人教版高中数学必修2第三章直线的交点坐标与距离公式同步教案3.docx

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人教版高中数学必修2第三章直线的交点坐标与距离公式同步教案3

直线的交点坐标与距离公式辅导教案

学生姓名

性别

年级

高二

学科

数学

授课教师

上课时间

年月日

第（）次课

共（）次课

课时：

2课时

教学课题

人教版必修2第三章直线的交点坐标与距离公式同步教案3

教学目标

知识目标：

能够解方程组的方法求两直线的交点坐标。

掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

能力目标：

具备较强的运算求解能力及应用意识。

情感态度价值观：

享受数学学习

教学重点与难点

1、求两直线的交点坐标。

2、两点间的距离公式、点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离。

（一）两条直线的交点坐标

知识梳理

两条直线的交点坐标

（1）求法：

两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．

（2）应用：

可以利用两直线的__________判断两直线的位置关系．

一般地，将直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：

A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组

当方程组__________解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标；

当方程组_______解时，l1与l2平行；

当方程组__________解时，l1与l2重合．

[破疑点]　若两直线方程组成的方程组有解，则这两条直线不一定相交，还可能有重合．

[知识拓展]　直线系方程

具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程．它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定系数（也称参变量）．

（1）共点直线系方程：

经过两直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.

（2）平行直线系方程：

与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0（λ≠C），λ是参变量．

（3）垂直直线系方程：

与Ax＋By＋C＝0（A≠0，B≠0）垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.

（4）特殊平行线与过定点（x0，y0）的直线系方程：

当斜率k一定而m变动时，y＝kx＋m表示斜率为k的平行直线系，y－y0＝k（x－x0）表示过定点（x0，y0）的直线系（不含直线x＝x0）．

在求直线方程时，可利用上述直线系设出方程，再利用已知条件求出待定系数，从而求出方程．

例题精讲

【题型1、两直线的交点问题】

【例1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：

（1）l1：

2x＋y＋3＝0，l2：

x－2y－1＝0；

（2）l1：

x＋y＋2＝0，l2：

2x＋2y＋3＝0；

（3）l1：

x－y＋1＝0，l2：

2x－2y＋2＝0.

【方法总结】1.方程组的解的组数与两条直线的位置关系

2．两条直线相交的判定方法：

（1）两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；

（2）在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．

特别提醒：

若两直线的斜率一个不存在，另一个存在，则两直线一定相交．

【题型2、直线恒过定点问题】

【例2】求证：

不论m为何实数，直线（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5恒过一个定点．

【方法总结】解决含参数的直线恒过定点问题，常用的方法有两种．

（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两个不同的直线方程，那么定点必在这两个方程表示的直线上，解这两个方程组成的方程组，即得定点坐标．

（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号左边为0的形式，然后令参数的系数和不含参数的项分别为零，解得的此方程组的解即为已知含参直线恒过的定点．即将所给方程化成（A1x＋B1y＋C1）＋m（A2x＋B2y＋C2）＝0的形式，

方程组

的解即为定点坐标．

【题型3、用过两直线交点的直线系方程解题】

【例3】已知直线l1：

x－2y＋3＝0，l2：

2x＋3y－8＝0.求经过l1，l2的交点且与已知直线3x＋4y－2＝0平行的直线l的方程．

【方法总结】

（1）过两条直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不同时为0）与l2：

A2x＋B2y＋C2＝0（A2，B2不同时为0）交点的直线系方程为m（A1x＋B1y＋C1）＋n（A2x＋B2y＋C2）＝0（其中m，n为参数，且m，n不同时为0）．

（2）上面的直线系方程可改写成（A1x＋B1y＋C1）＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（其中λ为参数）．这个参数形式的方程在解题中较为常用．

求直线方程的问题时，如果知道所求直线过已知两直线的交点，可利用此直线系方程求解，这样可以避免求交点的繁杂计算．

【巩固训练】

1.

