学年高中数学第三章导数应用321实际问题中导数的意义322最大值最小值问题学案含解.docx

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学年高中数学第三章导数应用321实际问题中导数的意义322最大值最小值问题学案含解

3.2.1　实际问题中导数的意义

3.2.2　最大值、最小值问题

1.了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念.（难点）

2.理解函数的最值与导数的关系.（重点）

3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题.（难点）

[基础·初探]

教材整理1　导数的实际意义

阅读教材P63～P65“练习”以上部分，完成下列问题.

在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等.

质点运动的速度v（单位：

m/s）是时间t（单位：

s）的函数，且v＝v（t），则v′

（1）表示（　　）

A.t＝1s时的速度B.t＝1s时的加速度

C.t＝1s时的位移D.t＝1s的平均速度

【解析】　v（t）的导数v′（t）表示t时刻的加速度，故选B.

【答案】　B

教材整理2　函数的最值与导数

阅读教材P66，完成下列问题.

1.最大值点与最小值点.

函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：

函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f（x0）.

函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：

函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f（x0）.

2.最大值与最小值

最大（小）值或者在极大（小）值点取得，或者在区间的端点取得.因此，要想求函数的最大（小）值，应首先求出函数的极大（小）值点，然后将所有极大（小）值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大（小）的值即为函数的最大（小）值.

函数的最大值和最小值统称为最值.

1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数的最大值一定是函数的极大值.（　　）

（2）开区间上的单调连续函数无最值.（　　）

（3）函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.（　　）

【答案】　

（1）×　

（2）√　（3）×

2.函数f（x）＝2x－cosx在（－∞，＋∞）上（　　）

A.无最值B.有极值

C.有最大值D.有最小值

【解析】　f′（x）＝2＋sinx>0恒成立，所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增，无极值，也无最值.

【答案】　A

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

导数在实际问题中的意义

　如图321所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W（单位：

J）是时间t（单位：

s）的函数，设这个函数可以表示为W（t）＝t3－6t2＋16t.

图321

（1）求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；

（2）求W′

（1），W′

（2），并解释它们的实际意义.

【精彩点拨】　弄清题意，根据物理中导数的意义解答：

（1）功的平均变化率表示平均每秒做的功；

（2）功率是功关于时间的导数.

【自主解答】　

（1）当t从1s变到3s时，功W从W

（1）＝11J变到W（3）＝21J，此时功W关于时间t的平均变化率为

＝

＝5（J/s）.

它表示从t＝1s到t＝3s这段时间，这个人平均每秒做功5J.

（2）首先求W′（t）.根据导数公式和求导法则可得

W′（t）＝3t2－12t＋16，

于是，W′

（1）＝7J/s，W′

（2）＝4J/s.

W′

（1）和W′

（2）分别表示t＝1s和t＝2s时，这个人每秒做的功分别为7J和4J.

1.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率.

2.导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义.

[再练一题]

1.已知某商品生产成本c与产量q（0

q，求利润L关于产量q的关系式，用L＝f（q）表示，并计算f′（80）的值，解释其实际意义.

【解】　∵f（q）＝p×q－c＝

×q－（100＋4q），

∴f（q）＝－

q2＋21q－100（0

∴f′（q）＝－

q＋21，∴f′（80）＝－

×80＋21＝1.

说明产量q＝80时，产量每增加1，利润也增加1.

求函数的最值

　求函数f（x）＝4x3＋3x2－36x＋5在区间[－2，3]上的最大值与最小值.

【精彩点拨】　求函数的最值与求函数的极值相似，先列出表格，再进行判断，从而求出最值.

【自主解答】　∵f′（x）＝12x2＋6x－36，

令f′（x）＝0，得2x2＋x－6＝0，∴x＝－2或

.

当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如表所示：

x

－2

3

f′（x）

0

－

0

＋

＋

f（x）

57

－

32

∴f（x）在x＝

处取极小值，且f

＝－

.

