解得≤e<，又e<1，∴≤e<1，
∴椭圆离心率e的取值范围是.
法三：
设∠BAF＝α，
则2csinα＋2ccosα＝2a，
∴e＝，∠BOF＝2α∈，
∴α∈，∴α＋∈，
sin∈，sin∈，
∴e∈.
∴椭圆离心率e的取值范围为.
[点评] 动直线可以通过联立方程建立k与坐标的关系，再得出与e的关系；也可以构建几何意义，利用几何图形得出关系；也可以转化为角，利用三角函数求解．
2．多角度的求解直线过定点
[例2] 过椭圆＋y2＝1的左顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：
直线MN过定点，并求出该定点坐标．
[解] 法一：
设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN：
y＝kx＋m.
联立消去y，得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
则Δ>0，且x1＋x2＝，x1x2＝.
由AM⊥AN，得·＝－1，
即（k2＋1）x1x2＋（km＋2）（x1＋x2）＋m2＋4＝0，
（k2＋1）＋（km＋2）＋m2＋4＝0，
化简得5m2－16km＋12k2＝0，
∵k≠0，∴52－16＋12＝0，
解得＝或＝2（舍去），
直线MN：
y＝k，过定点.
法二：
设直线AM：
y＝k（x＋2）（k≠0），则直线AN：
y＝－（x＋2）．
联立消去y，得（1＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－4＝0，
则－2xM＝，∴xM＝，yM＝.
所以点M，
同理点N，
所以kMN＝＝，所以直线MN的方程为y－＝，
令y＝0，得x＝－＝＝－，
所以直线MN过定点.
法三：
（考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题）
同法二知，xM＝，xN＝，
令＝⇒k2＝1，此时＝－，
∴直线MN过定点C.
当k2≠1，kCM＝＝，
kCN＝＝.
∴kCM＝kCN，∴M，N，C三点共线，即直线MN过定点.
[点评] 直线过定点问题，可以设出直线方程y＝kx＋m，得出k与m的关系，从而得到过定点；也可以直接用k表示出新直线的方程，再求过定点；也可以先特殊得出定点，再用三点共线来论证一般情形．
[课时达标训练]
A组——易错清零练
1．过点P（2，－1）且倾斜角的正弦值为的直线方程为________________________．
详细分析：
设所求直线的倾斜角为α，则由题设知sinα＝，因为0≤α<π，
所以cosα＝±＝±，所以tanα＝＝±，则所求直线方程为y＋1＝±（x－2），即5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0.
答案：
5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0
2．若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是________．
详细分析：
因为短轴长为2，即b＝1，所以a＝2，则椭圆的中心到其准线的距离是.
答案：
3．设双曲线的渐近线为y＝±x，则其离心率为________．
详细分析：
由题意可得＝或＝，从而e＝＝＝或.
答案：
或
4．若关于x的方程＝a（x－1）＋1有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是________．
详细分析：
作出函数y＝的图象，它是单位圆的上半部分，作出直线y＝a（x－1）＋1，它是过点A（1,1）的直线，由图象可知，实数a的取值范围是.
答案：
B组——方法技巧练
1．已知直线l：
mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
详细分析：
由直线l：
mx＋y＋3m－＝0知其过定点（－3，），圆心O到直线l的距离为d＝.
由|AB|＝2得2＋（）2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.
答案：
4
2.
如图，设F1，F2分别是椭圆E：
x2＋＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
详细分析：
设F1（－c,0），F2（c,0），其中c＝，
则可设A（c，b2），B（x0，y0），由|AF1|＝3|F1B|，
可得＝3，故
即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.
答案：
x2＋y2＝1
3．椭圆＋＝1（a>b>0）的右焦点F（c,0）关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
详细分析：
法一：
设椭圆的另一个焦点F1（－c,0），如图，连结QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M，又题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ，O为线段F1F的中点，
∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，F1Q＝2OM.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，OF＝c.
解得OM＝，MF＝，故QF＝2MF＝，QF1＝2OM＝.
由椭圆的定义QF＋QF1＝＋＝2a，整理得b＝c，∴a＝＝c，
故e＝.
法二：
设Q（x0，y0），则FQ的中点坐标为，kFQ＝.
依题意得
解得
又因为（x0，y0）在椭圆上，所以＋＝1.
令e＝，则4e6＋e2＝1，故离心率e＝.
答案：
4．若椭圆＋＝1（a>b>0）上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________.
