人教A版高中数学必修5第三章 不等式33 二元一次不等式组与简单的线性规划问题教案3.docx
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人教A版高中数学必修5第三章不等式33二元一次不等式组与简单的线性规划问题教案3
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
一、教学内容分析
本小节是普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）第三章第3小节,主要内容是利用平面区域体现二元一次不等式（组）的解集；借助图解法解决在线性约束条件下的二元线性目标函数的最值与最优解问题；运用线性规划知识解决一些简单的实际问题（如资源利用,人力调配,生产安排等）。
突出体现了优化思想，与数形结合的思想。
本小节是利用数学知识解决实际问题的典例,它体现了数学源于生活而用于生活的特性。
二、学生学习情况分析
本小节内容建立在学生学习了一元不等式（组）及其应用、直线与方程的基础之上，学生对于将实际问题转化为数学问题,数形结合思想有所了解.但从数学知识上看学生对于涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系的知识接触尚少，从数学方法上看，学生对于图解法还缺少认识，对数形结合的思想方法的掌握还需时日，而这些都将成为学生学习中的难点。
三、设计思想
以问题为载体，以学生为主体，以探究归纳为主要手段，以问题解决为目的，以多媒体为重要工具，激发学生的动手、观察、思考、猜想探究的兴趣。
注重引导学生充分体验“从实际问题到数学问题”的数学建模过程，体会“从具体到一般”的抽象思维过程，从“特殊到一般”的探究新知的过程;提高学生应用“数形结合”的思想方法解题的能力;培养学生的分析问题、解决问题的能力。
四、教学目标
1、知识与技能:
了解二元一次不等式（组）的概念,掌握用平面区域刻画二元一次
不等式（组）的方法;了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、
可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法
求线性目标函数的最值与相应最优解；
2、过程与方法:
从实际问题中抽象出简单的线性规划问题,提高学生的数学建模能力;
在探究的过程中让学生体验到数学活动中充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、
化归能力、探索能力、合情推理能力；
3、情态与价值:
在应用图解法解题的过程中,培养学生的化归能力与运用数形结合思想的能力;体会线性规划的基本思想，培养学生的数学应用意识;体验数学来源于生活而服务于生活的特性.
五、教学重点和难点
重点:
从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）,用平面区域刻画二元一次不等式组
的解集及用图解法解简单的二元线性规划问题;
难点:
二元一次不等式所表示的平面区域的探究,从实际情境中抽象出数学问题的过
程探究,简单的二元线性规划问题的图解法的探究.
六、教学基本流程
第一课时,利用生动的情景激起学生求知的欲望,从中抽象出数学问题,引出二元一
次不等式（组）的基本概念,并为线性规划问题的引出埋下伏笔.通过学生的自主探究,分
类讨论,大胆猜想,细心求证,得出二元一次不等式所表示的平面区域,从而突破本小节的
第一个难点;通过例1、例2的讨论与求解引导学生归纳出画二元一次不等式（组）所
表示的平面区域的具体解答步骤（直线定界,特殊点定域）;最后通过练习加以巩固。
第二课时,重现引例,在学生的回顾、探讨中解决引例中的可用方案问题,并由此归纳总结出从实际问题中抽象出数学问题的基本过程:
理清数据关系（列表）→设立决策变量→建立数学关系式→画出平面区域.让学生对例3、例4进行分析与讨论进一步完善这一过程,突破本小节的第二个难点。
第三课时,设计情景,借助前两个课时所学,设立决策变量,画出平面区域并引出新的问题,从中引出线性规划的相关概念,并让学生思考探究,利用特殊值进行猜测,找到最优方案;再引导学生对目标函数进行变形转化,利用直线的图象对上述问题进行几何探究,把最值问题转化为截距问题,通过几何方法对引例做出完美的解答;回顾整个探究过程,让学生在讨论中达成共识,总结出简单线性规划问题的图解法的基本步骤.通过例5的展示让学生从动态的角度感受图解法.最后再现情景1,并对之作出完美的解答。
第四课时,给出新的引例,让学生体会到线性规划问题的普遍性.让学生讨论分析,对引例给出解答,并综合前三个课时的教学内容,连缀成线,总结出简单线性规划的应用性问题的一般解答步骤,通过例6,例7的分析与展示进一步完善这一过程.总结线性规划的应用性问题的几种类型,让学生更深入的体会到优化理论,更好的认识到数学来源于生活而运用于生活的特点。
七、教学过程设计
第一课时:
二元一次不等式组与平面区域
（1）
（一）引入:
（1）情景1
王老汉的疑惑:
秋收过后,村中拥入了不少生意人,收购大豆与红薯,精明的王老汉上了心,一打听,顿时喜上眉梢.村中大豆的收购价是5元/千克,红薯的收购价是
2元/千克,而送到县城每千克大豆可获利1.2元,每千克红薯可获利0.6元,王老汉决定明天就带上家中仅有的1000元现金,踏着可载重350千克的三轮车开始自己的发财大计,可明天应该收购多少大豆与红薯呢?
