高等数学第七章微分方程习题可编辑修改word版.docx
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高等数学第七章微分方程习题可编辑修改word版
第七章微分方程与差分方程
习题7－1（A）
1.说出下列微分方程的阶数：
（1）
x（y'）2-2yy'+x=0;
（2）
x2y''+xy'+y=0;
（3）（7x-6y）dx+（2x+3y）dy=0.
2.下列函数是否为该微分方程的解：
（1）
（2）
y'-2y'+y=0;
（x+y）dx+xdy=0;
y=x2ex
C-x2
y=
2x
（C、、、、、）
（3）
d2y
dx2
+
a2
y=0;
y=C1sinax+C2cosax
（C1,C2、、、、、）
（4）（xy+x）y'+xy'2+yy'-2y'=0;y=ln（xy）
3.在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：
（1）
x2-y2
=C,
yx=0
=5;
（2）
y=（C1+C2x）e2x,
yx=0
=0,
y'x=0
=1;
（3）
y=C1sin（x-C2）,
yx==1,
y'x==0.
4.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：
（1）、、、、
（2）、、、、
（x,y）、、、、、、、、、、P（x,y）、、、、、
x、、、、、
、、、、、、、、
Q、、、、
PQ、
y、、、、
习题7－1（B）
1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中C1,C2,C3都是任意常数）求出相应的微分方程：
（1）
（x-C）2+y2
=1;
（2）
xy=C1ex+C2e-x.
2．用微分方程表示下列物理问题：
（1）、、、、、、、
P、、、、
T、、、、、、、
P、、、、、
、、、、、、、、、
（2）、、、、
、、、、、
m、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、
k1）、
、、、
t、、、、、、、、k1）、
习题7－2（A）
1.求下列微分方程的通解：
（1）xy'-ylny=0;
（2）3x2+5x-5y'=0;
（3）y'-xy'=a（y2+y'）;
（4）
（5）
（6）
dy=10x+y;
dx
y'=;
dy=;
dx
（7）
dy=
dx
3x2-6x2y2
;
y-x3y
（8）sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0;
（9）3extanydx+y'（1-ex）sec2y=0;
（10）（10）
（ex+y
-
ex）dx+（ex+y
+ey）dy=0.
2.求解下列初值问题：
（1）
y'=e2x-y,
yx=0=0;
（2）
cosxsiny=cosycosxdx,
dy
yx=0
=;4
（3）
y'sinx=ylny,
yx=
=0;
2
（4）
（1+ex）yy'=ex,
y=1.
3.、、、、、
4.、、、、、
（2,3）、、、、、、、、、、
1、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
（1,）
3
、、、
习题7－2（B）
1.、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
2.、、、
1g（、
）、、、、、、、、、、
、、、、
、、、、、、、、、
10（cm）、、、、
、、、
60o,、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
0.5（cm）2、、、
、、、、、、、
、、、、、、、
t=10s（、
）、、、、、
50cm/s、、、、
4g⋅cm/s2（、、
）、、、
、、、、、、、、、、、、、、、、、、
3.、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、、
、、R、、、
、、、、、、、、、
、、、
1600、、、、、、、、
R0、、、、、、、、、
R、、、
t、、、、、、
4.、、
v0=6（m/s）、
、、、、、、
、5、、、、、、、、、、
、、、、、、
、、、、、、、、、、、、、、、、、
5.、、、、、
、、、、、、、、、、
6.、、、、、
m、、、、、、、、、、
（2a,b）、、、
、、、、、、、
[a,x]、、、、、、、、、、
v0、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
kv（k、、、
）、、、
、、y、
、、、、、
1、（m>1）、、、、、、、、
m
7.、
y（x）、、、、、、、、、、
x
、、、
x
x⎰0y（x）dx
=（x+1）⎰0xy（x）dx,、
y（x）.
（1）
1.求下列齐次方程的通解：
xy'=y（lny-lnx）;
习题7－3（A）
（2）
xy'-y-
=0;
（3）（x2+y2）dx-xydy=0;
（4）（2
-
y）dx+xdy=0;
（5）xdy=y（1+lny-lnx）dx;
（6）
（2xshy+
x
3ych
y）dxx
-
3xchydy=0.
x
2.求解下列初值问题：
（1）
（x+
ycos
y）dxx
-
xcosydy=0,
x
y
（1）=0;
（2）
y'=
x+y,
yx
y
（1）=2.
3.求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。
4.求一曲线方程，使其上任一点处的切线在y轴上的截距恰好等于原点O到该点的距离。
习题7－3（B）
1．求下列齐次方程的通解或特解：
（1）
（1-2
）y'=1;
xx
（2）
（1+2ey）dx+2ey（1-
x）dy=0;
y
（3）
（y2-3x2）dy+2xydx=0,
yx=0
=1;
（4）
（x2+2xy-y2）dx+（y2+2xy-x2）dy=0,
y=1.
2*．化下列方程为齐次方程，并求出通解：
（1）（2x-5y+3）dx-（2x+4y-6）dy=0;
（2）（x-y-1）dx-（4y+x-1）dy=0;
（3）（3y-7x+7）dx+（7y-3x+3）dy=0;（4）（x+y）dx+（3x-3y-4）dy=0.
