此时,PD=AD-AP=6-t,EQ=CQ-CE=2t-8,由6-t=2t-8得t=
.
∴当运动时间为2或
时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.
第2课时平行四边形的判定定理3
要点感知1对角线__________的四边形是平行四边形.
预习练习1-1在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若要证明ABCD是平行四边形,则要证明OA=__________,OB=__________.
要点感知2两组对角__________的四边形是平行四边形.
预习练习2-1在四边形ABCD中,已知∠A=20°,∠B=160°,∠C=20°,则四边形ABCD是__________四边形.
知识点1对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,且OA=OC,OB=OD,则下列结论不一定成立的是()
A.AB∥CDB.BC∥ADC.AB=ADD.BC=AD
2.将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD为平行四边形,理由是____________________.
3.四边形ABCD中,AC,BD交于点O,且OA=OC,OB=OD,∠ABC=80°,则∠ADC=__________.
4.如图,□ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F在AC上,点G,H在BD上,AF=CE,BH=DG.
求证:
GF∥HE.
知识点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.下列条件中,能说明四边形ABCD是平行四边形的是()
A.∠A=30°,∠B=150°,∠C=30°,∠D=150°
B.∠A=60°,∠B=60°,∠C=120°,∠D=120°
C.∠A=60°,∠B=90°,∠C=60°,∠D=150°
D.∠A=60°,∠B=70°,∠C=110°,∠D=120°
6.下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是()
A.两组对边分别相等B.一组对边平行且相等
C.对角线相等D.两组对角分别相等
7.在下列条件中,不能确定四边形ABCD为平行四边形的是()
A.∠A=∠C,∠B=∠D
B.∠A=∠B=∠C=90°
C.∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°
D.∠A=∠B,∠C=∠D
8.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠A=∠C,添加下列一个条件后,能判定四边形ABCD是平行四边形的是()
A.∠A=∠BB.∠C=∠DC.∠B=∠DD.AB=CD
9.下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是()
A.1∶2∶2∶1B.2∶2∶1∶1C.1∶2∶1∶2D.1∶1∶2∶2
10.在四边形ABCD中,已知∠A=75°,∠B=105°,∠C=75°,则四边形ABCD是__________四边形.
11.在四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠B+2∠C=225°,∠B-∠C=90°,求证:
四边形ABCD是平行四边形.
12.下列说法正确的是()
A.对角线相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
13.在四边形ABCD中,AD∥BC,若要使四边形ABCD是平行四边形,则应添加条件()
A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180°
14.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是()
A.AB∥CD,AD∥BCB.OA=OC,OB=OD
C.AD=BC,AB∥CDD.AB=CD,AD=BC
15.在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是平行四边形应符合下列条件中的()
A.AB∥CD,BC=ADB.AB=CD,OA=OC
C.AB∥CD,OA=OCD.AB=CD,AC=BD
16.在四边形ABCD中,已知∠A=∠C=60°,则当∠B的度数为__________时,四边形ABCD是平行四边形.
17.如图,直线c,d与直线a,b相交于点A,B,C,D,∠1=∠3,∠2=∠4,求证:
AB=CD.
18.已知:
如图,在□ABCD中,点E、F在AC上,且AE=CF.求证:
四边形BEDF是平行四边形.
19.如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,点F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE.
(1)求证:
△BDE≌△CDF.
(2)请连接BF,CE,试证明四边形BECF是平行四边形.
20.如图,已知点O是□ABCD对角线AC的中点,过点O的直线EF分别交AB,CD于E,F两点.
(1)求证:
四边形AECF是平行四边形;
(2)不添加辅助线,请写出图中所有全等的三角形(不需要证明).
参考答案
要点感知1互相平分
预习练习1-1OCOD
要点感知2分别相等
预习练习2-1平行
1.C2.对角线互相平分的四边形是平行四边形3.80°
4.证明:
在□ABCD中,OA=OC,
又∵AF=CE,
∴OA-AF=OC-CE,即OF=OE.
同理OG=OH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
∴GF∥HE.
5.A6.C7.D8.C9.C10.平行
11.证明:
∵∠B+2∠C=225°,∠B-∠C=90°,
∴∠B=135°,∠C=45°.
∴∠D=360°-∠A-∠B-∠C=360°-45°-135°-45°=135°.
∴∠A=∠C,∠B=∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
12.B13.D14.C15.C16.120°
17.证明:
如图,
∵∠1=∠5,∠3=∠7,∠1=∠3,
∴∠5=∠7.
同理:
∠6=∠8.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD.
18.证明:
连接BD,与AC相交于点O,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC.
∵AE=CF,
∴OE=OF.
又OB=OD,
∴四边形BEDF是平行四边形.
19.证明:
(1)∵CF∥BE,
∴∠EBD=∠FCD.
又∵BD=CD,∠BDE=∠CDF,
∴△BDE≌△CDF(ASA).
(2)证法1:
由△BDE≌△CDF,得ED=FD.
又∵BD=CD,
∴四边形BECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
证法2:
由△BDE≌△CDF,得BE=CF,
又BE∥CF,
∴四边形BECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
20.
(1)证明:
∵在□ABCD中,AB∥CD,
∴∠EAO=∠FCO.
又OA=OC,∠EOA=∠FOC,
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴OE=OF,
又OA=OC.
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)△AOE≌△COF,△AOF≌△COE,△AFC≌△CEA,△AFE≌△CEF,△ADC≌△CBA,△ADF≌△CBE.