《几何综合探究问题》共48题中考专项配套练习重庆专用.docx
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《几何综合探究问题》共48题中考专项配套练习重庆专用
5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（重庆专用）
专题13几何综合探究问题（共48题）
五年中考真题
一．解析题（共10小题）
1．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：
CF
AD；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
2．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2
．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．
3．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP＝2AP＝4，CP
，CD＝5，求△ACD的面积．
（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：
AD
CM+2CE．
4．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）如图1，若∠D＝30°，AB
，求△ABE的面积；
（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：
ED﹣AG＝FC．
5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．
（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；
（2）若∠ACB＝45°，求证：
DF
CG．
6．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．
（1）若BC＝12
，AB＝13，求AF的长；
（2）求证：
EB＝EH．
7．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB＝3
，BC＝5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：
∠BDF＝∠CEF．
8．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE．
（1）如图1，若AB＝4
，BE＝5，求AE的长；
（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF＝DF时，求证：
DC＝BC．
9．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．
（1）若AB＝2
，求BC的长；
（2）如图1，当点G在AC上时，求证：
BD
CG；
（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出
的值．
10．（2016•重庆）已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，CD
BC，DE⊥CE，DE＝CE，连接AE，点M是AE的中点．
（1）如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB＝4时，求CM的长；
（2）如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：
MN⊥AE；
（3）如图3，将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索
的值并直接写出结果．
一年模拟新题
一．解答题（共38小题）
1．（2020•渝中区校级二模）如图，CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连接CD；点E为CD的中点，EF＝EG＝EC，且∠FEG＝90°；点O为CB的中点，直线GO与直线CF交于点N．
（1）如图1，若∠FCD＝30°，OC
，求CF的长；
（2）连接BG并延长至点M，使BG＝MG，连接CM．
①如图2，若NG⊥MB，求证：
AB
CM；
②如图3，当点G、F、B共线时，BM交AC于点H，AH
AC，请直接写出
的值．
2．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．
（1）猜想：
线段AG、BC、EC之间有何等量关系？
并加以证明；
（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．
3．（2020•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．
（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2
，求AB的长；
（2）如图2，作EG⊥AB，求证：
AD
BE；
（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．
4．（2020•南岸区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．
（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF
AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．
（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？
若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
5．（2020•南岸区校级模拟）△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：
PQ
BD．
（1）如图1，理清思路，完成解答：
本题证明的思路可以用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；
（2）如图2，特殊位置，求线段长：
若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ
，求PF的长．
（3）知识迁移，探索新知：
若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．
6．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】
（1）如图1：
在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：
延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．
7．（2019•渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．
（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；
（2）如图2，在
（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．
8．（2019•重庆模拟）一节数学课后，老师布置了一道课后练习：
△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时，求证：
AD＝DE
（1）理清思路，完成解答
本题证明思路可以用下列框图表：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；
（2）特殊位置，计算求解
当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；
（3）知识迁移，探索新知
当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）
9．（2020•南岸区校级模拟）如图1，直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠A＝60°，O为BC中点，将△ABC绕O点旋转180°得到△DCB．一动点P从A出发，以每秒1的速度沿A→B→D的路线匀速运动，过点P作直线PM⊥AC交折线段A﹣C﹣D于M．
（1）如图2，当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→D的路线运动，且在AB上以每秒1的速度匀速运动，在BD上以每秒2的速度匀速运动，过Q作直线QN∥PM交折线段A﹣C﹣D于N，设点Q的运动时间为t秒，（0＜t＜10）直线PM与QN截四边形ABDC所得图形的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．
（2）如图3，当点P开始运动的同时，另一动点R从B处出发沿B→C→D的路线运动，且在BC上以每秒
的速度匀速运动，在CD上以每秒2的速度匀速运动，是否存在这样的P、R．使△BPR为等腰三角形？
若存在，直接写出点P运动的时间m的值，若不存在请说明理由．
10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，动点P从A点出发沿射线AB方向运动，同时动点Q从B点出发以与P点相同的速度沿射线BC方向运动，连接AQ，CP，直线AQ与直线CP交于点H．
（1）如图1，当P，Q两点分别在线段AB和线段BC上时，直接写出∠CHQ的度数；
（2）如图2，当P，Q两点分别运动到线段AB和线段BC的延长线上时，试问
（1）问中的结论是否成立：
若成立请说明理由，若不成立，请求出∠CHQ的度数；
（3）如图3，在
（2）问的前提下，连接DH，过点D作DE⊥PH交PH延长线于点E．求证：
AH﹣CE
DH．
11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，点F分别在线段OB，线段AB上，且AF＝OE，连接AE交OF于G，连接DG交AO于H．
（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE
，求BF的长；
（2）如图2，若AE平分∠BAC，求证：
FG＝HG；
（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos∠HDO的值．
12．（2020•沙坪坝区自主招生）在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．
（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；
（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠FAG＝∠BFG，求证：
AB
FG；
（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出
的值．
13．（2020•巴南区自主招生）已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．
（1）如图1，求AD的长；
（2）如图2，连接KG，求证：
AG＝DK+KG；
