44电磁感应中的双杆问题分类例析.docx

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44电磁感应中的双杆问题分类例析

电磁感应中的双杆问题分类例析

“双杆”类问题是电磁感应中常见的题型，也是电磁感应中的一个难道，下面对“双杆”类问题进行分类例析

1、“双杆”在等宽导轨上向相反方向做匀速运动当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。

2.“双杆”在等宽导轨上同向运动，但一杆加速另一杆减速当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。

3.“双杆”中两杆在等宽导轨上做同方向上的加速运动。

“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。

4．“双杆”在不等宽导轨上同向运动。

“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。

【例5】如图所示，间距为l、电阻不计的两根平行金属导轨MN、PQ（足够长）被固定在同一水平面内，质量均为m、电阻均为R的两根相同导体棒a、b垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与a棒连接，其下端悬挂一个质量为M的物体C，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。

开始时使a、b、C都处于静止状态，现释放C，经过时间t，C的速度为1、b的速度为2。

不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力

加速度为g，求：

（1）t时刻C的加速度值；

（2）t时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率。

解析：

（1）根据法拉第电磁感应定律，t时刻回路

的感应电动势E

回路中感应电流

以a为研究对象，以C为研究对象，

tBl（1

E

I

2R根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律

2）①

联立以上各式解得a2MgR

T

Mg

22

B2l2（1

BIl

T

ma

Ma

2）

2R（Mm）

（2）解法一：

单位时间内，通过a棒克服安培力做功，把

回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为所以，t时刻闭合回路的电功率等于a棒克服安培力做功的功率，即

B2l2（12）1

2R

b棒可等效为电动机

EaBlv1

P

PBIl

解法二：

a棒可等效为发电机，a棒的感应电动势为闭合回路消耗的总电功率为

联立①②⑤⑥解得PBIl1

IEa

22

B2l2（12）

2R

C物体的一部分重力势能转化为闭合

b棒的动能，

解法三：

闭合回路消耗的热功率为

b棒的机械功率为P机

故闭合回路消耗的总电功率为

BIlv2

E2B2l2（v1v2）2

2R2R

22

Bl（v1v2）v2

2R

B2l2（12）

2R

说明：

在单位时间t内，整个系统的功能关系和能量转化关系如下：

C物体重力势能的减少量

【例1】两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B＝的

匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计．导轨间的距离l＝0.20m．两根质量均为m＝0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R＝Ω．在t＝0时刻，两杆都处于静止状态．现有一与导轨平行、大小为N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动．经过t＝，金属杆甲的加速度为a＝1.37m／s，问此时两金属杆的速度各为多少本题综合了法拉第电磁感应定律、安培力、左手定则、牛顿第二定律、动量定理、全电路欧姆定律等知识，考查考生多角度、全方位综合分析问题的能力．

解析：

设任一时刻t，两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为vl和v2，经过很短的时

间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变

△S＝［（x一ν2△t）+ν1△t］l—lχ＝（ν1-ν2）△t由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E＝B△S/△t＝Bι（νl一ν2）

回路中的电流i＝E／2R

杆甲的运动方程F—Bli＝ma

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量（t＝0时为

0）等于外力F的冲量．Ft＝mνl＋mν2

联立以上各式解得ν1＝［Ft/m＋2R（F一ma）／B2l2］／2ν2＝［Ft／m一2R（F一ma）／B2l2］／2

代入数据得移νl＝8.15m／s，v2＝1.85m／s

ac

【例2】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。

导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量均为m，电阻均为R，回路中

其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少解析：

ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动．

（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv02mv根据能

量守恒，整个过程中产生的总热量Qmv021（2m）v21mv02

224

（2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v1，则由动量守恒可知：

3

mv0mv0mv1

4

3E

此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：

E（v0v1）BL，I

4012R

此时cd棒所受的安培力：

FIBL，所以cd棒的加速度为aF

m

例3】两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面

vv

内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=，导

轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=Ω，回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在

平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示.不计导轨上的摩擦.

（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小.

（2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量.

