高等数学期末考试试题及答案大一考试.docx
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高等数学期末考试试题及答案大一考试
高等数学期末考试试题及答案（大一考试）
（2010至2011学年第一学期）课程名称：
高等数学（上）（A卷）考试（考查）：
考试2008年1月10日共6页
注意事项：
1、满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试题
一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1.limsin（x21）x1x1（）（A）1；（B）0；（C）2；（D）122.若f（x）的一个原函数为F（x），则exf（ex）dx为（）（A）F（ex）c；（B）F（ex）c；（C）F（ex）c；（D）F（ex）xc3.下列广义积分中（）是收敛的.（A）1sinxdx；（B）1；x1x（C）1x2；（D）0xedx。
4.f（x）为定义在a,b上的函数，则下列结论错误的是（）（A）f（x）可导，则f（x）一定连续；（B）f（x）可微，则f（x）不一定
1
可导；
（C）f（x）可积（常义），则f（x）一定有界；
（D）函数f（x）连续，则
5.设函数f（x）limxaf（t）dt在a,b上一定可导。
1x，则下列结论正确的为（）n1x2n
（A）不存在间断点；（B）存在间断点x1；
（C）存在间断点x0；（D）存在间断点x1
二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）
x2111.极限lim_____.x0x
x1t2
2.曲线在t2处的切线方程为______.3yt
2x3.已知方程y5y6yxe的一个特解为12（x2x）e2x，则该方程的通解2
为.
f（x）2，则f
（2）_____x2x2
5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F（牛顿）与伸长量s成正比，即Fks（k为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm时，所作的功为_________焦耳。
4.设f（x）在x2处连续，且lim
26．曲线yx2上相应于x从3到8的一段弧长为3
232三、设x0时，ex（ax2bxc）是比x高阶的无穷小，求常数a,b,c的值（6分）
2
xexcos（32x）,求dy.（6分）
xyey
e确定,求
d2y
dx2
.（8分）
x0
x）满足关系式f（x）
3x
f（t
3
）dt3x3，求f（x）.（83
七、求下列各不定积分（每题6分，共12分）
（1）（1sin3）d.
（2）xarctanxdx.
x1,x1
八、设f（x）1
2
2x,x1
求定积分20f（x）dx.（6分）4
13九、讨论函数f（x）x3x的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10分）十、求方程dyydxxy4的通解（6分）5
十一、求证：
sinx
2x,x（0,2）..（5分）
6
第一学期高等数学（上）（A）卷
参考答案及评分标准
一、选择题（每题3分，共15分）
1．C2.B3.D4.B5.D
二、填空（每题3分，共18分）
1．0，2.y3x7，3.yc1e2x1c2e3x（x22x）e2x（c1,c2为任意常数），4.2，2
5.0.18k6.28
3。
三、解：
limex2（ax2bxc）0c1……….2分
x0
x2
lie（ax2bxc）
x0x20......lx2bxim0（ea2x）0……..4分..a1b0………………………………………..6分四、解：
y1x
x2ecos（32x）2exsin（32x）………4分
dy1ex
xcos（32x）2exsin（32x）dx……….6分2
五、解：
yxdy
dxeydy
dx0dy
dxy
xey………………3分
x0,y1dy
x01dxe
d2（xey）dydy
y（1ey
）y
dx2（xey）2…………….6分
x0时,d2y2
dx2e…………………….8分
六、两边求导f（x）3f（x）3…………..3分
f（x）ce3x1（c为任意常数）…………6分
x0,f（0）3f（x）2e3x1………..8分
七、解：
（1）（1sin3）d.d（1cos2）dcos……..3分cos1
3cos3c…………………….6分
7
121x2
……3分
（2）xarctanxdxxarctanx
221x21211
xarctanxxarctanxc……………….6分222
12122
八、解：
f（x）dx（x1）dxxdx…….2分
0120
8
=……………6分
3
九、解f（x）1x
2
3
23
f（x）x由f（x）0得x1,f（x）不存在x0（3分）
3
5
f（0）0
f
（1）2f
（1）2……………….7分
f（x）在,1与1,上单增,在1,1上单减.x1时有极大值2，
x1,有极小值2。
在,0上是凸的，在0,上是凹的，拐点为（0，0）………10
分
dx1
xy3...............1dyy
十、解；…………………..3分
dx1
x的通解为xcy、
dyy
设方程
（1）的解为xu（y）y代入
（1）得u（y）
13
yc1………5分3
x
14