（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ的最大值．
14．（2020•南岸区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．
（1）求证：
AE
NE+ME；
（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．
猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）在
（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．
15．（2020•北碚区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．
（1）若AB＝4，BE
，求△CEF的面积．
（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：
BH+MG
BE；
（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．
16．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，点F，G在边BC上，且AF＝AG．
（1）如图1，若AG平分∠FAC，∠AFC＝5∠BAF，且AF＝4，求线段AC的长；
（2）如图2，点E在边AB上，且BE＝EF，证明：
AE＝BG；
（3）在
（2）的条件下，连接CE（如图3），若∠AEC＝∠ACD，你能得到AD，FG，BE怎样的数量关系？
试证明你的猜想．
17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，到达A点停止运动；同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，到达D点停止运动，设点E移动的时间为t（秒）．
（1）当t＝1时，求四边形BCFE的面积；
（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的关系式，并写出t的取值范围；
（3）若F点到达D点后立即返回，并在线段CD上往返运动，当E点到达A点时它们同时停止运动，求当t为何值时，以E，F，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此的等腰三角形的面积S△EDF．
18．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F．
（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2
，求AD的长；
（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：
AF＝DH+FH；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4
，请直接写出MN的最小值．
19．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：
在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．
（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：
△OMN是等腰直⻆三角形；
（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则
（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；
（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN
，请求出四边形ABED的⾯积．
20．（2019秋•九龙坡区期末）
（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB
∠FEH，求证：
AB＝AF+BH．
（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．
①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；
②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．
21．（2019秋•吉州区期末）【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：
；
（2）AM＝DE+BM是否成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示
（1）、
（2）中的结论是否成立？
请分别作出判断，不需要证明．
22．（2019春•江北区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点A（﹣2，0），线段AB＝8，线段AD＝6，且∠BAD＝60°，AD与y的交点记为E，连接BE．
（1）求▱ABCD的面积．
（2）如图2，在线段BE上有两个动点G、K（G在K点上方），且KG
，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG+GK+KP的值最小时，求出此时P点的坐标；此时在y轴上找一点H，x轴上线一点M，使得PH+HM
AM取得最小值，请求出PH+HM
AM的最小值．
（3）如图3，将△AOE沿射线EB平移到△A′O'E'的位置，线段E′A′的中点N落在x轴上，此时再将△A′O'E'绕平面内某点W旋转90°，旋转后的三角形记为△A''O''E''，若△A''O''E'恰好只有两个顶点同时落在直线BC和直线BE上，且△A''E''B''的边均不在直线BC或直线BE上，请求出满足条件的W的坐标．
23．（2019秋•北碚区校级月考）已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．
（1）如图①，若tan∠ADM
，MN＝3，求BC的长；
（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：
DM＝BH+NH．
24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥CD于点E，点G，F分别为AD，BC上一点，连接CG交AE于点H，连接AF，AF＝AH，∠GCF＝∠FAE＝45°．
（1）若tan∠DAE
，GH＝4，求AF的长；
（2）求证：
AG
GH＝GC．
25．（2020春•北碚区校级期末）已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE：
①若CE
，求BD长度；
②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：
CE
EF；
（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．
26．（2020春•重庆期末）已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，﹣4），M（4，﹣4）．
（1）如图1，若点C与点O重合，A（﹣2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；
（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；
（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证：
∠NEF＝2∠AOG．
27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为斜边作Rt△AEC，∠AEC＝90°，AB与CE相交于点D．
（1）如图1，AB平分∠CAE，BD＝4，CD＝5，求AC；
（2）如图2，若AC＝BC，点F在EA的延长线上，连接FB、FC，FB与CE相交于点G，且∠EAD＝∠ACF，求证：
AF＝2GE；
（3）如图3，在
（2）的条件下，CE的中垂线与AB相交于点Q，连接EQ，若∠DEQ+2∠ACE＝90°，请直接写出线段FC、ED、EQ的关系．
28．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．
（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．
①若∠ABD＝30°，DE
，求BF的长度；
②求证：
DG＝EF﹣FG；
（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．
29．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．
（1）如图1，若DE＝3
，BC＝2
，求CE的长；
（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：
AB
EF；
（3）在
（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．
30．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．
（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；
（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：
EF
DF；
（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．
31．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．
（1）如图1，若CA：
AD＝3：
7，BE＝4，求EC的长；
（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，
①求证：
BF+EF＝BD；
②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出
的值．
32．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．
（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；
（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：
△AEF为等腰直角三角形；
（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．
33．（2019秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；
（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证：
AF＝CE
AE．
34．（2020春•南岸区期末）把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE．
（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；
（2）如图2，当点
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