习题7－4（A）
1.求下列微分方程的通解：
（1）
（2）
dy+y=e-x;
dx
y'+ycosx=e-sinx;
（3）xy'+（1-x）y=e2x;
（4）y'+ytanx-sin2x=0;
（5）（x2-1）y'+2xy-cosx=0;
（6）
（x-2）dy
dx
=y+2（x-2）3.
2.求解下列初值问题：
（1）
dy+ydxx
=sinx,
x
yx=
=1;
（2）
dy-ytanx=secx,
dx
yx=0
=0;
（3）
y'+ycotx=5ecosx,
yx=
=-4;
2
（4）
d+3=8,
d
=0
=2;
（5）
dy+
dx
2-3x2
x3
y=1,
yx=1
=0.
3.求通过原点且在任一点（x,y）处的切线斜率等于2x+y的.曲线方程。
4.一门课程结束后，学生学到的知识开始慢慢忘记，假设学生忘记其所学知识的速率与他们当时还记得的知识与某一常数a之间的差成正比（比例系数设为k）
（1）设y（t）为课程结束t星期后仍被学生记得的那部分知识的多少，试建立关于y（t）的微分方程；
（2）设课程结束时学生学到的知识的量为1（即100％），解此微分方程；
（3）试解释在解中的两个常数a和k的实际意义。
5.求下列伯努利方程的通解：
（1）
dy+y=y2（cosx-sinx）;
dx
（2）
dy-3xy=xy2;
dx
（3）
y'-4y=x;
x
（4）
dy+ydx3
=1（1-2x）y4;3
（5）xdy-[y+xy3（1+lnx）]dx=0.
习题7－4（B）
1.求下列微分方程的通解：
（1）
（2x+y）dy
dx
=1;
（2）（y2-6x）y'+2y=0;
（3）
y'=
y;
2ylny+y-x
（4）ylnydx+（x-lny）dy=0;
（5）（1+y2）dx+（x-arctany）dy=0.
2.求解下列初值问题：
（1）
y'（2ey
-x）=1,
y=0;
（2）
y'-1y+cosxy2=0,y
=1;
xxx=
（3）
（y+1）dx-xdy=（y+1）2eydy=0,
y=0;
（4）（1+y2）dx+（xy-
1+y2cosy）dy=0,
yx=2
=0.
3.、y=f（x）（x≥0）、、、、、、
f（0）=1、、、、、
y=f（x）、
x、、
x、、、、、
、x、、、、、、、、、、、
、、、、
y=f（x）、
[0,x]、、、、、、、、、、
、f（x）.
4.、、、、、、、
40、、、、、、、、、、
、、、、、
1、、、、、、、、、、
1.5、、
、、、、、、、、、
4、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、、、
4、、、
、、、、、、、、、、
、x、、、
t、、、、、、
5.、、、、、、
m、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、
k1、、、、、、、、、、
、、、、
、、、、、、、、、、
、、、
、、k2、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
、
6.用适当的变量代换将下列方程化为已知类型，然后求出通解：
（1）
dy=（x+y）2;
dx
（2）
dy=
dx
1
x-y
+1;
（3）xy'+y=y（lny+lnx）;
（4）
eyy'+1ey
x
=x2;
（5）y'=y2+2y（sinx-1）+sin2x-2sinx-cosx+1;
（6）xy'lnx⋅siny+cosy（1-xcosy）=0;
7.验证形如
yf（xy）dx+xg（xy）dy=0的微分方程，可经变量代换
v=xy化为
可分离变量的方程，并求其通解。
8.、、、、、、
f（x）、、
f（x）=⎰3xf⎛t⎫dt+e2x,、
f（x）.
0⎝3⎭
9.、、、、、
f（x）、、
f（x）
1x3f（x）+x
dx=
f（x）-1,、、
f（x）.
10.、
y1（x）,y2（x）、、、、、
y'+P（x）y=Q（x）、、、、、、、、、、
、、、
y=C1y1（x）+（1-C）y2（x）、、、、、、、、
、、、
C、、、、、、、
11.、
y1（x）,y2（x）,y3（x）、、、、、
y3（x）-y1（x）=C、
y2（x）-y1（x）
y'+P（x）y=Q（x）、、、、、、、、、、、
C、、、、、
习题7－5（A）
1.求下列微分方程的通解：
（1）
y''=xex;
（2）
y'=
1;
1+x2
（3）
（5）
（7）
xy'-y'=0;
y'=1+（y'）2;
xy'+y'=x2+1;
（4）
（6）
（8）
y'=y'+x;
4y'+y'=4xy';
4y'=y'lny'.
x
2.求下列微分方程的通解：
（1）y3y'-1=0;
（2）y'=（y'）3+y';
（3）y'=1;
（4）yy'-（y'）2+y'=0.
