1718年度9年级数学上第9次.docx

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1718年度9年级数学上第9次

1．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2016次操作后得到的折痕D2015E2015到BC的距离记为h2016，到BC的距离记为h2016．若h1=1，则h2016的值为（　　）

A．B．1﹣C．D．2﹣

2．如图，⊙P在第一象限，半径为3．动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C随点A运动所形成的图形的面积为（　　）

A．B．27πC．D．π

3．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　）

A．6B．2+1C．9D．

4.如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为　　．

5．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△GEF，连接GC，则GC长度的最小值是　　．

6．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当∠QCN度数取最大值时，线段CQ的长为　　．

7．定义：

y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x+2，2x+1，﹣5x+20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数．

（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；

（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1，3），动点M（m，m）．

①直接写出△ABM的面积，其面积是　　；

②若以M为圆心的圆经过A，B两点，写出点M的坐标；

③以②中的点M为圆心，以为半径作圆．在此圆上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出此最小值．

附：

下列知识可直接应用：

1、中点公式：

已知A（x₁，y₁）与B（x₂，y₂），则线段AB的中点M的坐标为：

M（，）

2、如果两条直线y=k1x+m，和y=k2x+n垂直，则k1•k2=﹣1．

8．已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．

①当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；

②当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），①中结论还成立吗？

证明你的结论；

③当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，求证：

AB=4PD．

9．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一点．

（1）过A、B、D三点作⊙O，交线段AC于点E（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若=，求证：

AB是⊙O的直径；

（3）在

（2）的条件下，若AB=13，BC=10，求AE的长．

10．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8．动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动的时间为t．

（1）当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM．

（2）在整个运动过程中：

①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形．

②圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值范围（直接写出答案）．

11．（2016•无锡二模）在直角坐标系中，矩形OABD的边OA、OC在坐标轴上，B点坐标是（2，1），M、N分别是边OA、OC上的点．将△OMN沿着直线MN翻折，若点O的对应点是O′．

（1）①若N与C重合，M是OA的中点，则O′的坐标是　　；

②MN∥AC，若翻折后O′在AC上，求MN的解析式．

（2）已知M坐标是（1.5，0），若△MNO′的外接圆与线段BC有公共点，求N的纵坐标n的取值范围．

（3）若O′落在△OAC内部，过O′作平行于x轴的直线交CO于点E，交AC于点F，若O′是EF的中点，求O′横坐标x的取值范围．

切线最值

12．（13咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为　　．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为　　．

