高考数学分类汇编统计概率篇.docx
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高考数学分类汇编统计概率篇
2018年高考数学分类汇编统计概率篇
（2018年北京卷，理科）17．（12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：
一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
【解答】解：
（Ⅰ）设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，
总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，
第四类电影中获得好评的电影有：
200×0.25=50部，
∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：
P（A）=
=0.025．
（Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，
第四类获得好评的有：
200×0.25=50部，
第五类获得好评的有：
800×0.2=160部，
则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：
P（B）=
=0.35．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：
ξk=
，
则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：
第一类电影：
ξ1
1
0
P
0.4
0.6
E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4，
D（ξ1）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24．
第二类电影：
ξ2
1
0
P
0.2
0.8
E（ξ2）=1×0.2+0×0.8=0.2，
D（ξ2）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．
第三类电影：
ξ3
1
0
P
0.15
0.85
E（ξ3）=1×0.15+0×0.85=0.15，
D（ξ3）=（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2×0.85=0.1275．
第四类电影：
ξ4
1
0
P
0.25
0.75
E（ξ4）=1×0.25+0×0.75=0.15，
D（ξ4）=（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.75）2×0.75=0.1875．
第五类电影：
ξ5
1
0
P
0.2
0.8
E（ξ5）=1×0.2+0×0.8=0.2，
D（ξ5）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．
第六类电影：
ξ6
1
0
P
0.1
0.9
E（ξ6）=1×0.1+0×0.9=0.1，
D（ξ5）=（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09．
∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为：
Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．
（2018年北京卷，文科）17．（13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：
一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？
（只需写出结论）
【解答】解：
（Ⅰ）总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，
获得好评的第四类电影200×0.25=50，
故从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率
=
；
（Ⅱ）获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372，
估计这部电影没有获得好评的概率为1﹣
=0.814，
（Ⅲ）故只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，则使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大．
（2018年浙江高考数学理科）7．（4分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
则当p在（0，1）内增大时，（ ）
A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小
【解答】解：
设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
E（ξ）=0×
+1×
+2×
=p+
；
方差是D（ξ）=
×
+
×
+
×
=﹣p2+p+
=﹣
+
，
∴p∈（0，
）时，D（ξ）单调递增；
p∈（
，1）时，D（ξ）单调递减；
∴D（ξ）先增大后减小．
故选：
D．
（2018年江苏高考数学理科）6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 0.3 ．
【解答】解：
（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，
共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，
故选中的2人都是女同学的概率P=
=0.3，
（2018年高考数学全国卷1理科）3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【解答】解：
设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
A项，种植收入37×2a﹣60%a=14%a＞0，
故建设后，种植收入增加，故A项错误．
B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，
建设前，其他收入为4%a，
故10%a÷4%a=2.5＞2，
故B项正确．
C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，
建设前，养殖收入为30%a，
故60%a÷30%a=2，
故C项正确．
D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
（30%+28%）×2a=58%×2a，
经济收入为2a，
故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，
故D项正确．
因为是选择不正确的一项，
故选：
A．
（2018年高考数学全国卷1文科）3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
（2018年高考数学全国卷1理科）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）
A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3
【解答】解：
如图：
设BC=a，AB=c，AC=b，
∴a2=b2+c2，
∴SⅠ=
×4bc=2bc，SⅢ=
×πa2﹣2bc，
SⅡ=
×πc2+
×πb2﹣SⅢ=
×πc2+
×πb2﹣
×πa2+2bc=2bc，
∴SⅠ=SⅡ，
∴P1=P2，
故选：
A．
（2018年高考数学全国卷1文科）19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：
m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1）
[0.1，0.2）
[0.2，0.3）
[0.3，0.4）
[0.4，0.5）
[0.5，0.6）
[0.6，0.7）
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1）
[0.1，0.2）
[0.2，0.3）
[0.3，0.4）
[0.4，0.5）
[0.5，0.6）
频数
1
5
13
10
16
5
（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？
（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
【解答】解：
（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，
作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：
（2）根据频率分布直方图得：
该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为：
p=（0.2+1.0+2.6+1）×0.1=0.48．
（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：
（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）=0.48，
使用节水龙头50天的日均用水量为：
（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）=0.35，
∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：
365×（0.48﹣0.35）=47.45m3．
（2018年高考数学全国卷1理科）20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解答】解：
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），
则f（p）=
，
∴
=
，
令f′（p）=0，得p=0.1，
当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，
当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，
∴f（p）的最大值点p0=0.1．
（2）（i）由
（1）知p=0.1，
令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），
X=20×2+25Y，即X=40+25Y，
∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，
∵E（X）=490＞400，
∴应该对余下的产品进行检验．
（2018年高考数学全国卷2理科）8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，
从中选2个不同的数有
=45种，
和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，
则对应的概率P=
=
，
故选：
C．
（2018年高考数学全国卷2理科）18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：
亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：
=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：
=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？
并说明理由．
【解答】解：
（1）根据模型①：
=﹣30.4+13.5t，
计算t=19时，
=﹣30.4+13.5×19=226.1；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；
根据模型②：
=99+17.5t，
计算t=9时，
=99+17.5×9=256.5；．
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；
（2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，
从2010年到2016年间递增的幅度较大些，
所以，利用模型②的预测值更可靠些．
（2018年高考数学全国卷2文科）5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
【解答】解：
从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，
故选中的2人都是女同学的概率P=
=0.3，
（2018年高考数学全国卷2文科）18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：
亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：
=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：
=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？
并说明理由．
【解答】解：
（1）根据模型①：
=﹣30.4+13.5t，
计算t=19时，
=﹣30.4+13.5×19=226.1；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；
根据模型②：
=99+17.5t，
计算t=9时，
=99+17.5×9=256.5；．
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；
（2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，
从2010年到2016年间递增的幅度较大些，
所以，利用模型②的预测值更可靠些．
（2018年高考数学全国卷3理科）8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（ ）
A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
【解答】解：
某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），
P（x=4）＜P（X=6），可得
，可得1﹣2p＜0．即p
．
因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．
故选：
B．
（2018年高考数学全国卷3理科）18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？
并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据
（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：
K2=
，
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解答】解：
（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在70～92之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65～90之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=
=80；
由此填写列联表如下；
超过m
不超过m
总计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
总计
20
20
40
（3）根据
（2）中的列联表，计算
K2=
=
=10＞6.635，
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
（2018年高考数学全国卷3文科）5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
【解答】解：
某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，
所以不用现金支付的概率为：
1﹣0.45﹣0.15=0.4．
故选：
B．
（2018年高考数学全国卷3文科）14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 分层抽样 ．
【解答】解：
某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，
为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，
可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
则最合适的抽样方法是分层抽样．
故答案为：
分层抽样．
（2018年高考数学全国卷3文科）18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？
并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据
（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：
K2=
，
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解答】解：
（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在70～92之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65～90之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=
=80；
由此填写列联表如下；
超过m
不超过m
总计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
总计
20
20
40
（3）根据
（2）中的列联表，计算
K2=
=
=10＞6.635，
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
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