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锐角的三角函数教学设计

-CAL-FENGHAI-（2020YEAR-YICAI）_JINGBIAN

锐角的三角函数教学设计

第23章　解直角三角形

23.1　锐角的三角函数

第1课时　锐角的三角函数

教学目标

【知识与技能】

1.了解锐角三角函数的概念,能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.

2.理解坡度的概念,并能够计算坡面的坡度.

【过程与方法】

通过锐角三角函数的学习进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,体会数学在解决实际问题中的应用.

【情感、态度与价值观】

1.通过学习培养学生的合作意识.

2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.

重点难点

【重点】

锐角三角函数的概念,坡比的概念.

【难点】

锐角三角函数概念的理解.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:

高架桥的起始一段有倾斜的部分,这个坡面的坡度或者说倾斜程度是怎样度量的呢

学生思考.

二、共同探究,获取新知

1.正切的概念.

教师多媒体课件出示:

在下图中,有两个直角三角形,直角边AC与A1C1表示水平面,斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面,坡面AB和A1B1哪个更陡你是怎样判断的

生:

A1B1更陡.

师:

你是怎样判断的呢

生甲:

这两个中同样是100的一段,对应的高度A1B1上升得多.

生乙:

（2）倾斜得厉害.

教师多媒体课件出示:

师:

这个图里,你能判断坡面AB和A1B1哪个更陡吗

学生观察后回答:

A1B1更陡.

师:

为什么

生:

……

教师多媒体课件出示:

如图,在锐角A的一边上任取一点B,自点B向另一边作垂线,垂足为C,得到Rt△ABC;再任取一点B1,自点B1向另一边作垂线,垂足为C1,得到另一个Rt△AB1C1……这样,我们可以得到无数个直角三角形,这些直角三角形都相似.在这些直角三角形中,锐角A的对边与邻边之比、、……究竟有怎样的关系

教师读题后学生思考.

生:

锐角A的这些对边与邻边之比都是相等的.

师:

对,在这些直角三角形中,当锐角A的大小确定后,无论直角三角形的大小怎样变化,∠A的对边与邻边的比值总是一个定值.

教师边操作边讲解:

在这个直角三角形ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA===.

2.坡度、坡角的概念.

教师边作图边讲解:

正切经常用来描述坡面的坡度.坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i,即i=,坡度通常写成h∶l的形式.坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角）,记作α,于是有i==tanα.你能得到坡度与坡角之间的关系吗

生:

能.坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.

师:

很好!

三、举例应用,巩固新知

教师多媒体课件出示:

【例1】　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA和tanB.

tanA===.

师:

你能计算出∠A和∠B的正切吗

学生思考后回答:

能.

师:

怎样计算

教师找一生回答.

生:

tanA==,tanB==

师:

你回答得很好!

现在请同学们看课本第114页练习的第3题.

学生读题后,教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.

解:

AC===≈199.64,

∴引桥的坡度为:

tan∠BAC===≈0.06.

四、继续探究,层层推进

教师多媒体课件出示:

师:

在这个图中,这些直角三角形都是相似的,当锐角A的大小确定后,不仅∠A的对边与邻边的比随之确定,还有一些量也是确定的,你知道还有哪些量也是确定的吗

学生思考、交流.

教师提示:

还有哪两条边的比值也是确定的

生甲:

∠A的对边与斜边的比值也是确定的.

生乙:

邻边与斜边的比值也是确定的.

师:

对.

教师画一个图形:

师:

在这个直角三角形ABC中,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA===.锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA===.锐角A的正弦、余弦、正切称为锐角A的三角函数.我们介绍了正弦、余弦,下面我们通过具体的实例加深对这些函数的印象.

老师多媒体课件出示:

【例2】　如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=12,BC=5.求∠A的各个三角函数值.

师:

要求这三个三角函数的值,需要知道几条边的长

生:

三条.

师:

现在已知了哪几条边的长

生:

AC、BC两条边的长.

师:

那么我们需要求什么才能求出三个三角函数的值

生:

还要求出AB的长.

师:

怎样求呢

生:

用勾股定理.