（1）已知直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为（　　）

A．4B．－4C．±4D．与A有关

（2）已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．

2.直线（2m－1）x－（m＋2）y＋m＝－3（m∈R）恒过定点（　　）

A．（

，2）　　　　　B．（2，－1）C．（

，

）D．（

，

）

3.求过两直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线6x－7y－3＝0的直线方程．

4.若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为________．

（二）两点间的距离公式

知识梳理

1．两点间的距离公式

（1）公式：

点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式|P1P2|＝________________________.

（2）文字叙述：

平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．

[破疑点]　坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广．

2．坐标法

（1）定义：

通过建立平面直角坐标系，用_______方法解决几何问题的方法称为坐标法．

（2）步骤：

①建立__________，用坐标表示有关的量：

②进行有关__________；③把代数运算结果“_______”成几何关系．

例题精讲

【题型1、求平面上两点间距离】

【例1】已知A（a,3）和B（3,3a＋3）的距离为5，求a的值．

【方法总结】两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式既可以写成

|P1P2|＝

，也可以写成|P1P2|＝

，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究．

在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间的距离公式．

【题型2、两点间距离公式的应用】

【例2】已知△ABC的三个顶点坐标是A（1，－1），B（－1,3），C（3,0）．

（1）判定△ABC的形状；

（2）求△ABC的面积．

【方法总结】三角形形状的判定策略

（1）判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．

（2）在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑，一是考虑角的特征；二是考虑三角形边的长度特征．

【题型3、坐标法的应用】

【例3】△ABC中，D是BC边上的任意一点（D与B，C不重合），且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.

求证：

△ABC为等腰三角形．

【方法总结】建立直角坐标系的原则：

（1）若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系；

（2）若已知两定点，常以两点的中点（或一个定点）为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；

（3）若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；

（4）若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以定点到定直线垂线段的反向延长线为x轴建立直角坐标系；

（5）若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线为x轴建立直角坐标系．

【巩固训练】

1.已知点A（3,6），在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________．

2.已知点A（1,2），B（3,4），C（5,0）求证：

△ABC为等腰三角形．

3.正方形ABCD的边长为6，若E是BC的中点，F是CD的中点，试建立坐标系，求证：

BF⊥AE.

（三）到直线的距离、两条平行直线间的距离

知识梳理

1．点到直线的距离公式

点P0（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________.

[破疑点]　点到几种特殊直线的距离：

（1）点P（x0，y0）到x轴的距离d＝|y0|；

（2）点P（x0，y0）到y轴的距离d＝|x0|；

（3）点P（x0，y0）到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；

（4）点P（x0，y0）到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.

2．两条平行直线间的距离

（1）定义：

夹在两条平行直线间__________的长叫做这两条平行直线间的距离．

（2）求法：

转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．

（3）公式

一般地，已知两条平行直线l1：

Ax＋By＋C1＝0，l2：

Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2）．设P（x0，y0）是直线l2上的任意一点，则Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，于是P（x0，y0）到直线l1：

Ax＋By＋C1＝0的距离

d＝

＝

.

此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式．

[破疑点]　

（1）使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：

①把直线方程化为直线的一般式方程；

②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．

（2）求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．

（3）当两直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决．

①两直线都与x轴垂直时，l1：

x＝x1，l2：

x＝x2，则d＝|x2－x1|；

②两直线都与y轴垂直时，l1：

y＝y1，l2：

y＝y2，则d＝|y2－y1|.

