莱布参考资料尼茨三角形.docx

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莱布参考资料尼茨三角形

莱布尼茨

北京大学孙小礼

中国科学院自然科学史研究所张祖贵

　莱布尼茨，G．W．（Leibniz，GottfriedWilhelm）1646年7月1日（儒略历，1646年6月21日）生于德国莱比锡；1716年11月14日卒于德国汉诺威．数学、科学、哲学．

　　莱布尼茨出身书香门第，父亲弗里德里希·莱布尼茨（Frie-drichLeibniz，1597—1652）是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲凯瑟琳娜·施马克（KatherinaSchmuck，1621—1664）出身教授家庭，虔信路德新教．父母亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目染，使莱布尼茨从小就十分好学．他最先是对诗歌和历史有着浓厚的兴趣．父亲在他6岁时去世了，留给他十分丰富的藏书．知书达理的母亲担负起儿子的幼年教育．莱布尼茨8岁时入尼古拉学校，学习拉丁文、希腊文、修辞学、算术、逻辑、音乐以及圣诗、路德教义等，对逻辑学很感兴趣．他不满足学校所学的内容，充分利用家中的藏书，广泛接触了古希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作．13岁时，他就试图改进亚里士多德（Aristotle）的范畴理论．

　　1661年，莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律，刚一进校就跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，还抓紧时间学习哲学和科学，广泛地阅读了F．培根（Bacon）、J．开卜勒（Kepler）、G．伽利略（Galileo）等人的著作，并且对前人的著述进行深入的思考和评价．1663年5月，他以题目为“论个体原则方面的形而上学争论”（DisputatioMetaphysicadeprincipioIndiuidui）的论文获学士学位．

　　1663年夏季，莱布尼茨前往耶拿大学，跟随E．魏格尔（Weigel）系统地学习了欧氏几何，使他开始确信毕达哥拉斯-柏拉图（Pythagoras-Plato）宇宙观：

宇宙是一个由数学和逻辑原则所统率的和谐的整体．

　　1664年1月，莱布尼茨写出论文“论法学之艰难”（Specimendifficultatisinlure），获哲学硕士学位．是年2月12日，他18岁时母亲去世了．他一生在思想、性格方面受母亲影响颇深．

　　从1665年开始，莱比锡大学审查他提交的博士论文“论身份”（DeConditionibus），但1666年以他太年轻（年仅20岁）为由而拒绝授予他法学博士学位．对此他很气愤，毅然离开莱比锡前往纽伦堡附近的阿尔特多夫大学，并立即向学校提交了早已准备好的那篇博士论文，1667年2月该大学授予他法学博士学位，还聘请他为法学教授．但是他拒绝了，决心投身到外部世界，去干更有意义的事情．莱布尼茨在纽伦堡加入了一个炼金术士团体．1667年，通过该团体结识了政界人物博因堡男爵约翰·克里斯蒂安（JohannChoristian，FreiherrVonBoyneburg，1622—1672），并经男爵推荐给迈因茨选帝侯J．D．冯·舍恩博恩（vonSch

nborn），从此莱布尼茨登上了政治舞台．

　　1669年，通过阅读英国皇家学会《会刊》（PhilosophicalTran-sactions），莱布尼茨了解到C．U．惠更斯（Huygens）正在与别人讨论有关碰撞问题，促使他开始思考自然哲学问题．

　　从1671年开始，莱布尼茨利用外交活动开拓了与外界的广泛联系，尤以通信作为他获取外界情况、与人进行思想交流的一种主要方式．从这一年起，他与英国皇家学会秘书亨利·奥顿伯格（HenryOldenburg），以及巴黎科学院的著名学者们书信往来长达几十年．

　　1671—1672年冬季，莱布尼茨受迈因茨选帝侯之托着手准备制止法国进攻德国的计划．1672年，他作为一名外交官出使巴黎想游说法国国王路易十四（LouisXIV，LeGrand）放弃进攻，却始终未能与法王见面，这次外交活动以失败而告终．

　　但是，在1672—1676年留居巴黎期间，莱布尼茨却开始了自己的学术生涯．当时巴黎是欧洲科学文化中心．他学习了法语，结识了科学界、哲学界的许多著名人士，使他的思想、行动开始越出德国而走向世界．他一生中的许多科学成就和科学思想，如微积分等等，都是在这一时期取得或萌发的．

　　1673年1月，为了促进英国与荷兰之间的和解，他前往伦敦进行斡旋，未果．但他却趁机与英国学术界知名学者建立了联系．他见到了已通信三年的奥顿伯格，结识了R．胡克（Hooke）、R．玻意耳（Boyle）等人．1673年3月回到巴黎，4月即被推荐为英国皇家学会会员．这一时期，他的兴趣越来越明显地朝向数学和自然科学．

