中考冲刺垂径定理的应用.docx
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中考冲刺垂径定理的应用
【中考冲刺】垂径定理的应用
【中考冲刺】垂径定理的应用
一、选择题（共5小题）
1．（2011•大庆）如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（ ）
A．
10平方米
B．
10π平方米
C．
100平方米
D．
100π平方米
2．（2011•南充）在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（ ）
A．
6分米
B．
8分米
C．
10分米
D．
12分米
3．（2008•黔南州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
A．
3cm
B．
4cm
C．
5cm
D．
6cm
4．（2011•防城港）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）
A．
2
B．
C．
2
D．
3
5．（2011•绍兴）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（ ）
A．
16
B．
10
C．
8
D．
6
二、填空题（共11小题）（除非特别说明，请填准确值）
6．（2012•东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 _________ cm．
7．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m，则圆拱形门所在圆的半径为 _________ m．
8．（2012•台州）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 _________ 厘米．
9．（2011•梅州）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为 _________ cm2．
10．（2012•衢州）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 _________ mm．
11．（2010•陕西）如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深为 _________ 米．
12．（2006•大兴安岭）如图，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB=120mm，C是
上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=20mm，则原轮片的半径是 _________ mm．
13．（2006•黑龙江）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB），点O是这段弧的圆心，AB=120m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=20m，则这段弯路的半径为 _________ m．
14．（2006•衡阳）如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，则截面上有油部分油面高CD为 _________ cm．
15．（2004•宜昌）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用 _________ 次就可以找到圆形工件的圆心．
16．（2006•伊春）如图是一单位拟建的大门示意图，上部是一段直径为10米的圆弧形，下部是矩形ABCD，其中AB=3.7米，BC=6米，则弧AD的中点到BC的距离是 _________ 米．
【中考冲刺】垂径定理的应用
参考答案与试题解析
一、选择题（共5小题）
1．（2011•大庆）如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（ ）
A．
10平方米
B．
10π平方米
C．
100平方米
D．
100π平方米
考点：
垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质．1938326
专题：
计算题．
分析：
过O作OC⊥AB于C，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=10，再根据切线的性质得到AB为小圆的切线，于是有圆环的面积=π•OA2﹣π•OC2=π（OA2﹣OC2）=π•AC2，即可圆环的面积．
解答：
解：
过O作OC⊥AB于C，连OA，如图，
∴AC=BC，而AB=20，
∴AC=10，
∵AB与小圆相切，
∴OC为小圆的半径，
∴圆环的面积=π•OA2﹣π•OC2
=π（OA2﹣OC2）
=π•AC2=100π（平方米）．
故选D．
点评：
本题考查了垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．
2．（2011•南充）在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（ ）
A．
6分米
B．
8分米
C．
10分米
D．
12分米
考点：
垂径定理的应用．1938326
分析：
如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=
AB=3，CF=
CD=4，设OE=x，则OF=x﹣1，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，由OA=OC，列方程求x即可求半径OA，得出直径MN．
解答：
解：
如图，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，
由垂径定理，得AE=
AB=3，CF=
CD=4，
设OE=x，则OF=x﹣1，
在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，
在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，
∵OA=OC，
∴32+x2=42+（x﹣1）2，
解得x=4，
∴半径OA=
=5，
∴直径MN=2OA=10分米．
故选C．
点评：
本题考查了垂径定理的运用．关键是利用垂径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径的平方，根据半径相等列方程求解．
3．（2008•黔南州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
A．
3cm
B．
4cm
C．
5cm
D．
6cm
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．1938326
专题：
探究型．
分析：
过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=
AB，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．
解答：
解：
如图所示：
过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD=
AB=
×8=4cm，
设OA=r，则OD=r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得r=5cm．
故选C．
点评：
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．（2011•防城港）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）
A．
2
B．
C．
2
D．
3
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．1938326
专题：
网格型．
分析：
在网格中找点A、B、D（如图），作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心，故OA即为此圆的半径，根据勾股定理求出OA的长即可．
解答：
解：
如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．
连接OA、OB，
∵OC⊥AB，OA=OB
∴O即为此圆形镜子的圆心，
∵AC=1，OC=2，
∴OA=
=
=
．
故选B．
点评：
本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．（2011•绍兴）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（ ）
A．
16
B．
10
C．
8
D．
6
考点：
垂径定理的应用．1938326
分析：
先根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出BC的长，进而可得出答案．
解答：
解：
∵截面圆圆心O到水面的距离OC是6，
∴OC⊥AB，
∴AB=2BC，
在Rt△BOC中，OB=10，OC=6，
∴BC=
=
=8，
∴AB=2BC=2×8=16．
故选A．
点评：
本题考查的是垂径定理的应用，熟知垂径定理及勾股定理是解答此题的关键．
二、填空题（共11小题）（除非特别说明，请填准确值）
6．（2012•东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 30 cm．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．1938326
分析：
当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径．
解答：
解：
连接OB，如图，