又∵f（－2）＝57，f（3）＝32，∴f（x）的最大值为f（－2）＝57，

f（x）的最小值为f

＝－

.

求f（x）在[a，b]上的最值的步骤：

（1）求f（x）在（a，b）内的极值点；

（2）求出f（x）在区间端点和极值点的值；

（3）将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.

[再练一题]

2.已知函数f（x）＝－x3＋3x2＋m（x∈[－2，2]），f（x）的最小值为1，则m＝__________.

【解析】　f′（x）＝－3x2＋6x，x∈[－2，2].

令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2，

当x∈（－2，0）时，f′（x）<0，

当x∈（0，2）时，f′（x）>0，

∴当x＝0时，f（x）有极小值，也是最小值，

∴f（0）＝m＝1.

【答案】　1

最值问题的实际应用

　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：

千克）与销售价格x（单位：

元/千克）满足关系式y＝

＋10（x－6）2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

【精彩点拨】　

（1）根据x＝5时，y＝11求a的值.

（2）把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值.

【自主解答】　

（1）因为x＝5时，y＝11，所以

＋10＝11，a＝2.

（2）由

（1）知，该商品每日的销售量

y＝

＋10（x－6）2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润

f（x）＝（x－3）

＝2＋10（x－3）（x－6）2，3＜x＜6，

从而，f′（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）]

＝30（x－4）·（x－6），

于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（3，4）

4

（4，6）

f′（x）

＋

0

－

f（x）

单调递增

极大值42

单调递减

由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，

所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42.

故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

1.经济生活中优化问题的解法

经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.

2.关于利润问题常用的两个等量关系

（1）利润＝收入－成本.

（2）利润＝每件产品的利润×销售件数.

[再练一题]

3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：

p＝24200－

x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？

最大利润是多少？

【解】　每月生产x吨时的利润为

f（x）＝

x－（50000＋200x）

＝－

x3＋24000x－50000（x≥0），

由f′（x）＝－

x2＋24000＝0，解得x＝200或x＝－200（舍去）.

因为f（x）在[0，＋∞）内只有一个点x＝200使f′（x）＝0，故它就是最大值点，且最大值为f（200）＝－

×2003＋24000×200－50000＝3150000（元），故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.

[探究共研型]

与最值有关的恒成立问题

探究1　已知函数f（x）＝

＋2lnx，若当a>0时，f（x）≥2恒成立，如何求实数a的取值范围？

【提示】　由f（x）＝

＋2lnx得f′（x）＝

，又函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且a>0，令f′（x）＝0，得x＝－

（舍去）或x＝

.当0

时，f′（x）<0；当x>

时，f′（x）>0.故x＝

是函数f（x）的极小值点，也是最小值点，且f（

）＝lna＋1.要使f（x）≥2恒成立，需lna＋1≥2恒成立，则a≥e.故a的取值范围为[e，＋∞）.

探究2　函数最值和“恒成立”问题有什么联系？

【提示】　解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.

如f（x）>0恒成立，只要f（x）的最小值大于0即可.

如f（x）<0恒成立，只要f（x）的最大值小于0即可.

以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参数不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.

　设函数f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t>0）.

（1）求f（x）的最小值h（t）；

（2）若h（t）<－2t＋m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围.

【精彩点拨】　

（1）利用配方法，即可求出二次函数f（x）的最小值h（t）；

（2）构造函数g（t）＝h（t）－（－2t＋m），只需使g（t）在（0，2）上的最大值小于零即可求得m的取值范围.

【自主解答】　

（1）∵f（x）＝t（x＋t）2－t3＋t－1（x∈R，t>0），

∴当x＝－t时，f（x）取最小值f（－t）＝－t3＋t－1，

即h（t）＝－t3＋t－1.

（2）令g（t）＝h（t）－（－2t＋m）＝－t3＋3t－1－m，

由g′（t）＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1（不合题意，舍去）.

