六级数学思维训练数论综合三.docx

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六级数学思维训练数论综合三

2014年六年级数学思维训练：

数论综合三

一、兴趣篇

1．

（1）求所有满足下列条件的三位数：

在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数．

（2）求满足下列条件的最小自然数：

在它左边写上80后所得的数是完全平方数．

2．已知n!

+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．（n!

=1×2×3×…×n）

3．一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7．如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．

4．请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除．

5．在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：

所有满足条件的两位数之和是多少？

6．用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？

7．一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小值．

8．有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除．满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？

9．小明与小华玩游戏，规则如下：

开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？

10．对于一个自然数N，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：

把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除．那么在1至2008这2008个自然数中有多少个“破坏数”？

二、解答题（共12小题，满分0分）

11．

（1）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20；

（2）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是04；

（3）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20，后两位是04．

12．已知n!

+4等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n的值．（n!

=1×2×3×…×n）

13．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．

14．三个两位奇数，它们的最大公约数是l，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数．求所有满足要求的情况．

15．1×4×7×lO×…×2008的末尾有多少个连续的零？

16．一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数．如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？

17．任意一些末两位数是25的数相乘，它们的乘积末两位数仍是25，我们就称25是“变不掉的两位数尾巴”．显然000是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”．

18．在3和5之间插入6、30、20三个数，可以得到3、6、30、20、5这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．请你在4与3之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．

19．M、N是互为反序的两个三位数，且M＞N．请问：

（1）如果M和N的最大公约数是7，求M；

（2）如果M和N的最大公约数是21，求M．

20．用l、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是多少？

21．请将l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数．

22．一根红色的长线，将它对折，再对折，…，经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线．已知红色短线比白色短线多．m且它们的数量之和是100的倍数．请问：

红色短线至少有多少条？

三、解答题（共8小题，满分0分）

23．求出所有正整数n，使得25+n能整除25×n．

24．一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数．

25．一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？

26．一个不超过200的自然数，如裂川四进制表示，那么它的数字和是5；如果用六进制表示，那么它的数字和是8；如果用八进制表示，那么它的数字和是9．如果用十进制表示，这个数是多少？

27．把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除．这样的两个质数乘积最大是多少？

最小是多少？

28．用l、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数，你能否从这120个数里面找出11个数来，使得它们除以11的余数互不相同？

如果五个数字是1、3、4、6、8呢？

29．用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B．请问：

A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少？

最小公倍数最小可能是多少？

30．我们将具有如下性质的自然数K称为“巨人数”：

如果一个整数M能被K整除，则把M的各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被K整除，请求出100以内的所有的“巨人数”．

2014年六年级数学思维训练：

数论综合三

参考答案与试题解析

一、兴趣篇

1．

（1）求所有满足下列条件的三位数：

在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数．

（2）求满足下列条件的最小自然数：

在它左边写上80后所得的数是完全平方数．

【分析】

（1）估算出40000和41000之间的平方数即可．

（2）估算略大于800、8000以及80000的数，看看有没有在它左边写上80后所得的数是完全平方数的数即可．

【解答】解：

（1）2002=40000，2012=40401，2022=40804，可见只有401和804可以．

（2）估算略大于800，没有；

估算略大于8000，没有；

估算略大于80000的数可得：

2842=80656，因此，最小数是656．

2．已知n!

+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．（n!

=1×2×3×…×n）

【分析】对任意偶数2k，其平方4k2必能被4整除，对任意奇数2k+1，其平方4k2+4k+1被4整除余1，由于当n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故当n≥4时，1×2×3×…×n+3不可能是一个自然数的平方．

【解答】解：

对任意偶数2k，其平方4k2必能被4整除，对任意奇数2k+1，其平方4k2+4k+1被4整除余1，由于当n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故当n≥4时，1×2×3×…×n+3不可能是一个自然数的平方．

将n=1，2，3代入知：

1+3=4=22

1×2×3+3=9=32

故n=1，或n=3．

答：

自然数n的值为1或3．

3．一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7．如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．

【分析】设两个完全平方数个分别为A×A和B×B，由题意，B×B﹣A×A=3333，可以写作（B+A）×（B﹣A）=3333，而3333=3×11×101，有可能的形式是3333=3333×1或1111×3或101×33或303×11，然后进行讨论解决．

