初中数学概念的教学.docx

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初中数学概念的教学

本课题是本人认为在教学过程中概念是教师难教，学生难学。

又是数学知识体系中重要的一环，所以想谈谈本人在教学中所学知识及经验总结的一些粗俗的看法，但由于本人能力有限，有些看法可能较浅，甚至存在不妥，请老师们多多指教。

概念是数学知识系统中的基本元素。

数学概念的建立是解决数学问题的前提。

学生运用数学概念进行推理、判断过程中要得出正确的结论，首先要正确地掌握概念。

这是决定教学效果的首要因素、基础因素和贯穿始终的因素。

所以，概念教学在数学教学中有不容忽视的地位。

概念是最基本的思维形式，数学中的命题，都是由概念构成的；数学中的推理和证明，又是由命题构成的。

因此，数学概念的教学，是整个数学教学的一个重要环节；正确地理解数学概念，是掌握数学知识的前提。

概念的形成实质可分为两个阶段，从表象通过分析，综合发展为抽象的概括，在具体的应用中使抽象的概念再得以再现。

那么，如何使学生的表象抽象出本质属性，如何应用于实际呢？

一.概念的引入

数学概念的引入一般有以下四种方式:

1.联系实际事物或实物，模型介绍，对概念作唯物的解释

恩格斯指出:

“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。

”数学来源于客观世界，应用于客观世界。

离开了客观存在，离开了从现实世界得来的感觉经验，数学概念就成了无源之水，无本之木，而只是主观自生的靠不住的东西。

从这个意义上来说，形成准确概念的首要条件，是使学生获得十分丰富（不是零碎不全）和合乎实际（不是错觉）的感觉材料。

因此，在数学概念的教学中，要密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，让学生观察有关的事物、图示、模型的同时，获得对所研究对象的感性认识，逐步认识本质，建立概念。

就拿我在教学中举例来说，在讲平面直角坐标系时，可以用电影票上的排号引入。

“负数”可用零上几度与零下几度、前进几米与后退几米、收入多少元与支出多少元等等这些相反意义的量来引入，这些都是身边的实例，同时也可以结合图示的直观进行分析，让学生看到也感到，数学就是来源于生活。

恰当地联系数学概念的原型，可以丰富学生的感性认识，有利于理解概念的实际内容；同时也有助于学生体会学习新概念的目的意义，弄清每一概念是从什么问题提出的，又是为了解决什么问题的，从而激发学习新概念的主动性和积极性。

2.用类比的方法引入概念

类比不仅是思维的一种重要形式，也是引入概念的一种重要方法。

就拿我在教学中举例来说:

在讲分式的基本性质的引入，我就是通过具体例子引导学生回忆以前小学中分数通分、约分的依据——分数的基本性质，再用类比的方法得出的。

这样的引入不仅回忆旧知识，同时容易接受和掌握新知识。

3.在学生原有的基础上引入新概念

概念的定义当中，有一种定义方式叫属加种差定义。

种概念的内涵在属概念的定义当中已被揭露出来。

所以只要抓住种概念的本质特征（即种差）进行讲授便可以建立起新概念，比如在引导学生学习四边形后，只要把平行四边形的条件特殊后便可引入菱形、矩形、正方形。

需要注意的是尽管同一数学概念可以有多种不同的定义，但在同一数学体系中，一般只能采用一个定义。

事物方面的本质属性，可以由所给的定义推出，作为性质定理处理。

这样分析后，让学生在大脑中形成这些概念间的联系与区别，对知识的掌握很有条理性。

4.从数学的本身内在需要引入概念

在学生的历程中，以及人类史上数学的发展，概念都是在不断的需求中引进的。

比如人类起初没有数的概念，便用结绳的办法记数，当有了自然数的概念后，记数问题解决了，可是在减法中自然数不能满足，便引入负数。

当作除法时，整数不够用了，便引入了分数，使数扩展为有理数。

但进一步学习，计算边长为1的正方形的对角线时就不是有理数了，又引入了无理数。

通过这样的讲述，让学生切身的体会到了，数学确实来源于生活，又服务于生活。

这样的一步步需求一步步满足，不断地激发学生的求知欲。

二.概念的形成

概念是反映客观事物本质属性的思维形式。

是人们在长期的生产实践中，抓住事物的本质属性而总结出来的。

在给学生讲课中，在引入阶段教师必须对概念的形成过程，对概念的本质属性剖析彻底，然后用定义将其揭示出来，这样学生才能知其然，更能知其所以然。

1.注重概念的形成过程

注重概念的形成过程，符合学生的认知规律。

在教学过程中忽视概念的形成过程，把形成概念的生动过程变为简单的“条文加例题”，对概念的理解是极为不利的。

注重概念的形成过程可以完整的、本质的、内在的揭示概念的本质属性，使学生对理解概念具备思想基础，同时能培养学生从具体到抽象的思维方法。

例如：

我在初中数学教学中，讲授单项式的概念的建立，展示知识的形成过程如下:

（1）让学生列代数式:

①表示正方形的边长，则正方形的周长是________；

②表示长方形的长和宽，则长方形的面积是________；

③表示正方体的棱长，则正方体的体积是________；

④表示一个数，则它的相反数是________；

⑤某行政单位原有工作人员人，现精简机构，减少25%的工作人员，则精简________人；

⑥某商场国庆七折优惠销售，则定价元的商品售价________元。

（2）让学生说出所列代数式的意义；

（3）让学生观察所列代数式包含哪些运算，有何运算特征。

揭示各例的共同特征是含有“乘法”运算,表示“积”；

（4）引导学生抽象概括单项式的概念。

讲解“单独一个数或一个字母也是单项式”的补充规定，强调学生引起注意。

这样的讲授师生互动性强，充分调动了学生的积极性和主动性，由浅入深的展示了单项式概念的整个形成过程，既不枯燥乏味，又学了新东西，很符合新课标的要求，体现了素质教育的新理念。

2.抓住概念的本质特征

数学中的概念大多数是通过描述给出它的确切含义。

对于这类概念要抓住它的本质属性，通过归纳排除定义的非本质属性。

对概念的深化认识必须从概念的内涵和外延上作深入的分析。

剖析概念的内涵就是抓住概念的本质特征。

以三角函数为例，谈一下我在教学中的认识。

主要抓住正弦函数进行剖析。

正弦函数的概念涉及到比的意义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识。

正弦函数的值本质上是一个“比值”。

（1）正弦函数，实质上就是一个“比”，是一个数值；

（2）这个比是在的终边上任取一点，那么这个“比”就是:

，其中；

（3）这个“比”的比值随的确定而确定。

这里提出这样的问题让学生思考:

“既然点是角终边上任取的一点，为什么说这个比值是确定的?

”因而需运用相似三角形原理，阐明点不论选在终边上的什么地方，比值都是相等的；

（4）由于的绝对值小于或等于，所以这个比值不超过1。

经过对正弦函数概念的本质属性分析之后，应指出:

的终边上任一点一旦确定，就涉及到这三个量，任取其中的两个就可以确定一个比值，这样的比值只有六个。

因此基本三角函数只有六个，这便是三角函数的外延。

初中阶段只学习四个。

在做上述分析时，还要紧扣函数这一基本概念，从中找出自变量、函数以及它们的对应法则。

这里自变量是，函数是“比”，这个“比”之所以叫做的函数，关键在于对于的每一个确定的值，都有确定的比值与之相对应。

有了这样的分析，学生对正弦函数的理解就比较深刻了。

3.抓住概念间的联系与区别

数学概念不是孤立的，存在着横关系和纵关系。

横关系表现为并列关系，应利用对原有概念的理解，区分易混淆的概念；纵关系表现为从属关系，启发学生进行系统归纳，能让学生明确概念的联系与区别。

例如：

点到直线的距离概念，应与两点间距离概念比较，找出共同点和不同点。

共同点：

这两个距离都指相应的两点间的线段的长；不同点：

相应的两点取法不同。

对于同种概念的比较，通过分析，抓住其本质特征，以求对概念的透彻了解。

4.举正、反例，弄清楚概念的内涵与外延

在形成概念的抽象规定前，主要是为了让学生获得概念的内涵，所出现的实际例子中的一些概念本质无关的性质，会对概念的建立起着干扰作用。

因此在这阶段的教学中，要想降低学生的心理干扰，有必要从概念的外延的角度分析概念。

让学生从较难的实例中分离出概念的本质。

例如：

讲了因式分解后，要举例子让学生识别，下列变形是否是因式分解?

