数学运算学习讲义花生十三3.docx
《数学运算学习讲义花生十三3.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学运算学习讲义花生十三3.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学运算学习讲义花生十三3
四海公考行政能力测试讲义系列
数学运算学习讲义—花生十三
Arithmaticallecturenotes—Peanut13
花生十三
2014年9月
内部讲义严禁外传
目录
1引言4
2数学运算之行程问题4
2.1行程问题基础概念4
2.2行程三量基础比例关系4
2.3比例份数思想介绍5
2.4初等行程问题题型解析：
5
2.4.1初等行程问题介绍5
2.4.2例题解析6
2.5相遇问题题型解析7
2.5.1相遇问题介绍7
2.5.2例题解析7
2.6追击问题题型解析9
2.6.1追击问题介绍9
2.6.2例题解析9
2.7流水问题题型解析10
2.7.1流水问题介绍10
2.7.2例题解析11
2.8本章小结12
3数学运算之工程问题13
3.1工程问题基础概念13
3.2工程量基本比例关系13
3.3单独完工问题题型解析14
3.4合作完工问题题型解析14
3.4.1根据各自工作时间求解问题14
3.4.2根据不同工作情况求解问题15
3.4.3同时开工同时完工问题16
3.5本章小结17
4数学运算之排列组合问题18
4.1排列组合问题基础概念18
4.2排列组合的几种特殊情形18
4.3简单分类分步习题解析20
4.4包含特殊要求习题解析20
4.5特殊情形习题解析21
4.6本章小结24
5数学运算之概率问题25
5.1概率问题基础概念25
5.2概率问题常考题型解析26
5.2.1相互独立事件同时发生的概率26
5.2.2独立重复试验26
5.2.3互斥事件发生概率27
5.2.4总体概率27
5.2.5等可能性事件概率28
5.3本章小结29
6数学运算之极限问题29
6.1最不利情况极限题29
6.1.1最不利情况极限题概述29
6.1.2例题解析29
6.2容斥类极限题30
6.3和定最值极限题31
6.3.1和定最值极限题概述31
6.3.2例题解析31
7数学运算之容斥问题33
7.1容斥问题基础概念33
7.2传统容斥问题解析33
7.3新型容斥问题解析34
结论36
致谢36
1引言
2数学运算之行程问题
2.1行程问题基础概念
核心公式：
S=VT
路程=速度*时间
路程差=时间*速度差
速度差=路程差/时间
单位换算
X千米/小时=X/3.6米/秒
【例一】（2012年北京市考）一辆汽车从A地开到B地需要一个小时，返回时速度为每小时75公里，比去时节约了20分钟，问AB两地相距多少公里：
A.30B.50C.60D.75
【例二】（2011年上海市考）一辆汽车从A地出发按某一速度行驶，可在预定的时间到达B地，但在距B地180公里处意外受阻30分钟，因此，继续行驶时，车速必须增加5公里，才能准时到达B地。
则汽车后来的行驶速度是：
A.40公里/小时B.45公里/小时C.50公里/小时D.55公里/小时
2.2行程三量基础比例关系
基本比例关系：
时间相同：
速度和路程成正比，速度快走得远
路程相同：
速度和时间成反比，速度快用时少
速度相同：
路程和时间成正比，时间长走得远
【例一】（2011年广州市考）同住一个小区的三位同事早上7：
30同时出门上班，甲自驾车，乙乘坐公交车，丙骑自行车。
如果他们的路程相同，甲8：
00到达单位，乙8：
30到达单位，丙8：
15到达单位，则他们的平均速度比是:
A.4:
6:
5B.15:
10:
12C.12:
8:
9D.6:
3:
4
【例二】（2011年广东省考）一个人从家到公司，当他走到路程的一半的时候，速度下降了10%，问：
他走完全程所用时间的前半段和后半段所走的路程比是：
A.10∶9B.21∶19C.11∶9D.22∶18
2.3比例份数思想介绍
比例法使用过程：
（一）找到题目中的绝对量（A,B,A+B,A-B），例如：
路程差（甲比乙多走1000米），时间和（步行去，坐车回，共用时2小时）
（二）求出该绝对量对应的比例关系，例如：
绝对量为时间和，则求出时间比T1:
T2
（三）根据该绝对量对应的份数，求得一份量，例如：
绝对量（1000米）对应五份，则一份=200米
方法练习：
例一：
甲乙在操场用相同速度跑步，甲跑五圈，乙跑三圈，甲比乙多用时20分钟，问甲跑五圈用时多久？
例二：
甲乙在操场跑步，乙的速度是甲的3/5，跑相同的距离，甲比乙少用20分钟，问甲跑了多久？
例三：