　　1673年2月，他的保护人和挚友冯·舍恩博恩去世，使莱布尼茨失去了职位和薪金，仅仅是一位家庭教师了，当时年仅28岁．他曾多方设法谋求外交官职位或在法国科学院谋职，都没有成功．因此只好接受汉诺威公爵约翰·弗里德里希（JohannFriedrich）的邀请，离开巴黎前往汉诺威．

　　莱布尼茨于1676年10月4日离开巴黎，先在伦敦短暂停留，继而前往荷兰见到了A．U．列文虎克（Leeuwenhoek）．列文虎克使用显微镜第一次观察了细菌、原生动物和精子，这些对莱布尼茨的哲学思想曾经产生了影响．他于11月底抵达汉诺威，担任不伦瑞克公爵府法律顾问兼图书馆长．汉诺威成了他的永久居住地．

　　在汉诺威定居后，莱布尼茨广泛地研究哲学和各种科学、技术问题．他的哲学思想逐渐走向成熟，同时也从事多方面的学术文化和社会政治活动．不久他就成为宫庭议员，在社会上开始声名显赫，生活也由此而富裕．1682年，与O．门克（Mencke）创办拉丁文科学杂志《教师学报》（又译《学术记事》）（Actaeruditorumlip-siensium，1682—1732）．他的数学、哲学文章大都在该杂志刊登．

　　1679年，不伦瑞克公爵约翰·弗里德里希突然去世，其弟奥古斯特（ErnestusAugustus）继任爵位，莱布尼茨仍保留原职．新公爵夫人苏菲（C．U．H．Sophie）是他的哲学学说的崇拜者，“世界上没有两片完全相同的树叶”，这一名言就出自他与苏菲的谈话．新公爵聘请他编写不伦瑞克家族的历史．为了从事这一工作，他在欧洲作了广泛的学术旅行．

　　1687年，莱布尼茨离开汉诺威外出旅行．1688年5月抵达维也纳，拜见了奥地利皇帝利奥波德一世（LeopoldⅠ），他为皇帝构画出的一系列经济、科学规划，给皇帝留下了深刻印象．他试图在奥地利宫庭中谋一职位，但直到1713年才得到肯定答复，而他请求奥地利建立一个“世界图书馆”的计划则始终未能实现．随后他前往威尼斯，然后抵达罗马．在罗马，他被选为罗马科学与数学科学院成员．1690年3月左右回到汉诺威，由于撰写不伦瑞克史料的功绩，他获取了枢密顾问宫职务．

　　在1700年世纪转变时期，莱布尼茨热心地从事于科学院的筹划、建设事务．他竭力提倡集中人才研究学术、文化和工程技术，从而更好地安排社会生产，指导国家建设．从1695年起，他就一直为在柏林建立科学院而四处奔波，1698年为此亲往柏林．1700年当他第二次访问柏林时，终于得到了弗里德里希一世（FriedrichⅠ，1701—1713年在位），特别是其妻子（汉诺威奥古斯特公爵之女）的赞助，建立了柏林科学院，他出任首任院长．1700年2月，他被选为法国科学院院士．

　　1713年初，维也纳皇帝授予他帝国顾问的职位，并封他为男爵，邀请他指导建立科学院．俄国的彼得大帝（PeterI，TheGreat）也在1711—1716年几次听取了他关于建立科学院的建议，并于1712年给予他一个有薪水的数学和科学宫庭顾问的职务．1712年左右，他被维也纳、不伦瑞克—纽伦堡、柏林、维也纳和彼得堡五个王室所雇用．他一有机会总是鼓吹他的编写百科全书、建立科学院以及利用技术改造社会的计划．后来维也纳科学院、彼得堡科学院先后都建立起来了．传说他还曾写信建议康熙皇帝在北京建立科学院．

　　汉诺威公爵奥古斯特选帝侯1698年去世后，继任的公爵乔治·路德（GeorgeLudwig，1660—1727，即后来的英王乔治一世）对莱布尼茨不甚信任，使他在各个王室包括在汉诺威都开始遭受冷遇．

　　1714年，当听到乔治·路德成为英国国王的消息后，68岁高龄的莱布尼茨于9月14日从外地回到了汉诺威．但三天前乔治·路德已经作为乔治一世国王前往英国了．他请求在伦敦宫庭谋一历史学家的职位，却被乔治一世拒绝．他忧心忡忡，处境每况愈下，晚年凄惨悲凉．1716年夏，乔治一世访问汉诺威时，曾同他一起渡假，这给了他少许安慰．1716年11月14日，由于痛风和胆结石症引起腹绞痛卧床一周后，莱布尼茨离开了人世，终年70岁．