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

再如：

讲了圆周角概念后，及时利用图形举例，加以剖析，这样促使学生直观地抓住概念的本质。

例如下列各角是否是圆周角?

（1）

（2）（3）（4）

这样，讲授概念后及时地举出正、反例或与该知识容易走入误区的有关例子，有效地让学生加深理解，从而正确运用概念做题。

这也是我在教学中深有体会的一点小经验。

5.揭示概念中的每一词、句的真实含义

有的概念叙述简练，寓意深刻；有的用式子表示，比较抽象。

对于这类概念的教学，只有在具体操作中认真理解每一词、句，深刻揭示其真实含义，才能让学生深刻的把握概念。

如：

在学习了不等式的解后，有这样一道题：

试写出几个不等式<16的解。

有的学生得到了这样的结果：

12<16；13<16。

而仔细分析不等式的解的概念是使不等式成立的未知数的取值范围，它一般是一个或几个数值范围的无穷多个数，反映在数轴上，则是无数个点的集合。

而12<16；13<16是具体的不等式，不够成它的解。

6.注重概念的比较

有比较才能鉴别。

数学中有很多概念是相似的，很容易混淆。

对于容易混淆或难以理解的概念，应运用分析比较的方法，指出它们的相同点和不同点，有助于学生抓住概念的本质。

有些概念从表面上看好象差不多。

例如：

乘方与幂，平方和与和的平方，数与数字，大于与不小于，正数与非负数，直角与等学生常常分辨不清。

教学时要帮助学生从概念的内涵和外延上区分，找出它们的异同。

如“乘方”与“幂”这两个概念，可以比较它们的内涵，前者是指求若干个相同因数的积的运算，后者是指乘方的结果；既表示乘方运算的式子，读作的次方，也表示乘方运算的结果，读作的次幂。

又如“直角”与“”这两个概念，可以比较它们的外延，前者是指角的名称，后者是指角度或弧度的量数。

再如“都不”与“不都”这两个词语，可以从内涵和外延的结合上进行比较。

“都不”是对所考察对象的全体的否定，只指一种情形；“不都”是对“都”的否定，它与“至少一个”不具有某种属性是同一个意思，一般包括多种可能情形。

比如，“都不为零”就是；而“不都为零”与“至少一个不为零”是同义词，它包含三种可能情形：

。

这些概念看似很容易混淆，但经过仔细分析,我们还是很容易掌握其本质的。

这些也是教学要求务必掌握的。

更是考题中的必考知识点。

基于这种情况，教师对其分析比较的深刻，是很有必要的。

这样才有助于学生更牢固、更深刻的体会各个概念。

7.分析概念的矛盾运动

数学概念的内涵和外延不是一成不变的，它是在社会实践中不断发展、不断充实、逐步完备的。

教学时要把概念的确定性和灵活性辨证地统一起来，恰当分析概念的矛盾运动。

有些概念发展后，与原概念有不同的涵义。

例如，指数概念的发展：

当为正整数时，；而当时，（）；为负整数时，如（为正整数），则（）；为分数时，如（为正整数），则，（）；对于这类概念，教学时一方面要指出概念扩充的必要性，更重要的是要指出原来的概念和扩充后的概念之间的质的差异。

这样，才能使学生获得清晰明确的概念。

三.概念的巩固和发展

由于数学概念具有高度的抽象性，这就为牢固掌握它带来了一定的难度，再加上数学概念较多，不易于记忆，因此

1.巩固概念的教学就显得很重要

例如，我在教学中是这样做的，在给出正弦函数概念之后，为了让学生从本质上掌握这一概念让他们回答下列题目：

（1）在中，为直角，如果，那么的对边与斜边的比值是多少？

；

（2）如