彩票的数学模型.docx

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彩票的数学模型

彩票的数学模型

参赛队员：

黄政权符华龚智华

指导教师：

数模组

一、摘要

本道题目给出了现在常见的包含有"传统型"和"乐透型"两种对奖形式的29种销售规则及相应的奖金设置方案。

我们通过排列组合的方法求出了各种奖项出现的可能性，进而得出了各个奖项的单注中奖金额。

并由各种奖项出现的可能性和各个奖项的单注中奖金额为参数建立一个吸引力函数。

通过吸引力函数分别计算出29种方案中每种方案的吸引力，用这些数据建立表格并排序,找出吸引力和方案的联系，同时还评价了各方案的合理性.结合吸引力和合理性建立一个综合评价模型，由模型我们提出了一种比现在流行的方案"更好"的方案，还附上了方案相应的算法，由此对彩票管理部门提出了几点中肯的建议。

在对彩票管理部门提建议的同时，我们还把分析过程中遇到的对彩民有帮助意义的部分发布出来。

二、问题重述

目前流行的彩票主要有“传统型”，“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案：

先从6组0—9号球中摇出6个基本号码（号码可重复），每组摇出一个，然后从0-4中选出一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码在按照号码顺序相同情况下相符的个数多少来确定中奖等级。

“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：

先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。

投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。

又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。

从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。

以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注只发放其所中的最高级别的奖，不可以兼得。

一般低等奖项的奖金金额是固定的，高项奖的奖金分配按比例分配，其公式为：

[（当期销售总额*总奖金比例）-低项奖金总额]*单项奖比例

现在有一些实际方案，我们需从各种奖金的可能性，奖项和奖金金额的设置以及对彩民的吸引力等多方面来评价这些方案的合理性。

并根据所得结果，设计出一种更好的方案以及算法。

三、符号说明

P（i）i等奖的z中奖概率

H高项奖奖金总额

n总注数

L低项奖奖金总额

S（i）低项奖奖金数额设定

J（i）高项奖平均单项获奖金额

h吸引力

Q合理性

F综合评价度

四、模型假设

（1）彩民在投注时，每注选号时都是独立的，除彩票规则外，不受其他任何因素影响。

（2）在规则范围内，每次开奖号码均为随机号码。

（3）投注号码均服从均匀分布。

五、题目分析

本道题目要用数学的方法对现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案进行分析,在分析过程中可以认为投注者投每注和选择每个号码的时候都是独立的,除了彩票规则外,不受其他影响,这时候所投的注符合均匀随机分布.而题目只是给出常见的销售规则及相应的奖金设置方案,这也提示我们该从彩票管理者的角度,用概率的方法去分析,而不用过多的加入实际情况中出现的偶然情况。

对彩票管理者而言,发行彩票就是想获得更多的资金,所以最重要的是评价彩票对彩民的吸引力,建立吸引力函数来评价.同时题目要求评价各方案的合理性.结合吸引力和合理性推出一种"更好"的方案并完成相应的算法。

最后还要完成一篇供彩民参考的短文.