解析：

（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为：

E1=E2=Bdv

摩擦力，BlIm2g③

导体杆2克服摩擦力做功的功率

Pm2gv

以P表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有PPFI（R1R2）m1gv0④

由以上各式得Pm2g［v0m2g2g（R1R2）］⑤

B2l2

v

b

300

d

300

【例5】如图所示，在倾角为300的斜面上，固定两条无限长的平行光滑导轨，一个匀强磁场垂直于斜面向上，磁感强度B＝，导轨间距

L＝0.5m。

两根金属棒ab、cd平行地放在导轨上，金属棒质量mab＝0.1kg，mcd＝0.2kg，两金属棒总电阻r＝Ω，导轨电阻不计。

现使金属棒ab以v＝1.5m/s的速度沿斜面向上匀速运动，求

（1）金属棒cd的最大速度；

（2）在cd有最大速度时，作用在金属棒ab上的外力做功

的功率。

说明：

（1）分析清楚棒的受力情况和运动情况是解决本题的关键。

在第

（1）问的分析中，

也可以对cd棒的运动方向进行判断，因为不管cd的运动方向如何，它速度最大时mcdgsin300=I'lB式一定成立。

直接解mcdgsin300=I'lB、ε＝Blv＋Blvm、I'＝ε/r式，若vm为正值则表示方向沿轨道向下，若为负值则表示方向向上。

（2）对第

（2）问的求解方法比较多。

选研究对象时，可以

用“整体法”，也可以用隔离法。

求功率时，可以根据定义P＝Fv计算，也可以根据能的转化和守恒定律求解。

【例6】如图4所示，金属棒a跨接在两金属轨道间，从高h处以速度v0沿光滑弧形平行金属轨道下滑，进入轨道的光滑水平部分之后，在自下向上的匀强磁场中运动，磁场的磁感应强度为B.

在轨道的水平部分另有一个跨接在两轨道间的金属棒b，在a棒从高处滑下前b棒处于静

这一比值则总是确定的．

3．a棒进入磁场之初的速度最大，设为va．根据动能定理，

在水平轨道上运动过程，由于在两棒与轨道组成的系统中，Fa与FB总是等值反向的，即合外力始终为零，所以这个系统动量守恒．设两棒最后共同运动速度为v'，则有

v'也就是b棒的最大速度vB．

E电

4．在整个相互作用过程中，回路中的电流总在变化，且回路电阻未知，所以其中消耗的电能必须根据能量守恒计算，

例7】如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，

两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动。

先固定a，释放b，当b的速度达

到10m/s时，再释放a，经过1s后，a的速度达到12m/s，则

A、当

B、

C、若导轨足够长，它们最终的速度必相同

D、它们最终的速度不相同，但速度差恒定

解析:

当b棒先向下运动时，在a和b以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是a

棒受到向下的安培力，b棒受到向上的安培力，且二者大小相等。

释放a棒后，经过时间t，分

别以a和b为研究对象，根据动量定理，则有：

代入数据可解得：

当。

在a、b棒向下运动的过程中，a棒产生的加速度，b棒产生的加速度

。

当a棒的速度与b棒接近时，闭合回路中的逐渐减小，感应电流也逐渐减小，则安培力也逐渐减小。

最后，两棒以共同的速度向下做自由落体运动。

正确答案选A和C。

【例8】如图，足够长的光滑平行导轨水平放置，电阻不计，MN部分的宽度为2l，PQ部分的宽度为l，金属棒a和b的质量ma2mb2m，其电阻大小

Ra2Rb2R，a和b分别在MN和PQ上，垂直导轨相

距足够远，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感强度为

a总在MN上运动，b总在

a、b分别用动量定理。

a运

.b的运动产生了反电动势。

B，开始a棒向右速度为v0，b棒静止，两棒运动时始终保持平行且

PQ上运动，求a、b最终的速度。

解析：

本题由于两导轨的宽度不等，a、b系统动量不守恒，可对动产生感应电流，a、b在安培力的作用下，分别作减速和加速运动

随着va减小，vb增加，E总减小，安培力FE总lB/（3R）也随之减小，故a棒的加速度aFa/（2m）减小，b棒的加速度a/Fb/m也减小。

当E总0，即2BlvaBlvb时，两者加速度为零，两棒均匀速运动，且有vb2va⋯①

对a、b分别用动量定理

Fat2m（vavb）⋯⋯②

Fbtmvb⋯⋯③

而Fa2Fb⋯⋯④

联立以上各式可得：

3

va

2v0

3

abcd和a/b/c/d/e/部分为

例9】如图所示，

abcde和a/b/c/d/e/为两平行的光滑轨道，其中

处于水平面内的导轨，ab与a/b的间距为cd与c/d间距的2倍，de、d/e部分为与水平导轨部分处于竖直向上的匀强磁场中，弯轨部分处于匀强磁场外。

在靠近aa＇和cc＇处分别放着两根金属棒MN、PQ，质量分别为2m和m。

为使棒PQ沿导轨运动，且通过半圆轨道的最高点ee＇，在

初始位置必须至少给棒MN以多大的冲量设两段水平面导轨均足够长，PQ出磁场时MN仍在宽

导轨道上运动。

2解析：

若棒PQ刚能通过半圆形轨道的最高点ee＇，则由mgmve，

R

可得其在最高点时的速度vegR.

棒PQ在半圆形轨道上运动时机械能守恒，设其在dd＇的速度为vd，

5gR

1212

由mvd2mve2mg2R可得：

vd

2d2ed

MN速度减小，棒

两棒在直轨上运动的开始阶段，由于回路中存在感应电流，受安培力作用，棒

v2

PQ速度增大。

当棒MN的速度v1和棒PQ的速度v2达到v12时，回路中磁通量不再变化而无

1212

感应电流，两者便做匀速运动，因而

v2vd

5gR

在有感应电流存在时的每一瞬时，

由FIlB及MN为PQ长度的2倍可知，棒MN和PQ所受安

培力F1和F2有关系F12F2。

从而，在回路中存在感应电流的时间

t内，有F12F2。

设棒MN的初速度为v0，在时间t内分别对两棒应用动量定理，有：

2mv03m5gR

练习:

1．如图所示，金属杆a在离地h高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B，

水平部分导轨上原来放有一金属杆b.已知杆的质量为ma，

且与b杆的质量比为ma∶mb=3∶４，水平导轨足够长，不计摩擦，求：

（1）a和b的最终速度分别是多大

（2）整个过程中回路释放的电能是多少

a、b上产生的热

（3）若已知a、b杆的电阻之比Ra∶Rb=3∶4，其余电阻不计，整个过程中量分别是多少

32312

答案:

（1）va=vb=2gh

（2）ΔE=magh（3）Qa=ΔE=magh，

777

2．如图所示，abcd和a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。

ab、a/b/间的宽度是cd、

c/d/间宽度的2倍。

设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。

现给导体棒ef一个初速度v0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少

对导体棒ef由动量定理得：

解析：

当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef的速度减小到v1，导体棒gh的速度增大到

1

对于cd棒应用动量定理可得：

BLq=mv-0=mv0

2

导轨间距0．5m，导轨足够长且电阻不计，PQ均刚好保持静止，两棒质量均为0．1kg，

电阻均为0．1Ω，它们与导轨间动摩擦因素均为μ=，空间有垂直导轨

平面的匀强磁场，磁感应强度B=，现用沿导轨平面向上的力F=1．2N垂直作用力于金属棒MN，取g=10m/s2，试求：

（1）金属棒MN的最大速度；

（2）金属棒MN运动达到稳定状态后，1s内外力F做的功，并计算说明能量的转化是否守恒．

解析：

（1）最初MN、PQ均刚好保持静止，根据其受力情况可知MN、PQ与导轨间的最大静

摩擦力F'm=mgsin30o=

当用外力F作用于MN棒时，F>F'm=mgsin30o，故MN开始沿导轨加速上滑，棒中产生感应电动势，回路中形成感应电流。

因此，棒MN又将受到安培力的作用，当MN棒所受的合外力为零时，金属棒MN达最大速度，设为υm，则：

F=F'+mgsin30o+F1，其中F'=μmgc3o0so，F1=BIl，故F1=。

考虑到此时PQ的受力情况，应有mgsin30o－F1

所以有：

mgsin30o+F1+μmgco3s0o－F=0解得：

vm=2m/s。

（2）金属棒达到稳定状态后，1s内的位移为s=vm·t=2m，故WF=Fs=×2J。

=

对应时间内：

WF′=－F's=－；WG=－mgs·sin30o=－1J；Q=F1·s=。

所以有：

WF+WF′+WG=Q，说明能量的转化是守恒的。

②