yc1y…………………….6分3
十一、证明：
令f（x）sinx
x,x0,………………1分22
f（x）cosx
2
,f（x）sinx又x（0,）,
2
f（x）0…..3分
f（x）的图形是凸的，由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。
f（0）f（）0，所以x（0,）,f（x）0………….5分。
22
8
（2010至2011学年第一学期）
一、单项选择题（15分，每小题3分）
1、当x时，下列函数为无穷小量的是（）（A）
1xCosxSinx1
（B）（C）（D）
（1）xxxx2x1
2．函数f（x）在点x0处连续是函数在该点可导的（）（A）必要条件（B）充分条件
（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件3．设f（x）在（a,b）内单增，则f（x）在（a,b）内（）（A）无驻点（B）无拐点（C）无极值点（D）f（x）0
4．设f（x）在[a，b]内连续，且f（a）f（b）0，则至少存在一点使（）成立。
（a，b）
）（A）f（）0（B）f（0
（C）f（）0（D）f（b）f（a）f（）（ba）5．广义积分a
dx
xp
（a0）当（）时收敛。
（A）p1（B）p1（C）p1（D）p1
9
二、填空题（15分，每小题3分）
1、若当x0时，1ax2~x2，则a；
2、设由方程xy2a2所确定的隐函数yy（x），则dy；
3、函数y2x8
x（x0）在区间单减；
在区间单增；
4、若f（x）xex在x2处取得极值，则；
5、若a11
0xf（x2）dx0f（x）dx，则a；
三、计算下列极限。
（12分，每小题6分）1、x）xx0（et1）dt
xlim（1x2、limx0x2
四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）10
1、y1，求y2、
4x2xln（1t2）
tarctant，求d2y
ydx2
五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、1xarctanx
1x22、2
cosxcos3xdx
2
3、设f（x）x2sint
1t，计算1
0xf（x）dx
11
x,x六、讨论函数f（x）cosx2的连续性，若有间断点，
2xx,2
指出其类型。
（7分）
x2
七、证明不等式：
当x0时，ln（1x）x（7分）2
x2
八、求由曲线xy2,y,y2x（x1）所围图形的面积。
4
12
（7分）
九、设f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导且f
（1）f（0）0.
证明：
至少存在一点（0,1）使
13
参考答案及评分标准
（2010至2011学年第一学期）
课程名称：
高等数学
一、单项选择题（15分，每小题3分）
1.B2.A3.C4.A5.A
二、填空题（15分，每小题3分）
1.a=22.dyy
2xdx3.（0,2）单减，（，）单增。
4.1
25.a=2
三、计算下列极限。
（12分，每小题6分
xx1
1.解。
原式=lim1xlim1
xxx1
xe1（6分）
1.解。
原式=limex1
x02xlimx
x02x1
2（6分）
四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）
y4x21
214x23
22x4分
1解。
2
x6分
4x23
11
dy
dx2
2tt
23分
2.解。
1t2
d2ydtdt111
dx2dt2dx2dxt2
4t6分
dt
五、计算下列积分（18分，每小题6分）1
1x2xarctanx1x2dx1x23分
1解。
原式=
arctanx1
2ln1x21
2arctan2xc6分
222
0cosx1cosxdx220cosxdcosx
2.解。
原式=
4cosx32
324
036分
3分14
3.解显然有：
f10,sinx22sinx2
fx2xxx22分
1
0xfxdx
1112fxdx20
4分
111x2fxx2dfx22001122sinx211xdxsinx2dx2
20x20
111cosx2cos116分022
六、讨论函数x,xf（x）cosx22x,x2的连续性，若有间断点，指出其类型。
（7分）
2解：
f0limx1
02x
2xf0lim12cosxx20又：
f13分2
所以当x时，函数连续。
2
k2kz时，cosx0，所以xk当xk22是函数的间断点。
5分k2kz
x且limfxlim，所以xk2xkxkcosx22k2kz是函数的无穷间
断点。
7分
x2
七、证明不等式：
当x0时，ln（1x）x2（7分）15
x2
证明：
设fxln1xx
2
1x2
fx1x
1x1x
2分
且
f00
当x＞0时fx＞0，所以fx单增。
5分当x＞0时fx＞f00，即：
x2
ln（1x）x
2
证毕。
7分
x2
,y2x（x1）所围图形的面积。
八、求由曲线xy2,y4
（7分）
解：
如图所示：
（略）
82x2
2xdx22x4dxx
所求面积A
2
1
3分6分7分
x
2
2lnx
21
2x
x122
3
8
212ln2
九、设
f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导且
f
（1）f（0）0.