数学

　　微积分1666年，莱布尼茨写成“论组合术”（DeArtCombinatoria）一文，讨论了平方数序列

0，1，4，916，…

　　的性质，例如它的第一阶差为

1，3，5，7，…，

　　第二阶差则恒等于

2，2，2，…

　　等．他注意到，自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为1＋3＋5+7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列．

　　1672年，惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目：

求三角级数（1，3，6，10，…）倒数的级数之和

　　莱布尼茨圆满地解决了这一问题，他是这样计算的：

　　初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣．通过惠更斯，他了解到B．卡瓦列里（Cavalieri）、I．巴罗（Barrow）、B．帕斯卡（Pascal）、J．沃利斯（Wallis）的工作．于是，他开始研究求曲线的切线以及求平面曲线所围图形的面积、立体图形体积等问题．1674年，他学习R．笛卡儿（Descartes）几何学，同时对代数性发生了兴趣．这一时期，他检索了已有的数学文献．

　　对于当时数学界密切关注的切线问题和求积问题，莱布尼茨在前人的基础上提出了一个普遍方法．这个方法的核心是特征三角形（characteristictriangle）．在帕斯卡、巴罗等人讨论过的特征三角形的基础上，他建立了由dx，dy和PQ（弦）组成的特征三角形．其中dx，dy的意义是这样的：

在他1666年“论组合术”中所考虑的序列中，用dx表示相邻的序数之差，dy表示两个相邻项值之差，然后在数列项的顺序中插入若干dx，dy，于是过渡到了任意函数的dx，dy．特征三角形的两条边就是任意函数的dx，dy；而PQ则是“P和Q之间的曲线，而且是T点的切线的一部分”．如图1，T是曲线y=f（x）上的一点，dx，dy分别是横坐标、纵坐标的差值．

　　利用这个特征三角形，他很快就意识到两个问题：

（1）曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值（当这些差值变成无穷小时）之比．通过考虑图1中△PQR和△STU，发现△PQR∽△STU，从而有dy/dx=Tu/Su．也就是说，曲线y上过T点的切线的斜率是dy/dx．

（2）求积（面积）依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和．

　　有了这些思想，他很快就推导出了一大批新结论．用他自己的话说就是，从特征三角形出发，“毫不费力，我确立了无数的定理”．

　　根据莱布尼茨留下的遗稿可以判定，他是在1673年建立起特征三角形思想的．他将图1中特征三角形的斜边PQ用“dS”表示，这样特征三角形又称为微分三角形（differentialtriangle）如图2，其中ds2=dx2+dy2．

　　利用特征三角形，莱布尼茨早在1673年就通过积分变换，得到了平面曲线的面积公式

　　这一公式是从几何图形中推导出来的，经常被他用来求面积．

　　1673—1674年，他给出了求一条曲线y=y（x）绕x轴旋转一周所形成的旋转体的表面积A的公式

　　同时，他还给出了曲线长度公式

　　在求面积问题方面，莱布尼茨深受卡瓦列里“线由无穷多个点构成，面由无穷多条线构成”思想的影响，认为曲线下的面积是无穷多的小矩形之和．1675年10月29日，他用“∫”代替了以前的和符号“Omn”（“∫”是Sum和）的第一个字母“s”的拉长），用∫ydx表示面积，在这份手稿中，他还从求积出发，得到了分部积分公式

　　1676年11月，他得出了公式

　　其中n是整数或分数（n≠-1）．

　　莱布尼茨的积分方面的工作是与微分方面的工作交叉进行的．

　　由于研究巴罗的著作，以及引入特征三角形，莱布尼茨越来越强烈地意识到，微分（主要是导数、求切线）与积分（求和）必定是相反的过程．在1675年10月29日的手稿中，他就注意到，面积被微分时必定给出长度，因此他开始探讨“∫”的运算（积分）和“d”的运算（微分）之间的关系，认识到要从y回到dy，必须做出y的微差或者取y的微分．经过这种不充分的讨论，他断定一个事实：

作为求和的过程的积分是微分的逆．这样，莱布尼茨就第一次表达出了求和（积分）与微分之间的关系．

　　莱布尼茨于1675—1676年给出了微积分基本定理（后来又称为牛顿-莱布尼茨公式）

（A为曲线f下的图形的面积，图3．）

　　于1693年给出了这个定理的证明．以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别地加以研究的．卡瓦列里、巴罗、沃利斯等许多人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果是孤立、不连贯的．虽然他们已开始考虑微分和积分之间的关系，然而只有莱布尼茨和牛顿（各自独立地）将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者的内在的直接联系：