六、模型的建立与求解

首先，我们假设投注的情况均匀。

在此前提下计算出各个方案的各个奖项的概率P（i）和高项奖的平均单注获奖金额J（i），计算公式为：

P（i）=满足中奖条件的投注选法的个数/投注选法总数

H=2*n×50%—L

L=S4×P4×n+S5×P5×n+S6×P6×n+S7×P7×n

J（i）=H×B（i）÷（P（i）×n）,（其中　i＝　１、２　、３）

各奖项的概率计算方法如下：

（1）传统型10选6+1

投注选法总数：

6个基本号码中，每个号码都有10种可能，特别号码有5种可能，所以总共有10^6*5=5000000种可能

一等奖的投注选法个数：

6个基本号码、特别号码都要选中，只有一种可能。

二等奖的投注选法个数：

选中6个基本号码，特别号不中，有4种可能。

依此类推可得其他等奖的注选法个数。

（2）乐透型N选m

投注选法总数：

等于从N个不同的元素中选出m个元素的所有的组合，所以总数是：

C（N,m）

一等奖的投注选法个数：

6个基本号码都要选中，只有一种可能。

二等奖的投注选法个数：

m个基本号码要选中m-1个，1个特别号码要选中，有C（m,m-1）种可能。

三等奖的投注选法个数：

m个基本号码要选中m-1个，N-m-1个不中的号码要选中1个，共有C（m,m-1）*C（N-m-1,1）种、可能。

依此类推可得其他等奖的注选法个数。

乐透型N选m+1的概率的计算方法类似。

计算的结果如下：

表一：

各奖项的出现概率

序号一二三四五六七

12.00e-0078.00e-0071.80e-0052.60e-004000

22.00e-0078.00e-0071.80e-0052.61e-0043.42e-0034.20e-0020

32.00e-0078.00e-0071.80e-0052.61e-0043.42e-0034.20e-0020

42.00e-0078.00e-0071.80e-0052.61e-0043.42e-0034.20e-0020

56.41e-0074.48e-0069.42e-0052.83e-0042.83e-0034.71e-0030

66.41e-0071.41e-0058.46e-0058.88e-0042.22e-0031.48e-0020

74.91e-0073.44e-0067.56e-0052.27e-0042.38e-0033.97e-0032.65e-002

84.91e-0073.44e-0067.56e-0052.27e-0042.38e-0033.97e-0032.65e-002

94.91e-0073.44e-0067.56e-0052.27e-0042.38e-0033.97e-0032.65e-002

103.80e-0072.66e-0066.12e-0051.84e-0042.02e-0033.37e-0032.36e-002

113.80e-0072.66e-0066.12e-0051.84e-0042.02e-0033.37e-0030

122.97e-0072.08e-0064.99e-0051.50e-0041.72e-0032.87e-0030

132.97e-0072.08e-0064.99e-0051.50e-0041.72e-0032.87e-0030

142.97e-0072.08e-0064.99e-0051.50e-0041.72e-0032.87e-0030

152.34e-0071.64e-0064.10e-0051.23e-0041.47e-0032.46e-0030

162.34e-0071.64e-0064.10e-0051.23e-0041.47e-0032.46e-0031.88e-002

171.86e-0071.30e-0063.38e-0051.01e-0041.27e-0032.11e-0030

181.86e-0071.30e-0063.38e-0051.01e-0041.27e-0032.11e-0031.69e-002

191.49e-0071.04e-0062.81e-0058.43e-0051.10e-0031.83e-0030

201.49e-0071.04e-0062.81e-0058.43e-0051.10e-0031.83e-0031.52e-002

211.49e-0071.04e-0062.81e-0058.43e-0051.10e-0031.83e-0031.52e-002

221.49e-0071.04e-0062.81e-0058.43e-0051.10e-0031.83e-0031.52e-002

231.49e-0072.91e-0051.18e-0031.71e-0021.07e-00100

241.20e-0073.47e-0062.08e-0052.92e-0047.30e-0046.57e-0038.75e-003

251.20e-0073.47e-0062.08e-0052.92e-0047.30e-0046.57e-0030

261.20e-0078.39e-0072.35e-0057.04e-0059.51e-0041.58e-0031.37e-002

279.71e-0086.80e-0071.97e-0055.92e-0058.28e-0041.38e-0030

282.61e-0071.56e-0065.16e-0051.29e-0042.06e-0032.75e-0030

291.83e-0079.16e-0074.94e-0059.89e-0052.62e-00300

表二：

各方案的总中奖率：

方案编号总中奖率

12.8000e-004

24.5739e-002

34.5739e-002

44.5739e-002

57.9166e-003

61.8008e-002

73.3137e-002

83.3137e-002

93.3137e-002

102.9208e-002

115.6359e-003

124.7940e-003

134.7940e-003

144.7940e-003

154.0983e-003

162.2942e-002

173.5200e-003

182.0436e-002

193.0366e-003

201.8261e-002

211.8261e-002

221.8261e-002

231.2483e-001

241.6366e-002

257.6117e-003

261.6366e-002

272.2880e-003

284.9969e-003

292.7696e-003

302.5841e-002

表三：

各方案的高项奖的平均单注获奖金额（单位：

万元）

方案编号一等奖二等奖三等奖

1246.737524.67371.6449

2192.931516.07760.7146

3209.009112.05820.7146

4225.086712.05820.5359

575.56583.59840.1714

665.92681.24860.1249

776.14592.51030.1521

894.53501.92930.1754

9108.56402.06790.1410

1079.52852.84030.2058

11170.35123.24480.2116

12177.28465.84450.3247

13190.92193.89640.3247

14204.55923.89640.2435

15246.12345.02290.4018

16239.02864.55290.2732

17314.185010.35770.5312

18303.93397.66220.4912

19428.711113.12380.4861

20337.64466.89070.5104

21322.07216.13470.3408

22438.79967.83570.2902

23428.18700.20000.0020

24420.53851.93350.4834

25477.80642.05950.3433

26486.58269.93030.7093

27547.321016.75470.5777

28299.26886.08270.1475

29292.212719.48080.3608

各方案对彩民的吸引力是由很多因素组成的，由各等奖的概率、奖项和金额的设置、各奖项的平均每注获奖金额等组成。

所以我们建立如下的吸引力量度函数：

h=

其中，

（k=1,2,3,4）分别表示一等奖、二等奖、三等奖、低项奖的权重，

（k=1,2,3,4,5,6,7）表示各获奖金额的影响力指数，m表示低项奖的项数。

因为我们认为，获奖金额的增加对彩民的吸引力也增加，但增加的趋势不是线性的，而是近似指数函数的关系。

开始时获奖金额的增加会很大地增大对彩民的吸引力，但当获奖金额增大到一定程度后，吸引力的增长速度变慢了，获奖金额和吸引力的关系可用以下的图形来表示（其中横坐标表示获奖金额，纵坐标表示吸引力）：