王老汉决定与家人合计.回家一讨论,问题来了.孙女说:
“收购大豆每千克获利多故应收购大豆”,孙子说:
“收购红薯每元成本获利多故应收购红薯”,王老汉一听,好像都对,可谁说得更有理呢?
精明的王老汉心中更糊涂了。
【问题情景使学生感受到数学是来自现实生活的，让学生体会从实际问题中抽象出数学问题的过程;通过情景我们不仅能从中引出本堂课的内容“二元一次不等式（组）的概念,及其所表示的平面区域”,也为后面的内容“简单的线性规划问题”埋下了伏笔.】
（2）问题与探究
师:
同学们,你们能用具体的数字体现出王老汉的两个孙子的收购方案吗?
生,讨论并很快给出答案.（师,记录数据）
师:
请你们各自为王老汉设计一种收购方案.
生,独立思考,并写出自己的方案.（师,查看学生各人的设计方案并有针对性的请几个同学说出自己的方案并记录,注意:
要特意选出2个不合理的方案）
师:
这些同学的方案都是对的吗?
生,讨论并找出其中不合理的方案.
师:
为什么这些方案就不行呢?
生,讨论后并回答
师:
满足什么条件的方案才是合理的呢?
生,讨论思考.（师,引导学生设出未知量,列出起约束作用的不等式组）
师,让几个学生上黑板列出不等式组,并对之分析指正
（教师用多媒体展示所列不等式组,并介绍二元一次不等式,二元一次不等式组的概念.）
师:
同学们还记得什么是方程的解吗?
你能说出二元一次方程
的一组解吗?
生,讨论并回答（教师记录几组,并引导学生表示成有序实数对形式.）
师:
同学们能说出什么是不等式（组）的解吗?
你能说出二元一次不等式
的一组解吗?
生,讨论并回答（教师对于学生的回答指正并有选择性的记录几组比较简单的数据,对于这些数据要事先设计好并在课件的坐标系中标出备用）
（教师对引例中给出的不等式组介绍,并指出上面的正确的设计方案都是不等式组的解.进而介绍二元一次不等式（组）解与解集的概念）
师:
我们知道每一组有序实数对都对应于平面直角坐标系上的一个点,你能把上面记录的不等式
的解在平面直角坐标系上标记出来吗?
生,讨论并在下面作图（师巡视检查并对个别同学的错误进行指正）
师,利用多媒体课件展示平面直角坐标系及不等式
的解所对应的一些点,让学生观察并思考讨论:
不等式
的解在平面直角坐标系中的位置有什么特点?
（由于点太少,我们的学生可能得不出结论）
师,引导学生在同一平面直角坐标系中画出方程
的解所对应的图形（一条直线,指导学生用与坐标轴的两个交点作出直线）,再提出问题:
二元一次不等式
的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置有什么特点?
生,提出猜想:
直线
分得的左下半平面.
【教师通过几个简单的问题,让学生产生了利用平面区域表示二元一次不等式的想法,而后再让学生大胆的猜想,细心的论证,让他们从中让体会到对新知识进行科学探索的全过程.】
师:
这个结论正确吗?
你能说出理由来吗?
生,分组讨论,并利用自己的数学知识去探究.（由于没有给出一个固定的方向,所以各人用的方法不一,有的可能用特殊点再去检验,有的可能会试着用坐标轴的正方向去说明,也有的可能会用直线
下方的点与对应直线上的点对照比较的方法进行说明）
师,在巡视的基础上请运用不同方法的同学阐述自己的理由,并对于正确的作法给予表扬,然后用多媒体展示出利用与直线
横坐标相同而纵坐标不同的点对应分析的方法进行证明.
