4大学物理电子教案角动量守恒与刚体的定轴转动docx.docx
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第四章角动量守恒与刚体的定轴转动
（Lawofconservationofangularandfixed-axisrotationofrigidbody）§4-1角动量与角动量守恒定律
（angularmomentumandlawofconservationofangula"
一、角动量（angularmomentum）
1引言（foreword）
大量天体观测显示
厂-一位矢m--质量速度
0—;，険角
2^定义（definition）
L=rxp=rx（/77v）
大小：
L=rmvsin0
方向：
rx（mv）
右手螺旋法则决泄
二、质点的角动量定理及其守tn（theoremofangularmomentumofparticleanditsconservation）
1、微分式（formofdifferential）
（1）
形式
（2）物理意义
角动量对时间的导数=质点受到的力矩
2^积分形式（formofintegral）
（1）形式
积分上式，得
jMdt=jdL=L-L^
（2）物理意义
质点获得的冲量矩Jmdl=角动量的变化L-£（）
3、特例（cpecialcase）
（1）形式
当历=0时，有
£-£^=0,即7二石
（2）物理意义
当质点不受外力矩或合外力矩为零（如有心力作用）时，质点的角动量前后不改变。
三、质点系的角动量定理
1、微分形式（formofdifferential）
（1）形式
角动量1=远
=X（A/i内+Mi夕卜）
对于iJ一对内力矩
■•>■•..
M$外=r（x耳+r.xFj
由于可=—可，所以瓦=
f.
=ArxFi
=0
,dL—
故——=M外
dt
（2）物理意义
质点系角动量的导数二它所受到的合外力矩
3、积分形式（formofintegral）
（1）形式
^Mdt=^dL=L-L^
（2）物理意义
质点系角动量的增量二它所获得的冲量矩
四、质点系的角动量守恒
1、条件（condition）财外=0
2^结果（result）
—>,•・•■•.
AL=厶？
一厶］=0>orL{=L2
3^产生（produce）
（1）大量观察（综合）结果
（2）将条件代入质点系动量定理也可作特殊例导出。
当质点系所受合外力矩为零时，则质点系的角动量不变（守恒）
五、刚体的角动量及其守恒律（angularmomentumofrigidbodyanditsconservation）将刚体划分成无限多个任意小部分，刚可以看成质点系。
因此质点系的角动量概念及变化规律适用于刚体。
1、角动量（angularmomerHum）
L=工斥xmivi=co=Ico
转动惯量
2、角动量定理（theoremofangularmomentum）
（1）微分式
✓7T—♦—♦一
=M,Mdt=dLdt
（2）积分式
\Mdt=\dL=L—=Ico—Ico（}
3^守恒泄律（lawofconservation）
（1）条件
Msf=0
（2）结果
厶=厶二常量
六、随堂练习（practiceontheclass）
1、注意（takenote）
（1）原则
处理质点系，刚体的相关角动量问题的原则是先（考虑）守恒，后（考虑）定理，再牛顿。
（2）方法
1选系统，看条件；
2查状态，算参量；
3用定（理）律，列方程。
2、例子（example）
例4・2工程上常用摩…（须见书：
P67）
1、系统：
E轮A,B及啮合器C
条件：
外力：
两重力^Ag,mBg
两轴反力心凡
外力矩：
为零（对水平轴）
故宜用守恒定律来做
2、状态及参量
初态：
啮合前，Lq=IAcoA
末态：
啮合后，L=（IA+
3、定律
L守恒定律
方程
l=l°,IaO）a
解之得
§4-2刚体的定轴转动
（fixed-axisrotationofrigidbody）
一、转动惯量（momentofinertia）
1、概念（concept）
I=（离散情况）
/=Jr1dm（连续分布）
2、决定因素（decidedfactor）
质量元△加'对（定）转轴的分布
3、物理意义（physicalmeaning）
转动惯性大小的量度（见二）
二、转动定律（lawof）
1、内容（content）
*dLTda）
•/M=—=I——dtdt
刚体产生角加速度的大小与其受到合外力矩成正比，与其转动惯量成反比
（M二C,/T,0J）
2、理解（understand）
（1）地位、作用
转动定律在转动屮的地位及作用相当于牛顿定律在平动屮的地位及作用
（2）合外力矩是产生角加速度的原因
有M,就有0，且为瞬时关系
（3）・・・M,C0,I的计算均涉及八
/.M.coJ须对同一轴取r（“矩”）。
三、随堂练习（practiceontheclass）
1、注意（takenote）