【解答】解：

两个完全平方数个分别为A×A和B×B，由题意，B×B﹣A×A=3333，可以写作（B+A）×（B﹣A）=3333而3333=3×11×101，有可能的形式是3333=3333×1或1111×3或101×33或303×11也就是说A和B的和可能是3333，差可能是1，或者和是1111，差是3，诸如此类，共有4种情况但因为完全平方数A×A和B×B是四位数，A和B最多是两位数，所以只能有A和B的和是101，差是33，那么A=（101﹣33）÷2=34，原来的四位数为34×34=1156．

4．请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除．

【分析】首先所有的奇数有1、3、5、7、9五个数字，再进一步根据被数整除的特征逐一分析探讨得出答案即可．

【解答】解：

从1、3、5、7、9中选出3个，

显然无9，因为若有9，要求其他两位数字之和为9的倍数，这是做不到的．

从1、3、5、7选出三个数共4种情况，而有5时必须在末尾

①1、3、5：

135，315；

②1、3、7：

无（1+3+7=11不是3的倍数）；

③1、5、7：

175，715（不是7的倍数，舍去）；

④3、5、7：

735，375（不是7的倍数，舍去）；

所以符合条件的三位数有：

135、315、175、735．

5．在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：

所有满足条件的两位数之和是多少？

【分析】①设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除；

②因为100A+B=90A+（10A+B），由数的整除性质可知90A能被10A+B整除．而90A=2×32×5×A，A的取值范围是1至9这9个数字．利用穷举法即可推出符合条件的两位数．

【解答】解：

设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除．

因为100A+B=90A+（10A+B），由数的整除性质可知90A能被10A+B整除．

因为90A=2×32×5×A，根据A的取值，可以列举出所有符合题意的两位数如下表所示：

由上述列举可得，符合条件的两位数分别是：

10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，90

10+15+18+20+30+40+45+50+60+70+80+90

=（10+90）+（20+80）+（30+70）+（40+60）+50+15+45+18

=450+60+18

=528

答：

所有满足条件的两位数之和是528．

6．用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？

【分析】设组成两个三位数为A和B，（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，设d=（A，B，540），540=2×2×3×3×3×5，因为2、3、4、5、6、7这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5，则d的最大值为：

2×2×3×3×3=108，据此解答即可．

【解答】解：

设（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，

设d=（A，B，540），540=2×2×3×3×3×5，

因为2、3、4、5、6、7这六个数字中只有一个是5的倍数，

所以d的因数中不可能包含5，

则d的最大值为：

2×2×3×3×3=108，

此时这两个三位数分别是432、756．

答：

这两个三位数应该分别是432、756．

7．一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小值．

【分析】设自然数为n，与99的乘积为99n，然后根据99的整除性质，可知99n能同时被9和11整除，被9整除：

各位数字和，是9的倍数；被11整除：

奇数位数字和与偶数位数字和的差，能被11整除（或为0）．再根据各位数字都是偶数，且数字和是9的倍数，那么数字和就是18的整数倍．经过试算，可知两位数、三位数、四位数、五位数只军无解，六位数时，228888为最小的符合条件的数，进一步解决问题．

【解答】解：

设自然数为n，与99的乘积为99n，

99=9×11，99n能同时被9和11整除，

被9整除：

各位数字和，是9的倍数；

被11整除：

奇数位数字和与偶数位数字和的差，能被11整除（或为0）．

各位数字都是偶数，且数字和是9的倍数，那么数字和就是18的整数倍．

再看怎么满足能被11整除，

数字和为18，不能满足；

数字和为36，18﹣18=0，满足，

经试乘积最小为228888．

所求自然数最小为：

228888÷99=2312．

答：

满足要求的最小值2312．

8．有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除．满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？

【分析】由于这三个自然数其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，所以三个数的形式应为：

ab，ac，bc，其中a，b，c两两互质，且不能为1．取最小的三个，两两互质的数2，3，5，得三个数分别为2×3=6，2×5=10，3×5=15．

【解答】解：

根据题意可知，三个数的形式应为：

ab，ac，bc，

其中a，b，c两两互质，且不能为1．

取最小的三个，两两互质的数2，3，5，

得三个数分别为2×3=6，2×5=10，3×5=15．

6+10+15=31．

答：

三个自然数的和的最小值是31．

9．小明与小华玩游戏，规则如下：

开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？

【分析】设小华赢了x局，小明赢了x+t局，t是正整数，则3x+t﹣3x=99m，m也是正整数，即3x×（3t﹣1）=11×9m．

【解答】解：

设小华赢了x局，小明赢了x+t局，t是正整数，

则3x+t﹣3x=99m，m也是正整数，

即3x×（3t﹣1）=11×9m，

所以3t﹣1是11的倍数，

32﹣1=8，33﹣1=26，34﹣1=80，这些都不是11的倍数，

而35﹣1=242=11×22，可以满足条件，所以t最小值为5．

所以他们最少玩了5局，小明赢5局，小华赢0局．

答：

他们至少玩了5局．

10．对于一个自然数N，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：

把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除．那么在1至2008这2008个自然数中有多少个“破坏数”？