甲乙分别从AB两点相向而行，甲的速度是乙的2倍，相遇时甲多走300米，问AB距离为多远？
例四：
甲在乙后100米骑车去追乙，甲骑车速度是乙步行速度的三倍，问甲需要走多远能追上乙？
例五：
甲乙分别从AB两点相向而行，甲的速度是乙的3/4，AB距离为700米，问相遇点距离AB中点有多远？
2.4初等行程问题题型解析：
2.4.1初等行程问题介绍
最常见考法思路：
根据两次速度比例（因提速、交通工具不同等原因导致速度不同），求得时间或路程比例，根据题目给出的时间变化实际值或路程变化实际值，求解
附加难点：
路程分段
一是将全程分为正常行驶和非正常行驶两段，常见表述为“开车行驶10分钟后发生了故障，小王从后备箱中取出自行车继续赶路”
二是将全程改变速度和部分改变速度进行对比，常见表述为“如果比原车速提高25%，则比原定时间提前30分钟到达。
原车速行驶120千米后，再将车速提高25%，可提前15分钟到达”
2.4.2例题解析
【例一】（2012年江苏省考）经技术改进，A、B两城间列车的运行速度由150千米/小时提升到250千米/小时，行车时间因此缩短了48分钟，则A、B两城间的距离为：
A.291千米B.300千米C.310千米D.320千米
【例二】（2011年国考）小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。
如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。
问小王跑步从A城到B城需要多少分钟：
A.45B.48C.56D.60
【例三】（2013年天津市考）甲地到乙地，步行速度比骑车速度慢75%，骑车速度比公交慢50%，如果一个人坐公交从甲地到乙地，再从乙地步行回甲地一共用了1个半小时，则该人骑车从甲地到乙地需要多长时间：
A.10分钟B.20分钟C.30分钟D.40分钟
【例四】（2011年北京市考）骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1时到；以15千米/时的速度行进，上午11时到。
如果希望中午12时到，那么应以怎样的速度行进：
A.11千米/时B.12千米/时C.12.5千米/时D.13.5千米/时
【例五】（2012年四川省考）邮递员骑自行车从邮局到渔村送邮件，平常需要1小时。
某天在距离渔村2公里处，自行车出现故障，邮递员只好推车步行至渔村，步行速度只有骑车的1/4，结果比平时多用22.5分钟，问邮局到渔村的距离是多少公里：
A.15B.16C.18D.20
【例六】（2014年上半年联考）甲乙两辆车从A地驶往90公里外的B地，两车的速度比为5：
6。
甲车于上午10点半出发，乙车于10点40分出发，最终乙车比甲车早2分钟到达B地。
问两车的时速相差多少千米/小时：
A.10B.12C.12.5D.15
【例七】（2013年江苏省考）小李驾车从甲地去乙地。
如果比原车速提高25%，则比原定时间提前30分钟到达。
原车速行驶120千米后，再将车速提高25%，可提前15分钟到达，则原车速是：
A.84千米/小时B.108千米/小时C.96千米/小时D.110千米/小时
【例八】（2010年下半年联考）小王从家开车上班，开车行驶10分钟后发生了故障，小王从后备箱中取出自行车继续赶路，由于自行车的车速只有汽车的3/5，小王比预计时间晚了20分钟到达单位，如果汽车再多行驶6公里，他就能少迟到10分钟，从小王家到单位的距离是多少公里：
A.12B.14C.15D.16
【例九】（2012年广东省考）一列火车出发1小时后因故障停车0.5个小时，然后以原速度的3/4行驶，到达目的地晚点1.5小时，若出发1小时后又行驶120公里停车0.5小时，然后同样以原速度的3/4行驶，则到达目的地晚点1小时，从起点到目的地的距离为：
A.240B.300C.320D.360
【例十】（2012年深圳市考）小强从学校出发赶往首都机场乘坐飞机回老家，若坐平均速度40千米/小时的机场大巴，则飞机起飞时他距机场还有12公里；如果坐出租车，车速50千米/小时，他能够先于起飞时间24分钟到达，则学校距离机场多少公里：
A.100B.132C.140D.160
2.5相遇问题题型解析
2.5.1相遇问题介绍
核心公式：
路程=速度和*时间
解题关键：
一是抓紧“速度和”；二是牢记“相遇代表时间相等”，速度和路程成正比
最常见考法与思路：
一是已知条件为时间点，根据相遇路程、全程的时间不同，确定相遇点、俩人速度比，常见表述：
“甲乙两人早上10点同时出发匀速向对方的工作单位行进，10点30分两人相遇并继续以原速度前行。
10点54分甲到达乙的工作单位后”；
V甲:
V乙=T乙:
T甲=Tab:
Tbc
二是已知条件为所走路程，根据所走路程确定两者速度比，路程比=速度比；
三是已知条件为速度，根据速度和求解相遇次数问题，牢记相遇1、2、3、4…次时，两人共走1、3、5、7…个全程。
2.5.2例题解析
【例一】（2012年山东省考）甲从A地到B地需要30分钟，乙从B地到A地需要45分钟，甲乙两人同时从A、B两地相向而行，中间甲休息了20分钟，乙也休息了一段时间，最后两人在出发40分钟后相遇。
问乙休息了多少分钟：
A.25B.20C.15D.10
【例二】（2011年北京市考）某校下午2点整派车在某厂接劳模作报告往返须1小时。
该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走去，途中遇到接他的车便坐车去学校，于2点40分到达。
问汽车的速度是劳模的步行速度的多少倍：
A.5B.6C.7D.8
【例三】（2012年北京市考）甲乙两人早上10点同时出发匀速向对方的工作单位行进，10点30分两人相遇并继续以原速度前行。
10点54分甲到达乙的工作单位后，立刻原速返回自己单位。
问甲返回自己单位时，乙已经到了甲的工作单位多长时间：
A.42分B.40分30秒C.43分30秒D.45分
【例四】（2012年广东省考）甲乙两人在环湖小路上匀速行驶，且绕行方向不变，19时，甲从A点，乙从B点同时出发相向而行。
19时25分，两人相遇；19时45分，甲到达B点；20点5分，两人再次相遇，乙环湖一周需要多长时间：
A.72B.81C.90D.100
【例五】（2011年广州市考）甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步。
甲的速度是乙的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的较短的跑道长度是100m。
那么，圆形跑道的周长是：
A.200B.300C.400D.500
【例六】（2011年北京市考）一个正六边形跑道，每边长为100米，甲乙两人分别从两个相对的顶点同时出发，沿跑道相向匀速前进，第一次相遇时甲比乙多跑了60米，问甲跑三圈时，两人之间的直线距离是多少：
A.100米B.150米C.200米D.300米
【例七】（2013年上半年联考）小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲乙两地之间往返行驶。
小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，问小张的车速是小王的几倍：
A.1.5 B.2C.2.5D.3
【例八】（2012年安徽省考）如下图所示，AB两点是圆形体育场直径的两端，两人从AB点同时出发，沿环形跑道相向匀速而行，他们在距A点弧形距离80米处的C点第一次相遇，接着又在距B点弧形距离60米处的D点第二次相遇，问这个圆形体育场的周长是多少米：
A.240B.300C.360D.420
【例九】（2011年国考）甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米，两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。
如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇了多少次：
A.2B.3C.4D.5
【例十】（2013年浙江省考）甲、乙两地相距210公里，a，b两辆汽车分别从甲、乙两地同时相向出发并连续往返于两地。
从甲地出发的a汽车的速度为90公里/小时，从乙地出发的b汽车的速度为120公里/小时。
问第2次从甲地出发后与b汽车相遇时，b汽车共行驶了多少公里：
A.560公里B.600公里C.620公里D.650公里
【例十一】（2013年上海市考）A、B两架飞机同时从相距1755公里的两个机场起飞相向飞行，经过45分钟后相遇，如果A机的速度是B机的1.25倍，那么两飞机的速度差是每小时：
A.250公里B.260公里C.270公里D.280公里
2.6追击问题题型解析
2.6.1追击问题介绍
核心公式：
路程差=追者路程（Va*T）-被追者路程（Vb*T）=速度差（Va-Vb）*时间
解题关键：
一是找准“路程差”；二是抓紧“路程差与速度差”的关系；三是牢记“追击代表时间相等”，速度和路程成正比
最常见考法与思路：
一是根据路程差（即需要追击的路程）求得追击所需时间，再继续求解（常见问法为求追击所用距离，即追击时间*追者速度）；
二是根据所走路程确定两者速度比，路程比=速度比；
三是环形追击问题，每追上/超越一次，路程差为一圈。