证明：
至少存在一点证明：
设Fxfxe
（0,1）使f（）f（）（7分）
，显然Fx在在[0,1]上连续，在（0,1）内可导（3分）
x
并且F0F10,由罗尔定理：
至少存在一点0,1使F0而Fxe
x
fxfx，ex0（6分）
F0即：
f（）f（）证毕。
16
（2009至2010学年第一学期）课程名称：
高等数学（上）（A卷）考试（考查）：
考试200年月日共6页
注意事项：
5、满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
6、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
7、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
8、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试题
一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共18分）1.lim1x1xx0（）（A）e；（B）e1；（C）1；（D）2.x0是函数f（x）xsin1xx0的（）1exx0（A）连续点；（B）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）无穷间断点3.设f（x）、g（x）在x0的某邻域内连续，且当x0时f（x）是较g（x）高阶的无穷小，则当x0时x0f（t）sintdt是较x0tg（t）dt（）无穷小.（A）低阶；（B）高阶；（C）同阶非等价；（D）等价。
4.下列求导正确的是（）（A）sinx22xcosx；（B）f（x）0f（x0）；（C）ecosxecosx；（D）ln5x1x
17
5.极限lim
111（）n1223（n1）n1；（C）0；（D）2y5z8x6yz3与L2的夹角为（）21112；（C）；（D）432.每题4分，共16分）5则a_____,b_____.I的取值范围是______I______.j2k,b2imj3k，且ab则m.z5x绕x轴旋转一周所生成的旋转面的方程21（6分）sinx18
四、已知yxarctanxlnx2,求dy.（6分）
2五、设函数yf（x）由方程yxey
1确定,求
dy
dx2
.（6分）x0
六、已知函数yf（x）由参数方程xcost
2
dysint
确定，求y2
dx.（6分）
19
七、求下列各不定积分（每题8分，共16分）
（1）1
1exdx.
（2）sinxdx.
八、求定积分2
0xxdx.（6分）
20
九、求函数yx3x2x1的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（8分）十、求位于曲线yex的下方,该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积.（6分）21
十一、设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且31
2
3f（x）dxf（0），求证：
存在
（0，1），使得f（）0.（6分）
22
高等数学（上）A卷参考答案
一．单选题
二．填空题
1、a=-7；b=6
2、3I3e4
3、m=2
4、y2z25x0
三．解：
lim（1
x0x1
sinx）limsinxx
x0xsinxlimsinx
x02cosxxsinx0四．解：
dyydx（arctanxxx
1x21x2）dxarctanxdx
五．方程两边关于x求导：
yxeyyey0
两边再求一次导：
yeyyxeyy2xeyyeyy0
yx01yed2yx0dx22e2
x0
dy
六．解：
dydx2sintcostsin2t
dx2tsint22tsint2
dt
七．
（1）解：
11exex
1exdx1exxln（1ex）C
（2）解：
令xt2（t0）,dx2tdt
sinxdx2tsintdt2tcost2sintC2（sinxxcosx）C
八．解：
212
0xx0x（1x）dx1x（x1）dx1
九．解：
函数y的单调增区间为,11
31,，单调减区间为3,1，
曲线的凹区间为1,，曲线的凸区间为,1
33
23
y32
maxx10，拐点坐标为116
327,yminx13,27十．解：
所求面积s0x1
edx0（exex）dxe2
十一。
证明：
f（x）在[0，1]上连续
存在x2
03,1使得1
2f（x）dx1
33f（x0）
又3111
2f（x）dxf（o）
32f（x）dx33f（0）
f（x0）f（0）
又f（x）在（0，1）内可导，所以f（x）在0,x0内可导由罗尔定理得：
存在0,x00,1使得
24
（2009至2010学年第1学期）课程名称：
高等数学（上）A卷考试
注意事项：
9、满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
10、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
11、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
12、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试题一、填空题（每空3分，共18分）1、limsinxxx2、limx21x2x2x1=.3、函数f（x）e2，则f（x）4、曲线y1x在点12,2处的切线方程为：
.5
、函数y0t21）dt，则dydx。
6、微分方程y2y3y0的通解为.
二、选择题（每题3分，共12分）7、f（x）的导函数是sinx，则f（x）的一个原函数为（）.
A:
1sinxB:
1sinxC:
1cosxD:
1cosx
25
x218、x1是函数f（x）的（）.x1
A:
可去间断点B：
跳跃间断点C:
无穷间断点D:
连续点
9、函数f（x）x33x在区间0,2上的最小值是（）.
A:
0B:
-2C:
-4D:
210、下列错误的是（A:
f（x）dxf（x）B:
f（x）dxf（x）cC:
df（x）f（x）cD:
df（x）dxf（x）dx
三、计算下列极限与导数（每题5分，共20分）、limexex11x0sinx12、yy、y13求：
y）.26
14、方程xyexy确定y是x的函数，求：
y
四、计算下列不定积分与定积分（每题5分，共20分）15、cos3xdx
16、x2lnxdx
17
、40
27
18、12sinx11x2dx
五、综合题（每题8分,共24分）19、讨论函数yx1x2的单调性、极值.20、求曲线y24（x1）及y24（1x）所围成图形的面积28
21、求微分方程dyyex
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