高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布108n次独立重复试验与二项分布学案理.docx
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高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布108n次独立重复试验与二项分布学案理
2019-2020年高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.8n次独立重复试验与二项分布学案理
[知识梳理]
1．条件概率及其性质
（1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示，其公式为P（B|A）＝（P（A）>0）．在古典概型中，若用n（A）表示事件A中基本事件的个数，则P（B|A）＝（n（AB）表示AB共同发生的基本事件的个数）．
（2）条件概率具有的性质
①0≤P（B|A）≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，
则P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）．
2．相互独立事件
（1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．
（2）若A与B相互独立，则P（B|A）＝P（B），
P（AB）＝P（B|A）P（A）＝P（A）P（B）．
（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
（1）独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai（i＝1,2，…，n）表示第i次试验结果，则P（A1A2A3…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）．
（2）二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…，n）．
[诊断自测]
1．概念思辨
（1）相互独立事件就是互斥事件．（ ）
（2）P（B|A）表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P（BA）表示事件A，B同时发生的概率，一定有P（AB）＝P（A）·P（B）．（ ）
（3）二项分布是一个概率分布，其公式相当于（a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝（1－p）．（ ）
（4）二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．（ ）
答案
（1）×
（2）× （3）× （4）√
2．教材衍化
（1）（选修A2－3P55T2
（1））袋中有5个小球（3白2黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P（A）＝，P（AB）＝×＝，所以P（B|A）＝＝＝.故选C.
（2）（选修A2－3P58T2）将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，则k＝________.
答案 2
解析 依题意有C×k×5－k＝C×k＋1×5－（k＋1），所以C＝C，所以k＝2.
3．小题热身
（1）两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 设事件A：
甲实习生加工的零件为一等品；事件B：
乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P（A）＝，P（B）＝，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝×＋×＝.故选B.
（2）（xx·全国卷Ⅰ）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312
答案 A
解析 3次投篮投中2次的概率为P（k＝2）＝C×0.62×（1－0.6）＝3×0.62×0.4，投中3次的概率为P（k＝3）＝0.63，所求事件的概率P＝P（k＝2）＋P（k＝3）＝0.648.故选A.
题型1 条件概率
从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：
“取到的2个数之和为偶数”，事件B：
“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）＝（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 解法一：
事件A包括的基本事件：
（1,3），（1,5），（3,5），（2,4）共4个．
事件AB发生的结果只有（2,4）一种情形，即n（AB）＝1.
故由古典概型概率P（B|A）＝＝.故选B.
解法二：
P（A）＝＝，P（AB）＝＝.由条件概率计算公式，得P（B|A）＝＝＝.故选B.
[条件探究1] 若将本典例中的事件B改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？
解 P（A）＝＝，P（B）＝＝.
又B⊆A，则P（AB）＝P（B）＝，
所以P（B|A）＝＝＝.
[条件探究2] 本典例条件改为：
从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，求P（B|A）的值．
解 从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有A种方法；其中第一次取到的是奇数，有AA种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有AA种方法．
则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴P（B|A）＝＝＝.
方法技巧
条件概率的两种求解方法
1．利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，这是求条件概率的通法．
2．借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）＝.
冲关针对训练
（xx·唐山二模）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（ ）
A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9
答案 C
解析 设“第一个路口遇到红灯”为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P（A）＝0.5，P（AB）＝0.4，则P（B|A）＝＝0.8.故选C.
题型2 相互独立事件的概率
（xx·陕西高考）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量（kg）
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格（元/kg）
6
10
概率
0.4
0.6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于xx元的概率．
解
（1）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，
∵利润＝产量×市场价格－成本，
∴X所有可能的取值为
500×10－1000＝4000,500×6－1000＝xx，
300×10－1000＝xx,300×6－1000＝800.
P（X＝4000）＝P（）P（）＝（1－0.5）×（1－0.4）＝0.3，
P（X＝xx）＝P（）P（B）＋P（A）P（）＝（1－0.5）×0.4＋0.5×（1－0.4）＝0.5，
P（X＝800）＝P（A）P（B）＝0.5×0.4＝0.2，
所以X的分布列为
X
4000
xx
800
P
0.3
0.5
0.2
（2）设Ci表示事件“第i季利润不少于xx元”（i＝1,2,3），由题意知C1，C2，C3相互独立，
由
（1）知P（Ci）＝P（X＝4000）＋P（X＝xx）＝0.3＋0.5＝0.8（i＝1,2,3），
3季的利润均不少于xx元的概率为
P（C1C2C3）＝P（C1）P（C2）P（C3）＝0.83＝0.512；
3季中有2季利润不少于xx元的概率为
P（1C2C3）＋P（C12C3）＋P（C1C23）＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于xx元的概率为0.512＋0.384＝0.896.
方法技巧
利用相互独立事件求概率的思路
1．求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．
2．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
（2）正面计算较繁（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
冲关针对训练
（xx·哈尔滨质检）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列．
解 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P（E）＝，P（）＝，P（F）＝，P（）＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
（1）记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，
于是P（）＝P（）P（）＝×＝，
故所求的概率为P（H）＝1－P（）＝1－＝.
（2）设企业可获利润为X（万元），则X的可能取值为0,100,120,220，因为P（X＝0）＝P（）＝×＝，P（X＝100）＝P（F）＝×＝＝，
P（X＝120）＝P（E）＝×＝，
P（X＝220）＝P（EF）＝×＝＝.
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
题型3 独立重复试验与二项分布
（xx·太原一模）近几年来，我国许多地区经常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：
课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动．预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是：
前3天均为50%，后2天均为80%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的．
（1）求未来一周5天至少一天停止组织集体活动的概率；
（2）求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数X的分布列；
（3）用η表示该校未来一周5天停止组织集体活动的天数，记“函数f（x）＝x2－ηx－1在（3,5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．
解
（1）未来一周5天都组织集体活动的概率是
P＝32＝，
则至少有一天停止组织集体活动的概率是1－P＝.
（2）X的取值是0,1,2,3,4,5，则P（X＝0）＝，
P（X＝1）＝3×C××＋C32＝＝，
P（X＝2）＝C32＋C3×C××＋32＝，
P（X＝3）＝C32＋C3×C××＋32＝，
P（X＝4）＝C32＋3×C××＝，
P（X＝5）＝32＝，
所以不需要停止组织集体活动的天数X分布列是
X
0
1
2
3
4
5
P
（3）函数f（x）＝x2－ηx－1在（3,5）上有且只有一个零点，且0≤η≤5，则f（3）f（5）<0，＜η＜，
故η＝3或4，
故所求概率为
P（A）＝C32＋C3×C××＋32＋3×C××＋C3·2＝＋＝.
方法技巧
1．独立重复试验的实质及应用
独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程．
2．判断某概率模型是否服从二项分布Pn（X＝k）＝Cpk（1－
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