例题精讲

【题型1、点到直线的距离公式】

【例1】已知点A（2,1），B（3,4），C（－2，－1），求△ABC的面积．

【方法总结】透析点到直线的距离公式：

（1）点到直线的距离是该点与直线上任意一点连线的最短距离；

（2）点到直线的距离公式适用于坐标平面内的所有情况，特别地点在直线上时，该距离为0；

（3）求点到直线的距离的步骤：

①将直线方程化为一般式Ax＋By＋C＝0；

②将点（x0，y0）代入公式d＝

，计算可得．

【题型2、两条平行直线间距离公式的应用】

【例2】求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．

【方法总结】已知两平行直线间的距离及其中一直线的方程求另一直线的方程，一般先根据题意设出直线方程，然后利用两平行直线间的距离公式求解．也可以把两平行直线间的距离问题转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离问题，然后利用点到直线的距离公式求解．

【题型3、距离公式的应用】

【例3】两互相平行的直线分别过A（6,2）、B（－3，－1），并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行线间的距离为d，

（1）求d的变化范围；

（2）求当d取得最大值时的两条直线方程．

【方法总结】上面我们用两种思路作了解答，不难发现解法2比解法1简捷的多，这足以显示数形结合的威力，在学习解析几何过程中，一定要有意识的往形上联系，以促进数形结合能力的提高和思维能力的发展．

【巩固训练】

1.求点P（3，－2）到下列直线的距离．

（1）y＝

x＋

；

（2）y＝6；（3）x＝4.

2.

（1）两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于（　　）

A．3B．7C．

D．

（2）已知直线l与两直线l1：

2x－y＋3＝0和l2：

2x－y－1＝0平行且距离相等，则l的方程为________．

3.若A（1,4），B（－3,1），过点B的直线l与点A的距离为d.

（1）d的取值范围为________；

（2）当d取最大值时，直线l的方程为________．

（3）当d＝4时，直线l的方程为________．

4.直线l1过点A（0,1），l2过点B（5,0），如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．

【课后作业1】

1．下列直线中，与直线x＋3y－4＝0相交的直线为（　　）

A．x＋3y＝1B．y＝－

x－12C．

＋

＝1D．y＝－

x＋4

2．直线l1：

3x＋4y－5＝0与l2：

3x＋5y－6＝0相交，则交点是（　　）

A．（－1，

）B．（

，1）C．（1，

）D．（－1，－

）

3．经过两点A（－2,5），B（1，－4）的直线l与x轴的交点的坐标是（　　）

A．（－

，0）B．（－3,0）C．（

，0）D．（3,0）

4．已知直线l1：

4x＋3y＝10，l2：

2x－y＝10，l3：

ax＋2y＋8＝0，则l1与l2的交点为________；若l1，l2，l3三直线相交于同一点，则a＝________.

5．不论λ取何值，直线（2＋λ）x＋（1－2λ）y＋4－3λ＝0过定点________．

6．求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．

【课后作业2】

1．已知M（2,1），N（－1,5），则|MN|等于（　　）

A．5B．

C．

D．4

2．已知点A（2k，－1），B（k,1），且|AB|＝，则实数k等于（　　）

A．±3B．3C．－3D．0

3．已知△ABC的顶点A（2,3），B（－1,0），C（2,0），则△ABC的周长是（　　）

A．2

B．3＋2

C．6＋3

D．6＋

4．若x轴上的点M到原点的距离与到点N（5，－3）的距离相等，则M点的坐标是（　　）

A．（－2,0）B．（1,0）C．（

，0）D．（3.4,0）

5．已知点A（5,2a－1），B（a＋1，a－4），若|AB|取得最小值，则实数a的值是________．

6．用坐标法证明：

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

【课后作业3】

1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为（　　）

A．1　　　　　B．

C．2D．

2．平行直线l1：

3x－y＝0与l2：

3x－y＋

＝0的距离等于（　　）

A．1B．0C．

D．3

3．已知点M（1,4）到直线l：

mx＋y－1＝0的距离等于1，则实数m等于（　　）

A．

B．－

C．－

D．

4．过点（1,3）且与原点距离为1的直线有（　　）

A．3条B．2条C．1条D．0条

5．点P（m,1）到直线l：

2x＋y－1＝0的距离d＝1，则实数m的值等于________．

6．求与直线l：

5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．