1．解：

连接AA1．

由折叠的性质可得：

AA1⊥DE，DA=DA1，

又∵D是AB中点，∴DA=DB，∴DB=DA1，∴∠BA1D=∠B，∴∠ADA1=2∠B，

又∵∠ADA1=2∠ADE，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，

∴AA1⊥BC，∴AA1=2，∴h1=2﹣1=1，

同理，h2=2﹣，h3=2﹣×=2﹣…

∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣．∴h2016=2﹣．

故选：

D．

2．解：

如图所示，点C随A运动所形成的图形为圆，可得OC=OA，OC′=OA′，

∴CC′=OC′﹣OC=（OA′﹣OA）=AA′=6，

∴点C随点A运动所形成的圆的面积为π×（3）2=27π，故选B．

3．解：

如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，

此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，

∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，

∵∠OP1B=90°，∴OP1∥AC

∵AO=OB，∴P1C=P1B，∴OP1=AC=4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，

如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，

P2Q2最大值=5+3=8，

∴PQ长的最大值与最小值的和是9．

故选C．

4．解：

如图，连接OE、OF，

∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，

∴OECF是正方形，

∵由△ABC的面积可知×AC×BC=×AC×OE+×BC×OF，

∴OE=OF=×2a=EC=CF，BF=BC﹣CF=a，GH=2OE=2a，

∵由切割线定理可得BF2=BH•BG，∴a2=BH（BH+2a），

∴BH=（﹣1+）a或BH=（﹣1﹣）a（舍去），

∵OE∥DB，OE=OH，∴△OEH∽△BDH，∴=，

∴BH=BD，CD=BC+BD=2a+（﹣1+）a=（1+）a，

5．解：

如图所示：

当∠AFE=∠GFE，点G在CE上时，此时CG的值最小，

根据折叠的性质，△AFE≌△GFE，∴AE=GE，

∵E是AB边的中点，AB=2，∴AE=BE=GE=1，

∵BC=AB=2，∴CE==，∴CG=CE﹣EG=﹣1，

6．解：

连接OQ，

∵MN=OP（矩形对角线相等），⊙O的半径为2，∴OQ=MN=OP=1，

可得点Q的运动轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，则tan∠QCN的最大值，

此时，在直角三角形CQ′O中，∠CQ′O=90°，OQ′=1，CO=2，

∴CQ′==，即线段CQ的长为．

7．解：

（1）最小值函数的图象见图中实线，

∵x=1时，y=3，

∴点A（1，3）在这个最小值函数的图象上．

（2）①如图2中，作ON⊥AB于N．

∵AB∥OM，∴S△ABM=S△ABO，

∵A91，3），B（3，5），ON=，AB=2∴S△ABM=×2×=2．

②∵直线AB的解析式为y=x+2，

∴线段AB的中垂线的解析式为y=y=﹣x+6，由，解得，∴点M坐标为（3，3）；

③PA+PB的最小值为，理由如下：

如图，A（1，3）B（3，5），M（3，3），

取MB的中点D，P为圆上任意一点，PM=，MB=2，MD=1，可证△MPD∽△MBP，

可得PD=PB，则PA+PB最小也就是PA+PD最小，所以连接AD，线段AD的长是所求的最小值，最小值为．

12.解：

连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；

根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，

∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴AB=OA=6，∴OP==3，

∴PQ===2．

13.解：

连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；

根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，

∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（﹣4，0）、B（0，4），

∴OA=OB=4，∴AB=4∴OP=AB=2，∴PQ=；

8．解：

（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；理由如下：

∵∠CPO对着劣弧，∠PCB对着优弧，和之和恰为圆周弧，

∴∠CPO+∠PCB=180°，∴PO∥BC；

（2）

（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：

由折叠可知：

△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO，

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO，

又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，

∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，∴PO∥BC；

（3）∵CD为圆O的切线，

∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO=∠COP，

由折叠可得：

∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP，

又OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠APO=∠AOP，

∴△APO为等边三角形，∴∠AOP=60°，

又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，

∴△BCO为等边三角形，∴∠COB=60°，

∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，

∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，

又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°，

在Rt△PCD中，PD=PC，又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD．　

9．

（1）解：

如图，⊙O即为所求；

（2）证明：

∵过A、B、D三点作⊙O，交线段AC于点E，

∴A、B、D、E四点共圆，∴∠DEC=∠ABC，

∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠DEC=∠ACB，∴DE=CD，

∵=，∴DE=BD，∴CD=BD，∴AD⊥BC，∴AB是⊙O的直径；

（3）解：

连结BE，

∵AB是⊙O的直径，

∴BE⊥AC，

由勾股定理可得，AB2﹣AE2=BC2﹣（AC﹣AE）2，即132﹣AE2=102﹣（13﹣AE）2，

解得AE=．

故AE的长是．

10．解：

（1）如图1所示：

连接ME．

∵AE=t，AD=8，∴ED=AD﹣AE=8﹣t．

∵EF为⊙O的直径，∴∠EMF=90°．∴∠EMD=90°．∴MD=ED•cos∠MDE=．

（2）①a、如图2所示：

连接MC．

当DM=CD=6时，=6，解得t=；

b、如图3所示：

当MC=MD时，连接MC，过点M作MN⊥CD，垂足为N．

∵MC=MD，MN⊥CD，∴DN=NC．

∵MN⊥CD，BC⊥CD，∴BC∥MN．

∴M为BD的中点．∴MD=5，即=5，解得t=；

c、如图4所示：

CM=CD时，过点C作CG⊥DM．

∵CM=