2.6.2例题解析
【例一】（2011年安徽省考）甲、乙两人同地同向直线行走，其速度分别为7千米/时、5千米/时。
乙先走两小时后甲才开始走，则甲追上乙需多少小时：
A.4小时B.5小时C.6小时D.7小时
【例二】（2012年江西省考）甲以6千米/小时步行从A地往B地，在甲出发90分钟时，乙发现甲落下重要物品，立即骑自行车以12千米/小时追甲，在11点追上，甲出发为时间为上午几点：
A.7B.8C.9D.10
【例三】（2011年下半年联考）高速公路上行驶的汽车A的速度是100公里每小时，汽车B的速度是每小时120公里，此刻汽车A在汽车B前方80公里处，汽车A中途加油停车10分钟后继续向前行驶。
那么从两车相距80公里处开始，汽车B至少要多长时间可以追上汽车A：
A.2小时B.3小时10分C.3小时50分D.4小时10分
【例四】（2013年山东省考）甲乙两地相距20公里，小李、小张两人分别步行和骑车，同时从甲地出发沿同一路线前往乙地，小李速度为4.5公里/小时，小张速度为27公里/小时。
出发半小时后，小张返回甲地取东西，并在甲地停留半小时后再次出发前往乙地。
问小张追上小李时，两人距离乙地多少公里：
）
A.8.1B.9C.11D.11.9
【例五】（2012年广州市考）甲公司的马经理从本公司坐车去乙公司洽谈，以30千米/时的速度出发20分钟后，马经理发现文件忘带了，便让司机以原来1.5倍的速度回甲公司拿，而他自己则以5千米/时的速度步行去乙公司。
结果司机和马经理同时到达乙公司。
甲乙两公司的距离是多少千米：
A.12.5B.13C.13.5D.14
【例六】（2013年河北省考）—只猎豹锁定了距离自己200米远的一只羚羊，以108千米/小时的速度发起进攻，2秒钟后，羚羊意识到危险，以72千米/小时的速度快速逃命。
问猎豹捕捉到羚羊时，羚羊跑了多少路程：
A.520米B.360米C.280米D.240米
【例七】（2011年深圳市考）英雄骑马射箭，路遇猛虎，相距50米，适逢箭矢已尽，遂驱汗血宝马逐之，意欲生擒。
今知宝马步幅较猛虎为大，宝马2步值猛虎3步，然猛虎动作较宝马迅捷，宝马奔跑3步之时猛虎已经狂奔4步，则英雄追上猛虎之时，汗血宝马跑了多少米：
A.320B.360C.420D.450
【例八】（2013陕西省考）甲乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的4倍，甲用时15分钟到达B地后立即返回，甲乙第二次相遇后，乙再走多少分钟才能到达A地（第二次相遇为追击）：
A.40B.30C.45D.33.3
【例九】（2011年江苏省考）甲、乙两人从运动场同一起点同向出发，甲跑步速度为200米/分钟，乙步行，当甲第5次超越乙时，乙正好走完第三圈，再过1分钟，甲在乙前方多少米：
A.105B.115C.120D.125
2.7流水问题题型解析
2.7.1流水问题介绍
核心公式：
顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速
V船=（V顺+V逆）/2
V水=（V顺-V逆）/2
拓展公式：
在S无确定值，已知条件为顺流、逆流时间时：
V船=（T逆+T顺）/2
V水=（T逆-T顺）/2
S=T逆*T顺
解题关键：
流水问题永远离不开速度，抓住船速和水速关系即可
2.7.2例题解析
【例一】（2013年江苏省考）长江上游A港与下游S港相距270千米，一轮船以恒定速度从A港到S港需要6.75小时，而返回需要9小时，则长江的水流速度是：
A.7千米/小时B.6千米/小时C.5千米/小时D.4.5千米/小时
【例二】（2013年广州市考）一艘船在河水流速为每小时15公里的河中央抛锚，停在码头下游60公里处。
一艘时速为40公里的救援船从码头出发前去拖船，已知救援船拖上另一艘船后，船速将下降1/4。
救援船从码头出发，一共需要大约多少小时才能将抛锚的船拖回码头：
A.3B.3.5C.4D.5.1
【例三】（2012年上海市考）一艘船从A地行驶到B地需要5天，而该船从B地行驶到A地则需要7天。
假设船速、水流速度不变，并具备漂流条件，那么船从A地漂流到B地需要多少天：
A.40B.35C.12D.2
【例四】（2011年北京市考、同2012年江西省考）一艘游轮逆流而行，从A地到B地需要6天，顺流而行，从B地到A地需4天。
问：
若不考虑其他因素，一块塑料漂浮物从B漂流到A需几天：
A.12B.16C.18D.24
【例五】（2012年四川省考）一艘轮船从上游甲地开往下游乙地需要5个小时，以同样的功率从乙地开往甲地需要6个小时。
如在甲地放下一无动力竹排，它到达乙地需要多长时间?
