0或x0＝.

当x0＝0时，切线方程为y＝0.由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；

当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.

综上，a的值为－1或－.

（二）素养专练——学会更学通

5．[逻辑推理]已知f1（x）＝sinx＋cosx，fn＋1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，fn＋1（x）＝fn′（x），n∈N*，则f2019（x）＝（　　）

A．－sinx－cosxB．sinx－cosx

C．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx

解析：

选A　∵f1（x）＝sinx＋cosx，∴f2（x）＝f1′（x）＝cosx－sinx，f3（x）＝f2′（x）＝－sinx－cosx，f4（x）＝f3′（x）＝－cosx＋sinx，f5（x）＝f4′（x）＝sinx＋co