微分和积分是互逆的两种运算．而这正是建立微积分学的关键所在．只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学．并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则．

　　莱布尼茨于1684年10月发表在《教师学报》（Actaerudito-rum）上的论文，题目是“一种求极大值与极小值和求切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算”（NovaMethodusproMaximisetMinimis，itemquetangentibus，quaenecfractas，necirrationalesquantitatesmoratur，etsingulareproillisCalculigenus），在数学史上被公认为是最早发表的微积分文献．

　　早在1677年7月11日前后及11月左右，莱布尼茨明确定义了dy为函数微分，给出了dy的演算规则：

　　“如果a是给定的常数，则da=0，dax=adx；

　　加法和减法v=z—y＋w＋x，dv=dz-dy+dw＋dx；

　　乘法y=vx，dy=vdx+xdv

　　在1676—1677年的手稿中，他利用特征三角形分析了曲线切线的变化情况：

对于曲线v=v（x），当dv与dx之比为无穷大时，切线垂直于坐标轴（x轴）．当dv与dx之比等于0时，切线平行于x轴，当dv=dx≠0时，则切线与坐标轴成45°角，他指出，对于曲线v，当dv=0时，“在这个位置的v，明显地就是极大值（或极小值）”，他详细讨论了当dv＜0，而变成dv=0后又dv＜0时取极大值，反之则取极小值的情形．他还给出了拐点——曲线的凹凸情况发生变法的条件是d2v=0．

　　以后，莱布尼茨具体求出了各种各样复杂函数的微商（导数）．1686年，给出了对数函数，指数函数的微商．1695年求出了y=xx的微商dy=xx（1+lnx），等等．

　　他引入了n阶微分的符号dn，并且给出了高阶微分的“莱布尼茨法则”：

　　其中

n！

=1×2×3×…×（n-1）×n．

　　莱布尼茨在积分方面的成就，后来比较集中地写在1686年5月发表在《教师学报》上的一篇论文中，题为“潜在的几何与不可分量和无限的分析”（DeGeometriareconditaetAnalysiIndivisi-biliumatqueInfinitorum）．

品中出现了积分符号．同年，他引入了空间曲线的“密切”（osculating）这一术语，并给出了曲率ρ公式：

　　其中R为曲率半径．

　　1692年和1694年，他给出了求一族曲线f（x，y，α）=0（α为曲线族参数）包络的普遍方法：

在

　　中消去α．实际上，用微积分方法研究几何在微积分奠基者（牛顿、莱布尼茨等）那里已经开始了．切线、包络等几何问题在莱布尼茨手中是与微积分连在一起的．

　　无穷级数在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相当困难，然而人们发现，若用它们的级数来处理，则非常有成效．因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分．有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量，如莱布尼茨曾用无穷级数表达式计算π（圆周率）．

　　在求面积的过程中，通过无穷级数表示圆在第一象限的面积，他得到了π的一个十分漂亮的表达式（图4）：

　　1673年左右，他独立地得到了sinx，cosx和arctgx等函数的无穷级数展开式．还得到了圆面积和双曲线面积的具体展开式，并且将这些展开式与反正切、余割、正弦函数、自然对数函数、指数函数联系起来了．他经常利用级数展开式研究超越函数．有时还将多项式定理用于分式函数或超越函数的展开式．

无穷级数展开式，得到了如下的式子：

误的．直到1734—1735年，L．欧拉（Euler）才得到

　　在1713年10月25日写给约翰·伯努利（JohnBernoulli）的信中，莱布

“莱布尼茨判别法”，但他当时的证明却错了．在考虑级数

还相当混乱．

　　微分方程微分方程在微积分创立之初就为人们所关注．1693年，莱布尼茨称微分方程为特征三角形的边（dx，dy）的函数．在微分方程方面，他进行了一系列工作．其中有些工作是十分独特的．

　　1691年，他提出了常微分方程的分离变量法，解决了形如

　　型方程的求解问题．方法是，先写成

　　然后两边积分．

　　这一年，他还提出了求解一次齐次方程

　　的方法：

　　因此经过这种变换，原来的一次齐次方程就变成了

　　1694年，他证明了把一阶线性常微分方程y′＋P（x）y=Q（x）化成积分方程的正确方法，他的方法使用了因变量替换．同时，他还给出了（y′）2+p（x）y′＋q（x）=0的解法．1694年，他和约翰·伯努利引进了找等交曲线或曲线族的问题，并求出了一些特殊问题的解．