师:

很好!

现在请同学们求出AB的长,并进一步求出∠A的各个三角函数的值.

学生做题.

师:

请同学们将你的步骤和结果与课本上的解答相比照,对不正确的地方加以纠正.

学生对照.

教师多媒体课件出示:

【例3】　如图,在平面直角坐标系内有一点P（3,4）,连接OP.求OP与x轴正方向所夹锐角α的各个三角函数.

教师读题,学生思考.

师:

以前是在直角三角形中,用直角三角形的边长之比求三角函数的,现在没有直角三角形怎么办

学生思考.

生:

作辅助线.

师:

怎样作

生:

过点P向x轴作垂线,垂足为Q.这样在直角三角形OPQ中求角α的三角函数值就行了.

师:

很好!

作出这样的辅助线就方便了,就变成了我们以前遇到过的类型,同学们能求出吗

生:

能.

师:

好!

现在请同学们画出辅助线,并求出角α的三角函数值.

学生作图,计算.

师:

请同学们将结果与课本上的解答比较,加以修正.

学生对照,修正.

五、练习新知

1.师:

请同学们看课本第116页练习的第1、2题.

学生看题.

教师找两生分别板演练习第1、2题,其余同学在下面做,然后集体订正得到:

（1）解:

BC===8,

∴sinA===,cosA===,

tanA===.

sinB===,cosB===,

tanB===.

（2）解:

AB===4.

∵∠ACD+∠A=90°,∠B+∠A=90°,

∴∠ACD=∠B（同角的余角相等）,

同理∠BCD=∠A.

∴sin∠ACD=sin∠B===,

cos∠BCD=cos∠A===.

2.师:

同学们,通过刚才习题的练习,你们掌握得怎么样下面让我们一起来看几道习题.

教师板书习题:

（1）为测量如图所示的上山坡道的倾斜度,小明测得数据如图所示,则该坡道倾斜角α的正切值是（　　）

A.　　　B.4　　　C.　　　D.

【答案】C

（2）晓敏由地面沿坡度i=1∶2的坡面向上前进了10m,此时她距离地面的高度为（　　）

A.5m　　B.4m　　C.2m　　D.m

【答案】C

（3）在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,则tanA的值为　　　　. 

【答案】

　　（4）在△ABC中,∠C=90°,BC=6,tanA=,则AC的长是　　　　. 

【答案】9

（5）在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则tanB=　　　　. 

【答案】

（6）某楼梯每一级台阶的宽度为30cm,高度为15cm,则楼梯的倾斜角的正切值为　　　　. 

【答案】

（7）修建抽水站时,沿着倾斜角为α的斜坡铺设管道,若量得水管的长度AB为100m,端点B离水平面的铅直高度为60m,则倾斜角α的正切值为　　　　. 

【答案】

六、课堂小结

师:

本节课你又学习了什么内容

学生回答.

师:

你还有什么疑问

学生提问,教师解答.

教学反思

本节课采用问题引入法,从教材探究性问题梯子的倾斜度入手,让学生主动参与学习活动.用特殊值探究锐角的三角函数时,学生们表现得非常积极,从作

图、找边角、计算各个方面进行探究,学生发现:

特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出,然后探究:

三角函数与直角三角形的边、角有什么关系三角函数与三角形的形状有关系吗整节课都在紧张而愉快的气氛中进行.学生非常活跃,大部分人都能积极动脑、积极参与.教学中,我一直比较关注学生的情感态度,对那此积极动脑、热情参与的同学都给予了鼓励和表扬,促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态,从而保证教学活动的有效性.

第2课时　30°,45°,60°角的三角函数值

教学目标

【知识与技能】

1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.

2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【过程与方法】

1.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

2.培养学生观察、比较、分析、概括的能力.

【情感、态度与价值观】

经历观察、操作、归纳等学习数学的过程,感受数学思考过程的合理性,感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性,养成科学、严谨的学习态度.

重点难点

【重点】

30°、45°、60°角的三角函数值.

【难点】

与特殊角的三角函数值有关的计算.