详细分析：
由题意，设点M的横坐标为x，根据焦半径公式得，a＋ex＝2，x＝，有－a≤≤a，不等式各边同除以a，得－1≤≤1，则－1≤e＋2，即e2＋3e－2≥0，又0答案：
5．已知点（x，y）在圆x2＋y2＝1上，求x2＋2xy＋3y2的最大值和最小值．
解：
圆x2＋y2＝1的参数方程为：
则x2＋2xy＋3y2＝cos2θ＋2sinθcosθ＋3sin2θ＝＋sin2θ＋3×＝2＋sin2θ－cos2θ＝2＋sin，
则当2θ－＝2kπ＋，
即θ＝kπ＋（k∈Z）时，x2＋2xy＋3y2取得最大值，为2＋；
当2θ－＝2kπ－，
即θ＝kπ－（k∈Z）时，x2＋2xy＋3y2取得最小值，为2－.
6.设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为，求该椭圆的标准方程．
解：
设F1（－c,0），F2（c,0），其中c2＝a2－b2.
由＝2，得|DF1|＝＝c.
从而S△DF1F2＝|DF1|·|F1F2|＝c2＝，故c＝1.
从而|DF1|＝.由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝，
所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，
故a＝，b2＝a2－c2＝1.
所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
C组——创新应用练
1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|·|PB|的最大值是________．
详细分析：
易求定点A（0,0），B（1,3）．当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5（当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立），当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.
答案：
5
2．已知O为坐标原点，F是椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．
详细分析：
如图所示，由题意得
A（－a,0），B（a,0），F（－c,0）．
设E（0，m），
由PF∥OE，得＝，
则|MF|＝.①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝.②
由①②得a－c＝（a＋c），即a＝3c，∴e＝＝.
答案：
3．设点M（x0,1），若在圆O：
x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
详细分析：
依题意，直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，过O作OA⊥MN，垂足为A，在Rt△OMA中，因为∠OMA＝45°，故|OA|＝|OM|sin45°＝|OM|≤1，所以|OM|≤，则≤，解得－1≤x1≤1.
答案：
[－1,1]
4．已知椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得＝，则该椭圆离心率的取值范围为________．
详细分析：
在△MF1F2中，＝，
而＝，
∴＝＝.①
又M是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，
∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②
由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝.
显然|MF2|>|MF1|，
∴a－c<|MF2|整理得c2＋2ac－a2>0，∴e2＋2e－1>0，又0∴－1答案：
（－1,1）
5．已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0，1），P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：
l过定点．
解：
（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，
故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上．
因此解得
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）证明：
设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：
x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，.
则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．
从而可设l：
y＝kx＋m（m≠1）．
将y＝kx＋m代入＋y2＝1得
（4k2＋1）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16（4k2－m2＋1）>0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由题设k1＋k2＝－1，
故（2k＋1）x1x2＋（m－1）（x1＋x2）＝0.
即（2k＋1）·＋（m－1）·＝0.
解得k＝－.
当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：
y＝－x＋m，即y＋1＝－（x－2），所以l过定点（2，－1）．
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A，B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．
（1）求证：
A，C，T三点共线；
（2）如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．
解：
（1）证明：
设椭圆方程为＋＝1（a>b>0），①
则A（0，b），B（0，－b），T，
AT：
＋＝1，②
BF：
＋＝1，③
联立②③，解得交点C，代入①得：
＋＝＝1.
满足①式，则C点在椭圆上，A，C，T三点共线．
（2）过C作CE⊥x轴，垂足为E（图略），则△OBF∽△ECF.
∵＝3，CE＝b，EF＝c，则C，代入①得：
＋＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2.
设P（x0，y0），则x0＋2y＝2c2，
此时C，AC＝c，S△ABC＝·2c·＝c2，
直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，
点P到直线AC的距离为d＝＝，
S△APC＝d·AC＝··c＝·c.
只需求x0＋2y0的最大值．
∵（x0＋2y0）2＝x＋4y＋2·2x0y0≤x＋4y＋2（x＋y）＝3（x＋2y）＝6c2，
∴x0＋2y0≤c，
当且仅当x0＝y0＝c时，（x0＋2y0）max＝c.
∴四边形的面积最大值为c2＋c2＝c2＝，
∴c2＝1，a2＝2，b2＝1，
此时椭圆方程为＋y2＝1，P点坐标.
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