【分析】首先，所有的奇数应该都具有这样的性质，因为它添加到任何自然数的右端必然还是奇数，而N+1是偶数，奇数不可能被偶数整除．只要找出2008个自然数中奇数的个数即可，据此解答．

【解答】解：

N+1是偶数，奇数不可能被偶数整除，只要找出2008个自然数中奇数的个数即可．

因为1至2008这2008个自然数中有1004个奇数，那么这2008个数中有1004个“破坏数”．

二、解答题（共12小题，满分0分）

11．

（1）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20；

（2）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是04；

（3）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20，后两位是04．

【分析】

（1）因为14×14=196，15×15=225，因此，平方的前两位是20的三位数不存在；那么再看平方的前两位是20的四位数，前两位是20的四位数最小是45×45=2025，因此最小数是45．

（2）平方最后一位是4的，只有2×2或8×8，但要满足后两位为04，通过试探，只有48×48=2304，符合最小数．

（3）通过试探448×448=200704，符合要求．

【解答】解：

（1）因为14×14=196，15×15=225，因此，平方的前两位是20的三位数不存在；

那么再看平方的前两位是20的四位数，前两位是20的四位数最小是45×45=2025，因此最小数是45．

（2）平方最后一位是4的，只有2×2或8×8，但通过试探，只有48×48=2304，符合最小数．

（3）448×448=200704，最小数是448．

12．已知n!

+4等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n的值．（n!

=1×2×3×…×n）

【分析】分以下情况讨论：

①n=1；②n=2；③n≥3．针对每种情况进行讨论分析，得出结果．

【解答】解：

当n=1，此时1+4=5，不是两个相邻自然数的乘积；

当n=2，此时1×2+4=6=2×3；

当n≥3时，1×2×3×…×n+4除以3余1．而两个相邻的数相乘除以3余0或2，矛盾，证毕．

所以n=2．

13．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．

【分析】三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公约数只能分别是2，3和5，这种自然数有6，10，15和12，10，15及18，10，15三组．

【解答】解：

有三组：

6，10，15；

12，10，15；

18，10，15；

答：

有3组这种可能的答案：

6，10，15；12，10，15；18，10，15．

14．三个两位奇数，它们的最大公约数是l，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数．求所有满足要求的情况．

【分析】首先判断出满足要求的数的最小公倍数都是3、5、7、11的有限次方组合，即n=3x•5y•7z11w，然后根据三个数的最小公倍数共有18个约数，列举法可以得到x=2、y=2、z=1、w=0或x=2、y=2、z=0、w=1，又因为三个两位数都是奇数，如n=3×3×5×7×5，首先把它化成三个两两互质的形式：