教学进程

一、复习巩固

教师多媒体课件出示:

如图所示:

在Rt△ABC中,∠C=90°.

（1）a、b、c三者之间的关系是　　　　; 

（2）sinA=　　　　,cosA=　　　　, 

tanA=　　　　; 

sinB=　　　　,cosB=　　　　, 

tanB=　　　　. 

（3）若∠A=30°,则=　　　　. 

学生回答.

二、共同探究,获取新知

1.引出新知

教师多媒体课件出示问题:

为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:

（1）含30°和60°两个锐角的三角尺;

（2）皮尺.请你设计一个测量方案,测出一棵大树的高度.

学生讨论,交流想法.

生:

我们组设计的方案如下:

让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,这位同学拿起三角尺,使她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点,30°角的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB的长度、BE的长度,因为DE=AB,所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.

师:

在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AD=BE,BE是已知的,设BE=a米,则AD=a米,如何求CD呢

生:

含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质:

30°的角所对的直角边等于斜边的一半,即AC=2CD,根据勾股定理,得（2CD）2=CD2+a2.

解得,CD=a.

则树的高度即可求出.

师:

我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30°角的正切值,在上图中,tan30°==,则CD=atan30°,岂不简单!

你能求出30°角的三个三角函数值吗

2.讲授新课.

（1）探索30°、45°、60°角的三角函数值.

师:

观察一副三角尺,其中有几个锐角它们分别等于多少度

生:

一副三角尺中有四个锐角,它们分别是30°、60°、45°、45°.

师:

sin30°等于多少呢你是怎样得到的与同伴交流.

生:

sin30°=.sin30°表示在直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边长为a（如图所示）,根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边长等于2a.根据勾股定理,可知30°角的邻边长为a,所以sin30°==.

师:

cos30°等于多少tan30°呢

生:

cos30°==.tan30°===.

师:

我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°、60°,它们的三角函数值分别是多少你是如何得到的

生:

求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图,很容易求得sin60°==,cos60°==,tan60°==.

师生共同分析:

我们一起来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.如图,设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,斜边为a.由此可求得

sin45°===,

cos45°===,

tan45°==1.

教师多媒体课件出示:

　　　三角函数

角度α　　　

sinα

cosα

tanα

30°

45°

1

60°

　　师:

这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需要熟记.另一方面,要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小.

为了帮助大家记忆,我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值,你能发现什么规律呢

生:

30°、45°、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为、、,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.

师:

再来看第二列的函数值,有何特点呢

生:

第二列是30°、45°、60角的余弦值,它们的分母也都是2,而分子从小到大分别为、、,余弦值随角度的增大而减小.

师:

第三列呢

生:

第三列是30°、45°、60°角的正切值,首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角,所以tan45°=1比较特殊.

师:

很好!

掌握了上述规律,记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定会做得很棒!

（2）进一步探究锐角的三角函数值.

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.

∵sinA=,cosA=,

sinB=,cosB=,

∴sinA=cosB,cosA=sinB.

∵∠A+∠B=90°,

∴∠B=90-∠A,

即　sinA=cosB=cos（90°-∠A）,

cosA=sinB=sin（90°-∠A）.

任意一个锐角的正（余）弦值,等于它的余角的余（正）弦值.

三、例题讲解,巩固新知

【例1】　计算:

（1）sin30°+cos45°;

（2）sin260°+cos260°-tan45°.

分析:

本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值,今后若无特别说明,用特殊角的三角函数值进行计算时,一般不取近似值,另外sin260°表示（sin60°）2,cos260°表示（cos60°）2;

教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正得到:

解:

（1）sin30°+cos45°=+=;

（2）sin260°+cos260°-tan45°

=（）2+（）2-1

=+-1

=0.

【例2】　在Rt△ABC中,∠C=90°,且sinA=,求cosB的值.

解:

∵∠A+∠B=90°,∴cosB=cos（90°-∠A）

=sinA=.

【例3】　一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.（结果精确到0.01m）

分析:

引导学生自己根据题意画出示意图,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

解:

根据题意（如图）可知,

∠BOD=60°,

OB=OA=OD=2.5m,

∠AOD=×60°=30°,

∴OC=OD·cos30°

=2.5×≈2.165（m）.