（1）转动惯量的计算关键是充分利用对称性找出质量元d加与其到转轴距离厂的函数关系，然后积分。
（2）转动定律的应用：
一是要注意处理好线、角量的关系；二是对既有平动,又有转动的综合问题，要注意将平、转动分开，平动用牛顿定律列方程,
转动用转动定律列方程，后综合求解方程组。
3、算例（example）
1°例4-4计算质量为加，半径为R的匀质圆盘对通过盘心并垂直于盘
欣2
2mrdr
R242
2°习题4・16如图，质量为“=16焰的实心圆柱体，其半径r=\5cm,可绕其水平定轴转动，阻力忽略不计；一轻绳绕在圆柱上，绳的另一端系质量m2=8kg的物体，求
（1）开始转动1S后，物体下降的髙度；
（2）绳的张力。
（3）
对mA:
转动，由转动定律有
Tr=1/3=—0
（1）
对加2：
平动，由牛顿定律有
m2g-T-m2a
（2）
利用线量、角量关系，得
a=r/3（3）
利用运动学公式可求出物体下降高度
1919
h=—dt"=—x4.9xp=2.45（/n）
22
由方程
（2）,得
T=m2g-m2a=8x8.9-8x4.9=39.2（N）三条守恒定律小结
（1）动量守恒：
①条件：
p=0②结杲：
片=-P2
（2）机械能守恒
①条件：
A外+A非得内=0
②结果：
e}=e2
（4）角动量守恒
1条件：
M=0
2结果：
厶二厶2
四、随堂小议（discussontheclass）
某人站在有光滑转轴的转动平台上，双臂水平地举着两个哑铃。
在他将两个哑铃水平收缩到胸前的过程中，人和哑铃组成的系统的机械能和角动量的变化情况是：
（1）
机械能守恒，角动量也守恒；
（2）
机械能守恒，角动暈不守恒；
（3）
机械能不守恒，
角动量守恒；
（4）
机械能不守恒，
角动量也不守恒。
[（3）]
§4-3
刚体作定轴转动时的功能关系
（relationofworkwithenergyinrotationofrigidbody）
一、力矩（或力）的功（workofmoment）
1、元功（elementarywork）
Meo
clAdO
N=——=M——dtdt
二、动能定理（theoremofkineticenergy）
（功与动能变化的关系）
1、功的微形分式（formofdifferentialofwork）
d\=Mde=If3dO=I—de=-Ida）1dt2
2、动能定理（theoremofkineticenergy）
（平动动能Ek=-mv2）
2
（转动动能Ek=丄//）
2
物义：
合外力矩（或外力）对刚体做的功二刚体动能的增加
3、说明（explain）
若系统既有平动，又有转动，则其动能应为两者动能之和，即
Er-E辟+E熾
三、随堂练习（practiceontheclass）
1>注意（takenote）
（1）处理物体的定轴转动，最简便的方法是应用角动量守恒，但要有条件：
M外=0,若不满足，则应考虑用转动定理或角动量定理来处理；
（2）涉及能量（或功）的问题，最简便的方法是应用机械能守恒来处理，若不满足守恒条件（即A外+A非得内H0）则宜用动能定理来处理，但此时的动能应为转动动能，平动动能之和。
2、算例（example）
例4・8如图，一长为/,质量为加2的匀质细杆，可绕光滑水平轴在竖直平面内转动。
一质量为"的子弹水平射入杆Z下端，使杆可最大偏转30°角，求子
弹的速度心。
解取系统：
叫叫
外力：
m[g,m2g,N（轴反力）
过程
（1）：
子弹入射前后（杆欲摆未摆）
M,=0,A厶=0,厶二爲（守恒）
入射前：
厶=m^l
（1）
后：
厶2=加1W+/c（/6J=v）
因而有：
m|V0/=777,vl+Ico
过程
（2）：
（杆与子弹）起摆至最大角&=30°
M外及A外H0,只能用系统的动能定理处理。
A外=A重+=A重+0
=mxg/（cos&—1）+m2g£（cos0-1）A、j-A磨擦=0
（・・・子弹与杆无相对位移）
初（起摆）动能
1919
Ekl=-mxv~+-Ico~（平动+转动）
22
末（最咼处）动能
Ek2=0（不动）
故有
人外=人瓦
即
（2）
（3）
（4）
（5）
gZ（cos0_l）（“+—m2）=0-（—WjV2+—lor）
222
19
由例4・3知，I=-m.lr
3-
由线、角量关系知v=reo题给e=30°
联立
（1）,
（2）,（3）,（4）,（5）求解，得
/（2一V3）（m2+2m{）（m2+3“）
四、
随堂小议（discussontheclass）
如图，两重量相等的学生通过跨过定滑轮的轻绳进行爬绳比赛，一人用力上爬,一人握绳不动。
若滑轮的质量及绳与滑轮磨擦可以忽略，则可能出现的情况是
（1）两学生同时到达滑轮最下端高度;
（2）用力上爬学生先到；
（3）不用力的学生先到；
（4）以上结果都不对。
r
（1）1
作业（homework）
4-14,4-15,4-18,4-22
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