由于不同的人对彩票的期望不一样，有人看重高项奖的获奖金额，有人看重低项奖获奖概率，由此决定此函数的各权重的选取。

所以高项奖获奖金额的影响力指数取大些，低项奖获奖金额的影响力指数取小些。

权重系数也由各奖项对吸引力的影响的大小取值：

=0.4、

=0.3、

=0.2、

=0.1

=0.9、

=0.6、

=0.5、

=0.1，

函数的表达式为：

h=

计算结果如下：

表四：

各方案的吸引力

方案编号吸引力

14.6213e-002

23.8742e-002

34.1404e-002

44.4054e-002

55.1870e-002

64.6787e-002

74.0666e-002

84.8938e-002

95.5107e-002

103.2961e-002

116.2921e-002

125.1212e-002

135.4562e-002

145.7908e-002

155.3925e-002

165.2952e-002

175.3375e-002

185.2172e-002

195.6269e-002

2.04.5880e-002

214.3934e-002

225.7676e-002

236.3901e-002

244.5030e-002

255.0164e-002

265.1134e-002

274.5758e-002

287.1135e-002

294.9489e-002

吸引力排在前8名的方案为：

28，23，11，14，22，19，9，13

彩票能够正常运行的一个条件是每期的投入的注数必须大于某一个数值x，才能保证一等奖的保底金额。

能保证一注的一等奖保底金额的最小的x，称为“最低运行数”，由此我们可以列出不等式

[x-∑J（i）*P（i）*x]*S

（1）≥600000

依此不等式可以估计出各个方案的最低运行数。

例如方案一，我们可列出

（x-50*2.60e-004*x）*（50/100）≥600000

解得

x≥121.58*10^4

我们认为，合理的方案应该满足以下条件：

（1）获奖金额的单调性：

奖项越高，获得的金额越大。

（2）获奖概率的单调性：

奖项越高，获得的概率越小

（3）保底的金额恰当：

保底的金额太小，对彩民的吸引力就变小；保底的金额太大，彩票部门就无法运营下去。

从的表一和表三来看；这29种方案都满足

（1）、

（2）

吸引力函数我们是用中奖概率，中奖金额做参量来衡量的；而合理性评价又与中奖金额、中奖概率、以及吸引力有关，所以吸引力与合理性有一定的联系。

但是这吸引力和合理性不可以说哪个对哪个有决定因素，只可以说互有影响。

所以我们分析各个方案的优劣时候要同时考虑吸引力和合理性。

所以我们定义一个综合评价函数

F=h*Q

其中h表示吸引力，Q表示合理性。

Q的取值只有两种：

0或1。

当方案合理时，Q=1;

反之，Q=0。

在这29中方案中，都有一定的合理性，所以我们定义着29种方案的Q=1。

这样，我们以吸引力来代表综合评价。

七、新方案模型

从28选7到50选7的方案

由于解这个规划难度太大，我们认为，一个好的方案既要有高额的一等奖奖金，也要有高的低等奖的中奖概率，这样可以吸引不同彩民。

所以为了提高中奖概率，我们设立7个奖项，相应需要开奖号码的个数为7个，其中，为提高头等奖的吸引力，将其资金比例调为一等奖80%，二等奖10%，三等级10%。

通过对29组常见的彩票运行方案的评价我们发现，乐透型N选7的综合评价比N选6+1的综合评价要高，乐透型的综合评价比传统型的高，我们通过编程用计算机模拟寻找出综合评价最高的方案：