∴AC=2.5-2.165≈0.34（m）.

所以,最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.

四、随堂练习

师:

同学们,刚才学习了那么多,现在让我来检测一下你们学得怎么样了.

教师多媒体课件出示:

1.sin30°的值为（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【答案】C

2.计算4sin60°-3tan30°的值为（　　）

A.B.2C.3D.0

【答案】A

3.计算sin245°+cos245°的值为（　　）

A.2B.1C.0D.3

【答案】B

4.计算的值为（　　）

A.1-B.-1C.-1D.1-

【答案】A

5.下列各式中,正确的是（　　）

A.sin20°+sin55°=sin75°

B.tan80°-tan50°=tan30°

C.2cos60°=1

D.cos60°-cos30°=cos30°

【答案】C

6.计算:

（1）sin60°-tan45°;

（2）cos60°+tan60°;

（3）sin45°+sin60°-2cos45°.

【答案】

（1）原式=-1=;

（2）原式=+=;

（3）原式=×+-2×=.

7.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7m.扶梯的长度是多少

【答案】扶梯的长度为==14（m）,

所以扶梯的长度为14m.

五、课堂小结

本节课总结如下:

1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.

sin30°=,sin45°=,sin60°=;

cos30°=,cos45°=,cos60°=;

tan30°=,tan45°=1,tan60°=.

2.能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

3.能根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小.

教学反思

本节课的教学中,课堂环节设置齐全,能很好地贯彻执行理解教育,对理解教育的教育模式把控较好;课堂中学生分组很好,能给学生构建一个宽松、和谐的学习环境和氛围;课件制作很好,能很好的配合指导自学书的使用,提高了课堂的效率;学生积极参与,学习积极性较高;课堂习题的设置有梯度,题目能面向全体学生.

第3课时　一般锐角的三角函数值

教学目标

【知识与技能】

1.会使用计算器求锐角的三角函数值.

2.会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角.

【过程与方法】

在做题、计算的过程中,逐步熟悉计算器的使用方法.

【情感、态度与价值观】

经历计算器的使用过程,熟悉其按键顺序.

重点难点

【重点】

利用计算器求锐角三角函数的值.

【难点】

计算器的按键顺序.

教学过程

一、复习回顾

教师多媒体课件出示:

1.

　　　三角函数

角度α　　　

sinα

cosα

tanα

30°

45°

60°

教师找一生回答.

2.已知2sin（90°-α）-=0,求锐角α的度数.

教师找一生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.

二、讲解新知

师:

上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值,但如果是任意的一个锐角,如何求它的三角函数值呢比如让你求sin36°的值.

学生思考,讨论.

生:

作一个有一个锐角的直角三角形,量出它的对边和斜边长,求它的比值.

师:

很好!

现在请同学们按这种方法求出sin36°的值.

学生作图、测量、计算.

生:

约等于0.5878.

师:

对!

用这种方法确实可以求出任意一个锐角三角函数的近似值,古代的数学家、天文学家也采用过这样的方法,只是误差较大.经过许多数学家不断的改进,不同角的三角函数值被制成了常用表,三角函数表大大改进了三角函数值的应用.今天,三角函数表又被带有sin、cos和tan功能键的计算器所取代.请同学们想一想用计算器得到的数是精确的吗

学生思考,讨论.

生甲:

是,比如sin30°是0.5.

生乙:

不是,比如sin45°等于,是一个无理数,就是无限不循环小数,用计算器得到的是有限个数字.

生丙:

有些是精确的,有些不精确.

师:

对!

我们用计算器得到的是三角函数值的近似值.不同计算器给出的近似值的有效数字也不同,有10个、有8个.我们一般取四个有效数字,具体的根据要求去取.不同计算器的按键方法也各有不同.

教师拿出计算器.

师:

我们学习这种计算器的使用方法.请同学们拿出自己的计算器.

学生拿出自己的计算器.

师:

先按ON键,再按DEG/RAD键,使显示器屏幕出现“DEG”,然后再按有关三角函数的键.

