学年高二上学期第一次月考数学试题.docx

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学年高二上学期第一次月考数学试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1.等差数列{an}中，，a2+a5+a8=33，则a6的值为（）

A.10B.9C.8D.7

【答案】B

【解析】等差数列中，

故答案选

2.若{an}是等比数列，已知a4a7=－512，a2+a9=254，且公比为整数，则数列的a12是（）

A.－2048B.1024C.512D.－512

【答案】A

【解析】由等比数列性质可得，

且公比为整数，联立解得

又

故答案选

3.在中，，则等于（）

A.B.或C.D.

【答案】B

【解析】在中，由正弦定理得，所以

，因为，所以，又，所以或。

选B。

4.数列1，，，……，的前n项和为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

数列，

的前项和

点睛：

在数列求和的过程中先找出通项，本题中的通项需要先进行化简，然后裂项形如：

，然后运用裂项求和的方法求出结果。

当遇到通项含有分式的时候，可以思考是否能用裂项的方法解答。

5.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】成等差数列，

平方得,

又的面积为，且

故由,

得

由余弦定理

解得

又为边长，

故答案选

点睛：

根据等差中项的性质可得运用平方求得边长的数量关系，再根据面积公式求出的值，代入余弦定理求得结果

6.已知等比数列{an}的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为（）

A.15B.17C.19D.21

【答案】B

【解析】试题分析：

，所以前8项的和为

考点：

等比数列性质

7.在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（）

A.B.2C.D.4

【答案】B

【解析】试题分析：

故选B.

考点：

解三角形.

8.设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论错误的是（）

A.B.C.D.和均为的最大值

【答案】C

【解析】试题分析：

由得，又，所以，故B正确；同理由得，因为，故A正确；而C选项即，可得,由结论，显然C错误；因为与均为的最大值，故D正确，故选C.

考点：

1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和.

9.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.不能确定D.等腰三角形

【答案】B

【解析】∵，∴，

由正弦定理得，

∴,

∵,

∴，∴，故。

∴或，

∴或。

∴△ABC为等腰或直角三角形。

选B

点睛：

判断三角形形状的途径：

（1）化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

（2）化角为边，通过代数变换找出边之间的关系。

在以上两种方法中，正（余）弦定理是转化的桥梁，无论使用哪种方法，都不要随意约掉等式两边的公因式，否则会有漏解的可能。

10.如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】当即,即时，三角形无解；

当即，即时，三角形有

解；

当即,即时，三角形有个解；

当即时，三角形有个解；

综上所述，当或时，三角形恰有个解。

故答案选

11.已知两座灯塔A、B与C的距离都是，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（　　）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】.

试题分析：

作出图如图，由题知∠ACB=120，AC=BC=，由余弦定理得AB===.

考点：

方位角；余弦定理

12.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项的值是（　　）

A.42B.45C.48D.51

【答案】B

【解析】试题分析：

先寻找规律，将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第段个数，设，则在第个数段，由于第个数段共有个数，可先求出前组中的所有的项的个数，可求

将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第段个数，

设，则在第个数段，由于第个数段共有个数，

则由题意应满足，

解得．

答案：

B．

考点：

等差数列求和的应用．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则角B的值为____________

【答案】

【解析】解：

由余弦定理可知

14.已知数列{an}的前n项和Sn=3n﹣2，求{an}的通项公式_________．

【答案】

【解析】当时，=1，当时

验证当时，不符合，故舍去，所以

15.某企业在2016年初贷款M万元，年利率为m，从该年的年末开始计算，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值是____________

【答案】

【解析】根据题意，某企业在年初贷款万元，年利率为,到第十年年末，本金加利息共计：

，企业每年末还款万元，十年共还现金（包括生息）

由两式相等得：

所以的值是

16.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a2+c2=2b2，，且A为钝角，则角A的值是______________

【答案】

【解析】由题设及正弦定理有：

故,因为为钝角，

由，可得,得,

故角

点睛：

运用正弦定理进行边角互化，再运用诱导公式进行化简，求得结果，遇到条件中的边的关系利用正弦定理可以转化为角的关系。

三、解答题（第17题10分，第18至第22题各12分，共70分）

17.在数列中，

（1）证明：

数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

【答案】

（1）见解析

（2）

【解析】试题分析：

由,知数列是首项公比为的等比数列，由此能求出的通项公式。

由的通项公式为，知,从而得到数列的前项。

证明：

（1）

是以4为首项，2为公比的等比数列。

（2）由

（1）得

18.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b．

（1）求角A的大小；

（2）若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．

【答案】

（1）

（2）

.....................

试题解析：

解：

（1）由已知得到:

，且，且;6分

（2）由

（1）知，由已知得到:

所以12分

考点：

（1）在三角形中，求角的大小；

（2）求三角形的面积；

19.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=．

（I）求△ABC的周长；（II）求cos（A﹣C）的值．

【答案】

（1）5

（2）

【解析】试题分析：

（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；

（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．

解：

（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，

∴c=2，

∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．

（II）∵cosC=，∴sinC===．

∴sinA===．

∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，

∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．

考点：

余弦定理；两角和与差的余弦函数．

20.如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。

（1）求cos∠CB的值；

（2）求AE。

【答案】

（1）

（2）

【解析】略

21.已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足，a2+a7=16

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{an}和数列{bn}满足等式（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．

【答案】

（1）

（2）

【解析】试题分析：

设等差数列的公差为，分别表示出联立方程求得和，进而根据等差数列通项公式求得

解：

（1）设等差数列{an}的公差为d，

则依题意可知d＞0由a2+a7=16，

得2a1+7d=16①

由=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55②

由①②联立方程求得

得d=2，a1=1或d=﹣2，a1=（排除）

∴an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1

令cn=，则有an=c1+c2+…+cn

an+1=c1+c2+…+cn+1

两式相减得

an+1﹣an=cn+1，由

（1）得a1=1，an+1﹣an=2

∴cn+1=2，即cn=2（n≥2），

即当n≥2时，

bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2

∴bn=

于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6,

点睛：

在求通项时，可以采用的方法，需要注意计算完通项后一定要验证，这里的要看成和的形式，然后计算。

22.已知数列前项和，数列为等比数列，首项，公比为

，且满足成等差数列．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，记数列的前项和为，求．

【答案】

（1）

（2）

【解析】试题解析：

把当时，当时，代入,化简求出，由等差中项的性质求出公比,代入等比数列的通项公式求出。

由和条件求出，利用错位相减法求出数列的前项和。

解（Ⅰ）当n=1时，．

当n≥2时，,

验证时也成立．∴数列的通项公式为：

，

∵成等差数列，所以，

即，

因为∴

∴数列的通项公式为：

（Ⅱ）∵

∴……①

…………………②

由①-②得：

∴

点睛：

当遇到条件中的形式时，为等差数列的通项，为等比数列的通项时，的求和就要用错位相减法，等式两边同乘等比数列的公比，然后相减，最后再运用等比数列的求和进行运算。