A.5小时B.15小时C.30小时D.60小时
【例六】（2011年广东省考）A和B两个码头分别位于一条河的上下游，甲船从A码头到B码头需要4天，从B码头返回A码头需要6天；乙船在静水中速度是甲船的一半。
乙船从B码头到A码头需要多少天：
A.6B.7C.12D.16
【例七】（2010年国考）某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路，经测试，旅游船从甲到乙顺水匀速行驶需3小时；从乙返回甲逆水匀速行驶需4小时，假设水流速度恒定，甲乙之间的距离为y公里，旅游船在静水中匀速行驶y公里需x小时，则满足x的方程为：
A.
B.
C.
D．
【例八】（2012年国考）一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的3倍。
现该船靠人工划动从A地顺流到达B地，原路返回时只开足动力桨行驶，用时比来时少2/5。
问船在静水中开足动力浆行驶的速度是人工划船速度的多少倍：
A.2B.3C.4D.5
2.8本章小结
3数学运算之工程问题
3.1工程问题基础概念
核心公式：
工作量=效率*时间
解题技巧：
工作量的设置，设“1”或设公倍数
【例一】（2012年吉林省考）甲乙两个工程队修建一条乡村公路，甲工程修了500米以后，乙工程队来修，根据以往资料显示，乙工程队的效率是甲工程队的2倍，乙工程队修600米公路所用的时间比甲工程队修500米公路的时间还少20天。
甲工程队的效率是：
A.10米/天B.15米/天C.20米/天D.25米/天
【例二】（2013年广州市考）某工厂生产一批零件，原计划每天生产100个，因技术改进，实际每天生产120个。
结果提前4天完成任务，还多生产80个。
则工厂原计划生产零件数是：
A.2520B.2600C.2800D.2880
3.2工程量基本比例关系
基本比例关系：
工作量相同：
效率和时间成反比，效率高用时少
效率相同：
工作量和时间成正比，活多用时多
时间相同：
工作量和效率成正比，效率高干活多
【例一】（2012年吉林省考）为迎接校动动会，学生会决定将160把折扇平均分给甲乙两个社团手工制作，由于乙社团另有任务，所以在甲社团开始工作3小时后，乙社团才开始工作，因此比甲社团晚20分钟完成任务。
已知乙社团每小时制作的折扇个数是甲社团的三倍，则乙社团每小时制作折扇个数是：
A.45B.60C.75D.90
【例二】（2012年北京市考）三个快递员进行一堆快件的分拣工作，乙和丙的效率都是甲的1.5倍。
如果乙和丙一起分拣所有的快件，将能比甲和丙一起分拣提前36分钟完成。
问如果甲乙丙三人一起工作，需要多长时间能够完成所有快件的分拣工作：
A.1小时45分B.2小时C.2小时15分D.2小时30分
【例三】（2011年国考）同时打开游泳池的A,B两个进水管，加满水需1小时30分钟，且A管比B管多进水180立方米，若单独打开A管，加满水需2小时40分钟，则B管每分钟进水多少立方米：
A.6B.7C.8D.9
3.3单独完工问题题型解析
常用解题思路：
因人数改变或技术改进导致效率改变，此类问题较简单，抓住工作量不变，用基本公式直接解题即可。
【例一】（2011年广东省考）有20名工人修筑一段公路，计划15天完成。
动工3天后抽出5人去其他工地，其余人继续修路。
如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用：
A.19天B.18天C.17天D.16天
【例二】（2012年深圳市考）工程队计划150天完成建筑，现计划30天后新增设备，提高20%工作效率，可以提前几天完成：
A.20B.25C.30D.45
【例三】（2013年浙江省考）某工厂原来每天生产100个零件，现在工厂要在12天内生产一批零件，只有每天多生产10%才能按时完成工作。
第一天和第二天由于部分工人缺勤，每天只生产了100个，那么以后10天平均每天要多生产百分之几才能按时完成工作：
A.12%B.13%C.14%D.15%
【例四】（2013年天津市考）某项工程计划300天完工，开工100天后，由于施工人员减少
升级会员 