当t变化时，g′（t），g（t）的变化情况如下表：

t

（0，1）

1

（1，2）

g′（t）

＋

0

－

g（t）

单调递增

极大值1－m

单调递减

∴g（t）在（0，2）内有最大值g

（1）＝1－m.

h（t）<－2t＋m在（0，2）内恒成立等价于g（t）<0在（0，2）内恒成立，即等价于1－m<0，∴m的取值范围为（1，＋∞）.

1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.

2.此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.

[再练一题]

4.设f（x）＝

＋xlnx，g（x）＝x3－x2－3.

（1）如果存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）－g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

（2）如果对于任意的s，t∈

，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围.

【解】　

（1）存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）－g（x2）≥M成立，等价于[g（x1）－g（x2）]max≥M.

由g（x）＝x3－x2－3，

得g′（x）＝3x2－2x＝3x

.

由g′（x）>0，得x<0或x>

，又x∈[0，2]，所以g（x）在

上是单调递减函数，在

上是单调递增函数，所以g（x）min＝g

＝－

，g（x）max＝g

（2）＝1.

故[g（x1）－g（x2）]max＝g（x）max－g（x）min＝

≥M，

则满足条件的最大整数M＝4.

（2）对于任意的s，t∈

，都有f（s）≥g（t）成立，等价于在

上，函数f（x）min≥g（x）max.

由

（1）可知在

上，g（x）的最大值为g

（2）＝1.

在

上，f（x）＝

＋xlnx≥1恒成立等价于a≥x－x2lnx恒成立.

设h（x）＝x－x2lnx，h′（x）＝1－2xlnx－x，可知h′（x）在

上是减函数，又h′

（1）＝0，所以当1

0.

即函数h（x）＝x－x2lnx在

上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以h（x）max＝h

（1）＝1，即实数a的取值范围是[1，＋∞）.

[构建·体系]

—

1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：

℃）为f（x）＝

x3－x2＋8（0≤x≤5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（　　）

A.8　　B.

C.－1D.－8

【解析】　原油温度的瞬时变化率为f′（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1（0≤x≤5），所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.

【答案】　C

2.函数y＝x4－4x＋3在区间[－2，3]上的最小值为（　　）

A.72B.36

C.12D.0

【解析】　因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4.令y′＝0，解得x＝1.当x＜1时，y′＜0，函数单调递减；当x＞1时，y′＞0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0.

【答案】　D

3.函数y＝

在[0，2]上的最大值为________.

【解析】　∵y′＝

＝

，

令y′＝0，得x＝1∈[0，2].

∴f

（1）＝

，f（0）＝0，f

（2）＝

，

∴f（x）max＝f

（1）＝

.

【答案】　

4.某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：

y1＝17x2（x＞0），生产成本y2（万元）是产量x（千台）的函数：

y2＝2x3－x2（x＞0），为使利润最大，应生产________千台.

【解析】　设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－（2x3－x2）＝－2x3＋18x2（x＞0），

∴y′＝－6x2＋36x＝－6x（x－6）.

令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.

【答案】　6

5.已知a为实数，f（x）＝（x2－4）·（x－a）.

（1）求导数f′（x）；

（2）若f′（－1）＝0，求f（x）在[－2，2]上的最大值和最小值.

【解】　

（1）由原式得f（x）＝x3－ax2－4x＋4a，

∴f′（x）＝3x2－2ax－4.

（2）由f′（－1）＝0，得a＝

，

此时有f（x）＝（x2－4）·

，

f′（x）＝3x2－x－4.

由f′（x）＝0，得x＝

或x＝－1.

又f

＝－

，f（－1）＝

，

f（－2）＝0，f

（2）＝0，

∴f（x）在[－2，2]上的最大值为

，最小值为－

.

我还有这些不足：

（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

我的课下提升方案：

（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）