师:
直线
的右上半平面应怎么表示?
生:
表示为
（很快回答）
师:
从中你能得出什么结论?
生,讨论并得到一般性结论（教师总结纠正）
（教师总结并用多媒体展示,二元一次不等式
表示直线
的某侧所有点组成的平面区域,因不包含边界故直线画成虚线;二元一次不等式
表示的平面区域因包含边界故直线画成实线.）
师:
点O（0,0）是不等式
一个解吗?
据此你能说出不等式
对应的平面区域相对与直线
的位置吗?
生,作图分析，讨论并回答（师,对学生的回答进行分析）
师:
结合上面问题请同学们归纳出作不等式
对应的平面区域的过程.
生,讨论并回答（师,对于学生的答案给以分析,并肯定其中正确的结论）
师:
你们能说出作二元一次不等式
对应的平面区域的过程吗?
生,讨论并回答（教师总结并用多媒体展示:
直线定界,特殊点定域）
师:
若点P（3,-1）,点Q（2,4）在直线
的异侧,你能用数学语言表示吗?
生,讨论,思考（教师巡视，并观察学生的解答过程，最后引导学生得出：
一个是不等式
的解,一个是不等式
的解）
师:
你能在这个条件下求出
的范围吗?
生.讨论分析，最后得到不等式
并求解.
师:
若把上面问题改为点在同侧呢?
请同学们课后完成.
【在教师的帮助下学生通过自己的分析得出了正确的结论,让他们从中体会到了获取新知后的成就感,从而增加了对数学的学习兴趣.同时也让他们体会人们在认识新生事物时从特殊到一般,再从一般到特殊的认知过程.】
（二）实例展示:
例1、画出不等式
表示的平面区域.
例2、用平面区域表示不等式组
的解集.
【通过利用多媒体对实例的展示让学生体会到画出不等式表示的平面区域的基本流程:
直线定界,特殊点定域,而不等式（组）表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分.同时对具体作图中的细节问题进行点拔.】
（三）练习:
学生练习Ｐ86第1-3题.
【及时巩固所学,进一步体会画出不等式（组）表示的平面区域的基本流程】
（四）课后延伸:
师:
我们在今天主要解决了在给出不等式（组）的情况下如何用平面区域来表示出来的问题.如果反过来给出了平面区域你能写出相关的不等式（组）吗?
例如你能写出A（2,4）,B（2,0）,C（1,2）三点构成的三角形内部区域对应的不等式组吗?
你能写出不等式形如
这种不等式表示的平面区域?
（五）小结与作业:
二元一次不等式
表示直线
某侧所有点组成的平面区域,画出不等式（组）表示的平面区域的基本流程:
直线定界,特殊点定域（一般找原点）
作业：
第93页A组习题1、2，
补充作业:
若线段PQ的两个端点坐标为P（3,-1）,Q（2,4）,且直线
与线段PQ相交,求
的取值范围
第二课时:
二元一次不等式组与平面区域
（2）
（一）引入
王老汉的疑惑:
秋收过后,村中拥入了不少生意人,收购大豆与红薯,精明的王老汉上了心,一打听,顿时喜上眉梢.村中大豆的收购价是5元/千克,红薯的收购价是2元/千克,而送到县城每千克大豆可获利1.2元,每千克红薯可获利0.6元,王老汉决定明天就带上家中仅有的1000元现金,踏着可载重350千克的三轮车开始自己的发财大计,可明天应该收购多少大豆与红薯呢?
王老汉决定与家人合计.回家一讨论,问题来了.孙女说:
“收购大豆每千克获利多故应收购大豆”,孙子说:
“收购红薯每元成本获利多故应收购红薯”,王老汉一听,好像都对,可谁说得更有理呢?
精明的王老汉心中更糊涂了.
师:
同学们,我们在昨天已经替王老汉的收购方案做出了一定的规划与设计,用二元一次不等式组进行了约束.你能再现昨天的不等式组并用平面区域表示出来吗?
生,独立的思考并开始练习.（教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，强调这是同一事物的两种表达形式数与形）
师,利用多媒体展示解答过程与图形,引导学生分析如何把实际问题转化为数学问题,并回顾作二元一次不等式（组）所表示的平面区域的过程.
