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现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米．已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为，，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为，.求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率．
解 由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为，，
则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率
P1＝×＋×＋×＝，
所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P＝1－P1＝1－＝.
思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法
（1）首先判断几个事件的发生是否相互独立．
（2）求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 D
解析 设Ai（i＝1,2）表示继续比赛时，甲在第i局获胜；B事件表示甲队获得冠军，则B＝A1＋A2，
∴P（B）＝P（A1）＋P（A2）＝＋×＝.
题型二 独立重复试验
例2 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．
解 设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，则P（A）＝××＝，
P（B）＝C2××＝，
P（C）＝C2×2×＝.
思维升华 在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.648B．0.432
C．0.36D．0.312
答案 A
解析 所求概率为C×0.62×0.4＋0.63＝0.648.
题型三 二项分布的均值、方差
例3 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
（2）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E（ξ）．
解
（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么
1－P（）＝1－·p＝，解得p＝.
（2）由题意，得随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3，
则P（ξ＝0）＝3＝，
P（ξ＝1）＝C×2＝，
P（ξ＝2）＝C×2×＝，
P（ξ＝3）＝3＝.
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
故随机变量ξ的均值
E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
（或∵ξ～B（3，），∴E（ξ）＝3×＝.）
思维升华 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率，列出分布列．
某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为（ ）
A．100B．200C．300D．400
答案 B
解析 记不发芽的种子数为Y，则Y～B（1000,0.1），
∴E（Y）＝1000×0.1＝100.又X＝2Y，
∴E（X）＝E（2Y）＝2E（Y）＝200.
16．独立事件与互斥事件
典例
（1）中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
（2）某射手每次射击击中目标的概率都是，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．
错解展示
解析
（1）设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则P（A）＝，P（B）＝，由A、B是相互独立事件，得所求概率为P（A）＋P（B）＋P（AB）＝×＋×＋×＝＝.
（2）所求概率P＝C×（）3×（）2＝.
答案
（1）
（2）
现场纠错
解析
（1）设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则P（A）＝，P（B）＝.
∵A、B是互斥事件，
∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.
（2）设“第i次射击击中目标”为事件Ai（i＝1,2,3,4,5），“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则
P（A）＝P（A1A2A345）＋P（1A2A3A45）
＋P（12A3A4A5）
＝3×2＋×3×＋2×3＝.
答案
（1）
（2）
纠错心得
（1）搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”．
（2）区分独立事件与n次独立重复试验.
1．（2016·宁波模拟）一射手对同一目标进行4次射击，且射击结果之间互不影响．已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 设此射手未命中目标的概率为p，则1－p4＝，
所以p＝，故1－p＝.
2．已知A，B是两个相互独立事件，P（A），P（B）分别表示它们发生的概率，则1－P（A）P（B）是下列哪个事件的概率（ ）
A．事件A，B同时发生
B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生
D．事件A，B都不发生
答案 C
解析 P（A）P（B）是指A，B同时发生的概率，1－P（A）·P（B）是A，B不同时发生的概率，即事件A，B至多有一个发生的概率．
3．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 A
解析 设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生．又P（）＝P（）P（）P（）＝[1－P（A）]·[1－P（B）]·[1－P（C）]＝××＝.
故目标被击中的概率P＝1－P（）＝.
4．（2016·长春模拟）一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P（X＝12）等于（ ）
A．C（）10（）2B．C（）9（）2
C．C（）9（）2D．C（）10（）2
答案 D
解析 “X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，
因此P（X＝12）＝C（）9（）2＝C（）10（）2.
5．（2017·南昌质检）设随机变量X服从二项分布X～B（5，），则函数f（x）＝x2＋4x＋X存在零点的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 ∵函数f（x）＝x2＋4x＋X存在零点，
∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.∵X服从X～B（5，），
∴P（X≤4）＝1－P（X＝5）＝1－＝.
6．已知随机变量X服从二项分布，且E（X）＝2.4，D（X）＝1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为（ ）
A．4,0.6B．6,0.4
C．8,0.3D．24,0.1
答案 B
解析 由二项分布X～B（n，p）及E（X）＝np，D（X）＝np·（1－p）得2.4＝np，且1.44＝np（1－p），解得n＝6，p＝0.4.故选B.
7．如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．
答案
解析 灯泡甲亮满足的条件是a，c两个开关都开，b开关必须断开，否则短路．设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则甲灯亮应为事件AC，且A，B，C之间彼此独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，由独立事件概率公式知P（AC）＝P（A）P（）P（C）＝××＝.
8．设随机变量X～B（2，p），随机变量Y～B（3，p），若P（X≥1）
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