当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大．
∵AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，
∴O点在AD上，BD=24cm；
在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48﹣r，
∴r2=（48﹣r）2+242，解得r=30．
即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm．
故答案为：
30．
点评：
此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及勾股定理，垂径定理的讨论和勾股定理．
7．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m，则圆拱形门所在圆的半径为 2.6 m．
考点：
垂径定理的应用．1938326
分析：
连接OA，由垂径定理易得出AD的长度，在Rt△OAD中，可用半径表示出OD的长，根据勾股定理即可求出半径的长度．
解答：
解：
连接OA；
Rt△OAD中，AD=
AB=1米；
设⊙O的半径为R，则OA=OC=R，OD=5﹣R；
由勾股定理，得：
OA2=AD2+OD2，即：
R2=（5﹣R）2+12，解得R=2.6（米）；
故答案为：
2.6．
点评：
此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用．解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（
）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
8．（2012•台州）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 10 厘米．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．1938326
分析：
首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的一点O，连接OF，设OF=x，则OM是16﹣x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
解答：
解：
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的一点O，连接OF，
设OF=x，则OM=16﹣x，MF=8，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：
（16﹣x）2+82=x2
解得：
x=10
故答案为：
10．
点评：
本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．
9．（2011•梅州）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为 16π cm2．
考点：
垂径定理的应用；切线的性质．1938326
分析：
设AB于小圆切于点C，连接OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），以及勾股定理即可求解．
解答：
解：
设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．
∵AB于小圆切于点C，
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=
AB=
×8=4cm．
∵圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）
又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2
∴圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=π•BC2=16πcm2．
故答案是：
16π．
点评：
此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系．
10．（2012•衢州）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．1938326
专题：
探究型．
分析：
先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
解答：
解：
连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD=
=
=4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm．
故答案为：
8．
点评：
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．（2010•陕西）如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深为 0.4 米．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．1938326
专题：
应用题．
分析：
利用垂径定理，以及勾股定理即可求解．
解答：
解：
作出弧AB的中点D，连接OD，交AB于点C．
则OD⊥AB．AC=
AB=0.8m．
在直角△OAC中，OC=
=
=0.6m．
则水深CD=OD﹣OC=1﹣0.6=0.4m．
点评：
此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
12．（2006•大兴安岭）如图，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB=120mm，C是
上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=20mm，则原轮片的半径是 100 mm．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．1938326
专题：
应用题．
分析：
连接OA、OB，又知OC⊥AB，故可以设出半径，根据勾股定理和垂径定理解答．
解答：
解：
在直角△OAD中，设半径是x，则OA=x，OD=x﹣20，AD=
AB=60mm．
根据三角和内角和定理得到：
x2=（x﹣20）2+602，
解得x=100mm．
所以原轮片的半径是100mm．
点评：
此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．
13．（2006•黑龙江）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB），点O是这段弧的圆心，AB=120m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=20m，则这段弯路的半径为 100 m．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．1938326
专题：
应用题．
分析：
先求出弦的一半的长，再利用勾股定理即可求解．
解答：
解：
∵AB=120m，
∴BD=60m，
根据勾股定理可得：
OB2=BD2+OD2，
即OB2=602+（OB﹣20）2，
解得OB=100．
点评：
本题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长．
14．（2006•衡阳）如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，则截面上有油部分油面高CD为 8 cm．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．1938326
专题：
应用题．
分析：
先求出AC的长再利用勾股定理求出油面到圆心的距离，油深便可以求出．
解答：
解：
连接OA，在直角△OAC中，OA=13cm，AC=
AB=12cm，
根据勾股定理得到OC=
=5cm，
∴CD=13﹣5=8cm，
因此油面高CD为8cm．
点评：
本题主要考查半径、弦心距、弦的一半所构成直角三角形，利用勾股定理求解是考查的重点．
15．（2004•宜昌）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用 2 次就可以找到圆形工件的圆心．
考点：
垂径定理的应用．1938326
分析：
根据垂径定理的推论可得，CD所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
解答：
解：
如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
点评：
此题主要考查垂径定理的推论：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．
16．（2006•伊春）如图是一单位拟建的大门示意图，上部是一段直径为10米的圆弧形，下部是矩形ABCD，其中AB=3.7米，BC=6米，则弧AD的中点到BC的距离是 4.7 米．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．1938326
专题：
应用题．
分析：
先构造出半径和弦心距的直角三角形，求出弦心距，根据半径求出弧顶距弦AD的长，再加上矩形的宽．
解答：
解：
如图，作OE⊥AD于点E．交弧AD于F．
则根据垂径定理得AE=
AD=
BC=3米．
∵直径为10米，
∴半径OA=
×10=5米，
在Rt△AOE中，根据勾股定理OE=
=
=4，
则EF=5﹣4=1（米），
1+3.7=4.7（米），
弧AD的中点到BC的距离是4.7米．
点评：
构造半径和弦心距的直角三角利用勾股定理求弦心距是解此题突破口，也是解题的关键．
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