【再现引例,通过它让学生体会到数学问题源于生活而用于生活,同时引导学生得出建立线性规划模型的基本过程：
理清数据关系→设立决策变量→建立数学关系式→画平面区域，】
（二）实例展示
例3、要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢材的块数如下表所示
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15,18,27块,请用数学关系式和图形表示上述要求.
请学生读题，引导阅读理解后，明白列表也是表示数量关系的一种方法,是文字语言向符号语言转化中的一种过度形式,让学生设出决策变量,写出线性数学关系式,画出相应的平面区域.教师在巡视中并发现代表性的练习进行展示.教师用多媒体展示,让学生与引例对比,分析其中的区别.这里要关注平面区域本题是开放型的，而引例是封闭型的;本题的变量是整数而引例中是实数.
【问题情景使学生体会到在具体问题向数学问题转化中的隐含条件，让学生了解建立线性规划模型的基本过程:
列表→设立决策变量→建立数学关系式→画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程】
例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。
现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。
列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
【一是使学生认识到现实生活中存在许多简单的二元线性规划问题，二是让学生经历完整的分析研究问题、制定解决问题的策略的过程，让学生全面参与课堂教学，完善知识结构体系】
（三）练习巩固
练习1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪。
为了满足营养专家指出的日常饮食要求，我们在饮食中应怎么安排食物A和食物B的量？
练习2、第86页第4小题
【及时巩固所学，让学生体会实际问题转化为数学问题的过程】
（四）课后延伸
师:
我们在今天主要解决了把实际问题中的约束条件转化为不等式组再利用平面区域来表示的问题.在这中间有的实际问题中可能隐含着变量是整数这样的条件,如我们的例3,练习2等.你能用列举法把这中间的符合条件的情况一一表示出来吗?
（五）小结与作业
小结:
建立线性规划模型的基本过程:
列表→设立决策变量→建立数学关系式→画平面区域
作业：
第93习题A组3—4，（只要求列出约束条件,画出平面区域）;B组2
第三课时:
简单的线性规划问题
（一）引入
（1）情景2
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
请学生读题，引导阅读理解后，列表→建立数学关系式→画平面区域，学生就近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形式数与形.
【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：
列表→建立数学关系式→画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】
教师利用多媒体课件展示，作出平面区域,并有意在区域内标出整点.
（2）问题
师：
进一步提出问题，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
生，设出变量,列出函数关系式
.
师：
这是关于变量
的一次解析式，从函数的观点看
的变化引起z的变化，而
是区域内的动点的坐标，对于每一组
的值都有唯一的z值与之对应，即区域内的每一点P（
）都对应一个z值，下面请同学们选择区域内的几个点并算出相关的z值.看看你有什么发现？
学生会选择比较好算的点，比如整点、边界点等.
【学生思维的最近发现区是上节的相关知识，因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是教学是一个过程，从中让学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性】
生，选点计算（师巡视并观察学生的计算过程，抽取几个学生回答）
生，计算并回答,（师记录各种结果）
师:
通过上面的计算你们能找到在上述条件下的函数
的最大值吗?
这时对应的
分别是多少?
生，通过计算得出结论,当
时z有最大值14,
师,把学生的结论表示成坐标形式,并总结即取点M（４，２）时对应的函数
有最大值.
师:
你能说明为什么在M处有最大值吗?
生，分小组讨论,（师四处巡视,并注意收集同学们的分析方法）
师，选择利用不同方法分析的学生作出回答，并加以总结
（若没有学生想到把
=
看成一条直线，教师就要进行提醒）最后探究出“
=
最值问题可转化为经过可行域的直线
在y轴上的截距的最值问题”来解决，实现图解的目的.
师,介绍线性规划、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念.并利用情景2中的相关量,用多媒体一一指明.
师：
在上述问题中，若生产一件甲产品获利３万元，生产一件乙产品获利２万元，
又应当如何安排生产才能获得最大的利润?
（让学生通过反复的实验得出一个完整的结论）
生,总结:
“目标函数
的最大值问题可转化直线
与平面区域有公共点时，直线在y轴上的截距有最大值的问题,而这时公共点M的坐标就是对应的最优解.”
教师用多媒体展示,通过直线
的平行移动,让学生直观的感受到当直线
过点M（４，２）时,直线的纵截距最大,即对应的目标函数
有最大值.
【从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、发展的过程，获得问题的解决，这有助于培养学生的科学素养】
（二）探究
师:
在上面我们探究出最值问题可转化为经过可行域的直线y轴上的截距的最值问题”来解决,请看下面的问题
若变量
满足约束条件
则
在什么时候有最大值,是多少?
