北京市通州区届高三上学期期末考试数学理试题 含.docx
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北京市通州区届高三上学期期末考试数学理试题含
通州区2018—2018学年度高三摸底考试
数学（理）试卷
2018年1月
本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 （选择题共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．已知集合，，则等于
A．B．
C．D．
2．执行如图所示的程序框图，输出的A值为
A．7B．15
C．31D．63
3．若变量，满足条件则的最大值为
A．B．C．D．
4．“”是“方程表示双曲线”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是
A．B．C．D．
6．在△中，，，△的面积等于，则等于
A． B． C．D．
7．如图，某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，
俯视图是边长为的正方形，那么它的体积为
A．B．4
C．D．
8．设集合，若是的子集，
把X的所有元素的乘积叫做的容量（规定空集的容量为0），
若的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集.其中
的奇子集的个数为
A．B．C．D．
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）
9．复数满足，则=_______.
10．展开式中的常数项是_______.
11．已知直线（是参数），曲线的极坐标方程是，那么直线l与曲线C的公共点的个数是_______.
12．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若，，则
13．如图，在正方形中，为边上的动点，
设向量，则的最大值为_______.
14．已知函数 若函数
有且只有一个零点，则实数的取值范围是_______.
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
16．（本小题满分13分）
某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动的次数与相对应的人数的对应关系如下表：
次数
1
2
3
4
人数
1
4
4
1
现从这10人中随机选出2人作为该组代表在活动总结会上发言.
（Ⅰ）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为6”，求事件发生的概率；
（Ⅱ）设为选出的2人参加义工活动次数之和，求随机变量的分布列和数学期望.
17．（本小题满分14分）
在四棱锥中，△为正三角形，四边形为矩形，平面平面，，分别为中点.
（Ⅰ）求证：
//平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在上是否存在点，使得⊥平面？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分13分）
设函数．
（Ⅰ）当k＝1时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设函数，证明：
当x∈时，＞0.
19．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆经过点，离心率.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，求证：
，，成等差数列．
20．（本小题满分14分）
已知数列对任意的满足：
，则称数列为“T数列”.
（Ⅰ）求证：
数列是“T数列”；
（Ⅱ）若，试判断数列是否是“T数列”，并说明理由；
（Ⅲ）若数列是各项均为正的“T数列”，
求证：
.
通州区2018—2018学年度高三摸底考试
数学（理）试题参考答案
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
A
C
C
D
B
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分.）
9.；10.；11.；
12.；13.；14..
三、解答题（本大题共6小题,共80分）
15．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2x+1+cos2x
=sin2x+cos2x+2
=……………….4分
f（x）最小正周期T=π……………….6分
（Ⅱ）由0≤x≤得
0≤2x≤π
≤2x+≤……………….8分
根据y=sinx图象可知
当时，f（x）有最大值2+……………….11分
当时，f（x）有最大值1.……………….13分
16（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）从这10人中随机选出2人的基本事件个数为：
个，
设选出的2人参加义工活动次数之和为事件A，
设选出的2人中1人参加2次另一人参加4次为事件M，
设选出的2人均参加3次为事件N.
事件M所含基本事件的个数为个，
事件N所含基本事件的个数为个，
根据古典概型可知，，
因为M和N互斥事件，且A=M+N
所以……………….6分
另：
直接计算事件A的基本事件个数，利用古典概型计算也可。
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为3,4,5,6,7
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
X
3
4
5
6
7
P
EX=++++=5.……………….13分
注：
第二问计算出一个概率给1分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
∵M，N分别是PB，PC中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC∥AD
又∵AD⊂平面PAD，MN平面PAD
所以MN∥平面PAD.……………….4分
（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系
设AB=2，则A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0，）,
B（1,0，0），N（,，），则，
设平面CAM法向量为，由可得
，令，则，即
平面法向量
所以，二面角的余弦值
因为二面角是锐二面角，
所以二面角等于……………….10分
（Ⅲ）存在……………….11分
设，则，由可得，
所以在存在点，使得平面，
此时.……………….14分
18．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ），……………….1分
将x=0分别代入f（x）和f’（x）得，f’（0）=1，f（0）=0……………….3分
所以曲线在点（0,f（0））处的切线方程为：
y=x.……………….4分
（Ⅱ）……………….6分
令，则……………….8分
，……………….10分
∴g（x）在上单调递增，
∴g（x）>g（0）=0即，……………….11分
∴F（x）在上单调递增，
∴F（x）>F（0）=0……………….13分
19．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由点在椭圆上得，①
②
由①②得，
故椭圆的标准方程为……………….4分
（Ⅱ）椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，
设③…………….5分
代入椭圆方程，
整理得……………….6分
设，
则有④……………….7分
在方程③中，令得，，从而
，……………….9分
又因为共线，则有，
即有
所以
=⑤
将④代入⑤得
，……………….12分
又，
所以，即成等差数列.……………….13分
20．（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ），
……………….3分
（Ⅱ）
解得，，故数列不是T数列.……………….7分
（Ⅲ）要证
只需证
……………….8分
下面运用数学归纳法证明。
（ⅰ）当n=1时，成立…………….9分
（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，
即
那么当n=k+1时，
是T数列，，
将上述式子相加，得
所以当n=k+1时不等式成立，
根据（ⅰ）和（ⅱ）可知，
对于任意不等式均成立.
……………….14分
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