教师板书:

1.求已知锐角的三角函数值.

【例1】　求sin40°的值.（精确到0.0001）

师:

比如我们求sin40°的值,依次按sin、4、0、=这几个键.

学生操作.

师:

因为要求精确到万分位,我们将得到的数字四舍五入到万分位即可,你得到四舍五入后的值是多少

生:

0.6428.

师:

很好!

如果带有分呢

【例2】　求cos54°38'的值.（精确到0.0001）

师:

我们依次按cos、5、4、D·M'S、3、8、D·M'S、=这几个键.

学生操作后回答.

【例3】　求sin63°50'41″的值.（精确到0.0001）

师:

先用如下方法将角度单位状态设定为“度”:

SHIFTMODE（SETUP）3显示D.

再按下列顺序依次按键:

sin、6、3、D·M'S、5、2、D·M'S、4、1、0’”、）、=

显示结果为0.897859012.

所以sin63°52'41″≈0.8979.

2.由锐角三角函数值求锐角.

【例4】　已知sinA=0.5086,求锐角A.

师:

你有没有注意到计算器上有个2ndf键

生:

注意到了.

师:

这个键叫做第二功能键,我们用这个可以转换键盘上的功能键的作用.我们依次按2ndfsin-10·5086）=.

学生操作.

师:

这样我们得到的是多少度,要化成度分秒的形式,我们按那个第二功能键2ndf和度分秒键D·M'S.

学生操作后回答结果.

教师多媒体课件出示:

已知tanx=0.7410,求锐角x.（精确到1'）

师:

已知一个锐角的正切,请同学们用计算器求出这个角的度数.

学生操作后回答结果.

三、练习新知

师:

现在请同学们用计算器计算课本第122页的练习1,然后填表.

学生操作填表并回答.

师:

现在请同学们用计算器求出练习2中各个三角函数值,并回答.

学生计算完成后抢答.

师:

请同学们完成练习3、4,把结果写在练习本上.

学生操作,老师巡视指导,然后集体订正.

四、巩固提高

师:

同学们,通过刚才课本的习题练习,相信大家都对用计算器求锐角的三角函数值有了一定的了解,下面让我们继续来做几道巩固一下.

教师多媒体课件展示习题.

1.sinα=0.2316,cosβ=0.2316,则锐角α与锐角β之间的关系是（　　）

A.α=β　　　　　　　B.α+β=180°

C.α+β=90°D.α-β=90°

【答案】C

2.使用计算器计算:

sin52°18'≈　　　.（保留三个有效数字） 

【答案】0.791

3.已知cosβ=0.7416,利用计算器求出β的值约为　　　.（精确到1°） 

【答案】42°

4.用计算器求出下列三角函数的值.（精确到0.0001）

（1）sin20°;

（2）cos42.5°;

（3）tan65°3'18″.

【答案】

（1）0.3420　

（2）0.7373　（3）2.1499

教师指名回答第1题,其余题目用计算器算出.教师巡视,对还有不会使用计算器求三角函数值的学生进行帮助指导.

五、课堂小结

师:

本节课,我们学习了什么内容

生甲:

用计算器求一个锐角的三角函数值.

生乙:

还学习了已知一个函数值,求它对应的锐角的大小.

师:

对,你还有什么不懂的地方吗

学生提问,教师解答.

教学反思

如何让学生体会用计算器的好处,我设计一个正弦值难于直接得到的sin36°的值让学生计算.在没有提示的情况下,学生有的用笔算,通过作图测量用正弦的定义计算,我肯定了学生的这种探索式作法,同时提出了使用计算器的简便性,在较短的时间内能正确计算,也显示了其较强的计算能力.学生通过亲身体验和交流自然发现了用计算器计算的好处——快捷、准确,为今后合理选择计算方法做了有效的铺垫.还让学生讨论了用计算器得到的数的精度,让他们意识到用计算器得到的是近似值,对数的近似有更深的认识.在用计算器的过程中向学生说明了几个键的功能,使他们更好地理解并掌握按键顺序.