生,画出可行域,作图分析、计算
师,巡视并对学生的解答给以指点并注意到以下几点
（1）目标函数变形后的直线的斜率，
（2）最优解是方程组的解
师,让两个学生板书自己的答案（注意选择两个答案一正一误的同学）,并引导学生对结果讨论.
生,讨论分析发现:
目标函数变形所得直线的纵截距与z的最值之间的关系受到变形后的一次函数中z的系数的符号的影响,系数为正时是截距越大，
值越大,系数为负时是截距越大，
值越小.
【在数学的探究过程中,当条件发生变化时,我们开始得到的结论很可能就会不成立了,这时我们就要更深入的探究问题的本质,得出更一般的结论.通过本课时知识的探究,让学生更好的理解数学探究活动的由浅入深,由表象到本质的过程】
教师用多媒体展示图形,让再次体会图解法,体会数形结合的思想.
（三）实例展示
例5、若变量
满足约束条件
则
在什么时候有最大值,是多少?
【这里要关注平面区域本题是开放型的，而引例是封闭型的.同时注意到,目标函数的最值问题可转化直线
与平面区域有公共点时，在区域内找一个点M，使直线经过点M时在y轴上的截距最小,注意用方程组的解去找点M】
（四）练习小结
（引例1）王老汉的疑惑:
秋收过后,村中拥入了不少生意人,收购大豆与红薯,精明的王老汉上了心,一打听,顿时喜上眉梢.村中大豆的收购价是5元/千克,红薯的收购价是2元/千克,而送到县城每千克大豆可获利1.2元,每千克红薯可获利0.6元,王老汉决定明天就带上家中仅有的1000元现金,踏着可载重350千克的三轮车开始自己的发财大计,可明天应该收购多少大豆与红薯呢?
王老汉决定与家人合计.回家一讨论,问题来了.孙女说:
“收购大豆每千克获利多故应收购大豆”,孙子说:
“收购红薯每元成本获利多故应收购红薯”,王老汉一听,好像都对,可谁说得更有理呢?
精明的王老汉心中更糊涂了.你能告诉王老汉怎么收购才能获利最多吗?
【再现引例,并做出最终解答,让整个教学过程更完善】
练习2、Ｐ91第1题
（1）.
[及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况，练习目的：
会用数形结合思想，将求
的最大值转化为直线
与平面区域有公共点时，在区域内找一个点Ｍ，使直线经过点Ｍ时在y轴上的截距最小的问题，为节省时间，教师可预先画好平面区域，让学生把精力集中到求最优解的解决方案上]
（五）课后延伸
师：
在上述线性规划问题中，线性约束条件及线性目标函数是确定的.若在问题中线性约束条件及线性目标函数有一个含有参量又如何处理?
若遇到简单的非线性型的目标函数又怎么处理?
（1）在例5中若已知目标函数
有最大值8,则
的值是多少?
若目标函数
在取最大值时有无数个最优解,则
的值是多少?
（2）若目标函数是简单的非线性型的,形如
这时怎么利用几何法去分析目标函数的最值与相关最优解?
（六）小结与作业
作业：
第91页练习1
（1）中把目标函数变为
.
第四课时:
简单的线性规划问题的应用
（一）引入
（1）情景
营养学家指出，成人良好的日常饮食至少应该提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg的脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07kg的脂肪，花费21元.为了满足营养学家的指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg?
【学生在第二课时已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：
列表→建立数学关系式→画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】
教师利用多媒体课件展示，作出平面区域.
（2）问题
师：
进一步提出问题，我们的目标是设计一个合理的方案,在营养学家的指出的日常饮食要求，同时使花费最低,这里就需要我们表示出费用,怎么表示?
生:
我们记费用为
元,就得到了一个
与
的等式关系,这就是我们的目标函数
师,让学生通过图解法求出最优解与相应的最值,（教师在学生解答过程中巡视,观察发现学生在解答中存在的问题）
教师用多媒体展示图解法的过程
（二）实例展示
例6、要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15,18,27块,若要求所有钢板总数最小则需要第一种钢板与第二种钢板各多少块?
例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸
4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。
库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，若每车皮甲种肥料的售价为1万元,若每车皮乙种肥料的售价为0.5万元,则如何生产才有利润最大?
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