　　1696年，他证明了，利用变量替换z=y1-n，可以将伯努利方程

变换x=P11u+P12v，y=P21u+P22v可以将微分方程

a00＋a10x＋（a01＋a11x）y′=0

　　进行简化．

　　通过求解微分方程，莱布尼茨解决了许多具体问题．例如，1686年，他解决了这样的问题：

求一条曲线，使得一个摆沿着它作一次完全振动，都用相等的时间，而无论摆所经历的弧长怎样（即等时问题）．他指出，

证明，并认识到了圆函数、三角函数的超越性，弄清了许多超越函数的基本性质．此外，他还考虑过概率方程．这一时期，他还求出了十分重要的曳物线方程：

　　1691年，他给出了自达·芬奇（L．DaVinci）时代就考虑过的悬链线（catenary，这个名称是莱布尼茨给出的）方程为

　　1696年，约翰·伯努利提出了著名的最速降线问题：

　　求从一给定点到不是在它垂直下方的另一点的一条曲线，使得一质点沿这条曲线从给定点P1下滑所用的时间最短（图5）；其中摩擦和空气阻力都忽略．

　　这是约翰·伯努利向全欧洲数学家发出的挑战．1697年，莱布尼茨和I．牛顿（Newton）、G．F．A．洛比达（L’Hospital）、约翰·伯努利分别解决了最速降线问题，指出这是由方程

　　表示的上凹的旋轮线，并由此开始了变分法的研究．

　　数学符号、代数莱布尼茨在微积分方面的贡献突出地表现在他发明了一套适用的符号系统．1675年引入dx表示x的微分，“∫”表示积分，ddv，dddy表示二阶、三阶微分．1695年左右用dmn表示m阶微分．他比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一．他自觉地和格外慎重地引入每一个数学符号，常常对各种符号进行长期的比较研究，然后再选择他认为最好的、富有启示性的符号．他创设的符号还有

　　此外还有对数符号、函数符号、行列式符号等等．很多符号的普遍使用与他的提倡和影响密切相关．他还引入了“函数”（function）、“常量”（constantquantity）、变量”（variate）、“参变量”（para-meter）等术语．

　　在代数学方面，莱布尼茨不仅强调引入符号的重要性，而且还讨论了负数、复数的性质，认为复数的出现是无害的，断言复数的对数是不存在的，为此曾在当时的数学界掀起了一场关于负数、虚数的对数之争论．在研究复数时，他还得出过这样的结论：

共轭复数的和是实数

用一般的复数表示．他把虚数看作是存在（being）与非存在（not-being）的中介．

　　在1678年以前，莱布尼茨就开始了对线性方程组、行列式的研究，对消元法从理论上进行了探讨．在1693年4月28日致洛比达的信中他提出了行列式概念：

“我引进方程：

　　此处，在两个数码中，前者表示此数所属的方程式，后者代表此数所属的字母（未知数）．”这样，他创设了采用两个数码的系数记号，相当于现在的aik，为矩阵和行列式一般理论的发展提供了方便的工具．

　　莱布尼茨与牛顿的发明权之争1698年，瑞士人法蒂奥·德迪勒（NicolasFatiodeDuiller）断言，牛顿比莱布尼茨先发明微积分，而后者可能是剽窃，于是掀起了一场发明微积分的优先权问题的论战．拥护莱布尼茨的欧洲大陆派与拥护牛顿的英国数学家之间开始了长达一个多世纪的争论．1713年，莱布尼茨发表“微积分的历史和起源”（HistoriaetorigoCalculidifferen-tialis，1713）一文，力图说明自己成就的独立性．实际上，牛顿在微积分方面的研究虽然早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿．牛顿在《自然哲学的数学原理》（Philosophiaenaturalisprincipiamathematica）的第一版（1687年）和第二版（1713年）中都写道：

“十年前在我和最杰出的几何学家G．W．莱布尼茨的通信中，我表明我已知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的人在回信中写道，他也发现了一种同样的方法．他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外．”但在第三版（1726年）及以后再版时，这段话却被删去了．事实上后来人们都公认，他们是相互独立地创立了微积分．

　　尽管如此，他们两人的工作确有差异，各有特色．牛顿注重物理方面，而莱布尼茨则侧重在几何方面，并与他的“单子”概念有联系，有一定的哲学色彩；牛顿的工作方式是经验的、具体的和谨慎的，在符号方面不甚用心，而莱布尼茨则是富于想象和大胆的，力图运用符号建立一般法则，善于把具体结果加以推广和普遍化．

计算机

　　莱布尼茨是在未看到帕斯卡的加法计算机的情况下，发明他的算术计算机（machin