32选7。

其综合评价度是最高的h=7.52：

类型：

32选7

奖金比例分配、金额分配：

一等：

80%二等：

10%三等：

10%

四等：

200元五等：

50元六等：

10元七等：

2元

八、模型检验

1各个单项中奖概率检验

（1）我们建立一个程序，利用随机函数来模拟出一期彩票的投注情况以及中奖号码。

程序详见附录。

因为模拟投注所需要的模拟的投注数目比较大，所以一次模拟需要很多时间。

我们只对29中彩票运行方案中的一种方案进行了模拟。

我们选定的是37选7的方案。

对方案进行了三次模拟，分别令其投注数目为100万，100万和1000万。

模拟的结果（各等奖中奖注数）分见下表：

（单位：

注）

一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖

100万0014518131425

100万0014568561431

1000万15203596815613972

模拟的结果符合上文表一中37选7方案所计算出来的理论概率值。

（2）参见本地彩票发行方案，其中也有37选7这个方案。

采集近几期的数据，发现起中奖概率也符合上文表一的结果。

所以对29种彩票运行方案的各种奖项出现的可能性的计算是正确的。

2单项奖单注奖金金额检验

而在上文的运算中，单项奖单注奖金金额的确定只有概率一个未知量，所以上文表三中单项奖单注奖金金额的计算也是正确的。

3吸引力函数的检验

吸引力函数是由各个单项中奖概率的乘幂与单项奖单注奖金金额的乘幂的乘积的和来确定的，所以1和2成立，吸引力公式自然没有问题。

4综合评价模型的检验

综合评价模型是由吸引力函数和合理性函数的乘积构成的，合理性函数为阶跃函数，合理为1，不合理为0，所以可以认为在合理性保证的情况下就等同于吸引力函数。

所以其正确性也可以保证。

、

九、对彩票部门的建议

（1）从合理性分析可以证明从一等奖到最后等奖,单注中奖金额单调递减,而中奖率则是单调递增.

彩票对彩民的吸引力起主要作用的也就是单注中奖金额和中奖率.所以彩票运行方案最好是在增加一等奖金额或是增加末等奖中奖率方向进行.此时可以削减的是中间奖项的金额.如我们提出的新方案。

（2）通过对29种现在常见的彩票销售规则及相应的奖金设置方案的分析和评价,发现每种方案都是各有优劣,用来区分的标准有很大的认为因素.比如我们的吸引力函数,可以通过调节权重q（i）来分别突出大奖或是中奖金额对吸引力的影响.不是所有的彩民都是全部为了最后的大奖,所以为了充分调动所有彩民的积极性,建议可以考虑多种销售规则及相应的奖金设置方案并存.每种方案侧重不同人群.

（3）另从人的心理上来说,什么东西都有个过程,要是熟悉了,也就会相应减少兴趣.而我们的彩票方案不可以常常调整,也就是说不可以从整体销售规则及相应的奖金设置方案上给彩民新鲜感.我们的建议是在特别的节假日用增开彩票对奖期数.甚至是可以把增开彩票只是作为节日回馈,也就是说彩民不用额外买彩票,在正常发行期数中离这个活动最近的一期不中的号码,在进行另号对奖,奖金数目可以少些,就是为了庆贺国家节假日或是为了纪念彩票发行的某个纪念日,增加中奖概率.（这个方案参考了很多商家在店庆降价利民的方式）

（4）从报刊评价和大奖中奖概率分析可以知道,中大奖对人们的心理冲击是最大的,所以为了增加销售额,在某些时候也可以用提高返奖率（总奖金在销售总额的比例率）,来刺激彩民的热情.但是因为这样是在每注收益减小的情况下,刺激以提高销售额,所以不可以常常使用,只是用来做为一种调剂.所用时候一般多是在如（3）表示的节日,或是因为连续几期的高项奖金额不高,用来提高单注奖金额.

十、给彩民的短文

对于广大彩民朋友来说，首先要明确的是，彩票是有风险的，收益率非常低。

假设某彩民在连续几期中都购买了固定数量的某种彩票，在这个购买彩票的时间段里可以获得的k张中奖票的概率（见文献（4））

（

为彩票中奖的概率）。

如果一彩民在连续20期内持续购买，该彩票中奖率为

＝0.002那么获得得一张中奖彩票的概率为

，五张中奖票的概率是

。

可见买彩票对大多数彩民而言，投资越大，损失越大，所以把彩票作为一种投资获利的手段是不明智的。

对于社会上的选号预测等更是荒谬，按概率理论，任何一期的号码都是独立的，与历史号码完全没有关系。

于是用预测号码是没有多大意义的，正如一个著名数学教授说过的:

"彩票的号码是随机产生的，是不可预测的,如果可以预测,那就是有人作弊!

"

那还为什么买彩票呢，其中的一点是从有获得巨额的奖金的可能中得道消遣和娱乐。

因为虽然个体中奖概率小，但参与地人多中大奖是必然发生的。

也就有了一不小心成了百万富翁的传奇故事，这是每个彩民心中的目标吧。

可买彩票要抱着一种平和心态为好，知道彩票对社会的公益作用，中与不中都为公共事业出了一分力，正有人因为你而被帮助，这有何尝不是一种满足呢。

十一、参考文献

（1）彩票指南--严峰韩玉芬编著中国人民出版社1993年6月第一版

（2）MATLAB5.3实用教程--王炳武编著中国水利水电出版社2000年7月第一版

（3）概率论与数理统计教程--魏宗舒编著高等教育出版社1983年10月第一版

（4）韦原奉，抽奖问题中一类概率微分模型，

十一、附录

1．文件main.m

FangAn=[

1061%1

1061%2

1061%3

1061