n=9×25×7，然后再把9、25、7分别乘以3、5、7中不是本身约数的数，如：

9乘以5或7，而且3、5、7这两个数必须只能出现一次，求出第一组满足条件的三位数，同理，求出另一组满足条件的三位数即可．

【解答】解：

根据题意，可得所有满足要求的数的最小公倍数都是3、5、7、11的有限次方组合，

即n=3x•5y•7z•11w，

因为9是3的倍数，所以没列举，

三个两位数的最小公倍数不包括大于或等于13的数的有限次方，可以用列举法证明：

65、39、91都不满足条件；

因为三个数的最小公倍数共有18个约数，列举法可以得到x=2、y=2、z=1、w=0或x=2、y=2、z=0、w=1，

又因为三个两位数都是奇数，如n=3×3×5×7×5，

首先把它化成三个两两互质的形式：

n=9×25×7，然后再把9、25、7分别乘以3、5、7中不是本身约数的数，

如：

9乘以5或7，而且3、5、7这两个数必须只能出现一次，

可得第一组满足条件的三位数为：

35、63、75；

同理，可得第二组满足条件的三位数为：

55、75、99．

答：

所有满足要求的情况为：

35，63，75；55，75，99．

15．1×4×7×lO×…×2008的末尾有多少个连续的零？

【分析】欲求算式1×4×7×10×…×2008的计算结果，末尾有多少个连续的0，只要求出因数里面有多少个5即可解答．

【解答】解：

因为2足够多，所以有1个因数5就有1个0，

先计算1～2008共有多少个因数5：

2008÷5=401余3；

401÷5=80余1；

80÷5=16

16÷5=3余1；

所以共有401+80+16+3=500

这500个5分别处于：

1，4，7，10，…

2，5，8，11，…

3，6，9，12，…中

500÷3=166余2

1，4，7，10，…中的10是5，10，15，…

中的第二个，所以1，4，7，10，…中共有167个5，又1，4，7，10，…中因数2的个数显然大于167；

故共有167个0．

答：

1×4×7×lO×…×2008的末尾有167个连续的零．

16．一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数．如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？

【分析】设这个四个位数的前两位数和后两位数分别为a，b（b为质数），根据题意，可得：

100a+b=mb+a，整理，可得99a=（m﹣1）b，即3×3×11a=（m﹣1）b…①；因为b是质数，所以m﹣1是9的倍数，设m﹣1=9n…②，因为余数小于除数，所以a＜b，因此m﹣1＜99，判断出m、n的取值，由①②，可得b=

，因此b的因数有

和11，求出a的值，进而求出b的值和原来的四位数是多少即可．

【解答】解：

设这个四个位数的前两位数和后两位数分别为a，b（b为质数），

根据题意，可得：

100a+b=mb+a，

整理，可得99a=（m﹣1）b，

即3×3×11a=（m﹣1）b…①；

因为b是质数，所以m﹣1是9的倍数，

设m﹣1=9n…②，

因为余数小于除数，所以a＜b，

因此m﹣1＜99，

则m﹣1=9、18、27、36、45、54、63、72、81、90，

可得n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，

由①②，可得b=

，

因此b的因数有

和11，

则

，a是两位数，

所以a=n=10，此时b=11，1011÷11=91…10，

即原来的四位数是1011．

答：

原来的四位数是1011．

17．任意一些末两位数是25的数相乘，它们的乘积末两位数仍是25，我们就称25是“变不掉的两位数尾巴”．显然000是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”．

【分析】设变不掉的三位数尾巴是（abc），x，y，m，n表示正整，得[1000x+（abc）][1000y+（abc）]=1000m+（abc），比较末三位得（abc）（abc）=（abc），或1000n+abc，解得（abc）=0，1，进一步解决问题．

【解答】解：

设变不掉的三位数尾巴是（abc），依题意，得

[1000x+（abc）][1000y+（abc）]

=1000000xy+1000（x+y）（abc）+（abc）（abc）

=1000m+（abc），

比较末三位得（abc）（abc）=（abc），或1000n+abc，

解得（abc）=0，1，

或（abc）[（abc）﹣1]=1000n=53×23×n，（abc）与（abc）﹣1互质，

由后者得（abc）=125d，1≤d≤7，125d﹣1=8n，∴8|5d﹣1，d=5；

或（abc）=125d+1，125d+1=8n，∴8|5d+1，d=3．

答：

变不掉的三位数尾巴是000，或001，或376，或625．

18．在3和5之间插入6、30、20三个数，可以得到3、6、30、20、5这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．请你在4与3之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．

【分析】设在4与3之间插入三个非零自然数分别是x、y、z，首先根据其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积，分别求出x、z的值，然后求出y的值即可．

【解答】解：

设在4与3之间插入三个非零自然数分别是x、y、z，

（1）根据题意，可得

是一个整数，

因为

=

=4﹣

，它是一个整数，

所以x+4=8，或x+4=16，

解得x=4，或x=12；

（2）根据题意，可得

是一个整数，

因为

，它是一个整数，

所以z+3=9，

解得z=6；

（3）x=4时，y=4或y=12，z=6，

因为当x=4，y=4，z=6时，

4+6=10，4×6=24，10不能整除24，不符合题意，

因此x=4，y=12，z=6；

（4）x=12时，y=6或y=12，z=6，

综上，可得满足条件的数有3组：

12、6、6，或12、12、6，或4、12、6．

19．M、N是互为反序的两个三位数，且M＞N．请问：

（1）如果M和N的最大公约数是7，求M；

（2）如果M和N的最大公约数是21，求M．

【分析】设M=abc，N=bca，则M﹣N=100a+10b+c﹣（100c+10b+a）=99a﹣99c=99（a﹣c）；

（1）因为M和N的最大公约数是7，所以M与M﹣N的最大公约数也是7