3.求解下列初值问题：
（1）
y''=eax,
''
x=1x=1x=1
（2）
（1-x2）y'-xy'=0,
yx=0
=0,
'
x=0
=1;
（3）
y3y'+1=0,
y=1,
y'=0;
（4）
y'-a（y'）2
=0,
yx=0
=0,
'
x=0
=-1;
（5）
y'=e2y,
yx=0
'
x=0
=0;
（6）
2yy'=y'2+y2,
yx=0
=1,
'
x=0
=-1.
4.、、
y'=x、、、、
M（0,1）、、、、、、、
y=x+1、、、、、、、、
2
习题7－5（B）
1.求下列微分方程的通解：
（1）y''=y';
（2）（y''）2-y'y（4）=0;
2.、
y（x）、
[0,+∞）、、、、、、、、、、、、
x
y（x）=x-1+2⎰0（x-t）y（t）y'（t）dt,、
y（x）.
3.、、、、
x
>0,、、
y=f（x）、、
（x,f（x））、、、、、
y、、、、、、、
1⎰xf（t）dt,、
f（x）.
x0
4.、、、、、、
R=c2v2（、、
m、、、、、、、、、、
c、、、、
v、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
）、、、、、、、、、、
、、、
s
、、、t、、、、、、
习题7－6（A）
1.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
（1）x,
2x;
（2）x,
x2;
（3）
e2x,
3e2x;
（4）
e-x,
ex;
（5）
sin2x,
sinxcosx;
（6）
cos2x,
sin2x.
2.、、y1=
、、、、、、、、、
cosx、
y2=sinx、、、、
、
y'+2y=0、、、、、、、、、、
、、、
3.、、
y
=ex2、
y=xex2
、、、、
y'-4xy'+（4x2-2）y=0、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
4.、、
y=C1ex
+C2
、、、、
e2x+
、
1e5x
12
（C1、
C2、、、、、
）、、、
y'-3y'+2y=e5x
、、、、
5.、、
y=C1x5
+C2-
x
x2
9lnx（C1、
C2、、、、、
）、、、
x2y'-3xy'-5y=x2lnx、、、、
6.、、
y=C1ex
+
C2e-x+C3cosx+C4sinx-x2
（C1、
C2、
C3、
C4、、、、、）
、、、
y（4）-y=x2
、、、、
1.、、、、、、、、、
习题7－6（B）
、、y1（x）,y2（x）,y3（x）、、、、、、、、、、
、、、
y'+p（x）y'+q（x）y=
f（x）、、、、、
、、、
C1y1（x）+C2y2（x）+（1-C1-C2）y3（x）
、C1、
C2、、、、、、、、、、
、、、、、
2.、、
y1（x）=x、、、
x2y'+xy'-y=0、、、、、、、、、、
、、、、
3.、、
y1（x）=ex
、、、
（2x-1）y'-（2x+1）y'+2y=0、、、、、、、、、、
、、、
4.、、、、、、、、
、、
y'+y=0、、、、
y'+y=secx、、、、
Y（x）=C1cosx+C2sinx,
、、、、、、
5.、、、、、、、、
、、、、
x2y'-xy'+y=0、、、、
x2y'-xy'+y=x、、、、
Y（x）=C1x+C2xlnx,
、、、、
6.、、
y1（x）、、、、、、、、、、
、a（x）y'+b（x）y'+c（x）y=0、、、、、、、、、
、、、、、、、
、y2（x）=
y1（x）⎰
1
1
y2（x）
-
b（x）dx
⎰
ea（x）
dx、、、、、、、、、
y1（x）
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
、、、、
y2（x）=C（x）y1（x）
习题7－7（A）
1.求下列微分方程的通解：
（1）y'+y'-2y=0;
（2）y'-4y'=0;
（3）y'+y=0;
（4）y'+6y'+13y=0;
（5）y'-9y=0;
（6）9y'+6y'+y=0;
（7）4
d2x
dt2
-
20dx
dt
+25x=0;
（8）
d2y
dt2
+3y=0.
2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）
（2）
（3）
y'-4y'+3y=0,4y'+4y'+y=0,y'-3y'-4y=0,
yx=0
yx=0
yx=0
=6,
=2,
=0,
'
x=0
'
x=0
'
x=0
=10;
=0;
=-5;
（4）
y'+4y'+29y=0,
yx=0
=0,
'
x=0
=15;
（5）
y'+25y=0,
yx=0
=2,
'
x=0
=5;
（6）
y'-4y'+13y=0,
yx=0
=0,
'
x=0
=3.
习题7－7（B）
1．求下列微分方程的通解：
（1）y''-y'-y'+y=0;
（2）y''+8y=0;
（3）y（4）-y=0;
（4）y（4）+2y'+y=0;
（5）y（4）-2y''+y'=0;
（6）y（4）+5y'-36y=0.
3.试作一个三阶常系数齐次线性微分方程，使它的特解为
x,ex.
4.试作一个四阶常系数齐次线性微分方程，使它的特解为
ex,4xex,cosx,6sinx.
5.、、、
f（x）,g（x）
、、、、、、、
f'（x）=g（x）、
f（x）=-g'（x）,
f（0）=0,
g（0）≠0,
、、、
y=f（x）、
g（x）
y=0,
x=、、、、、、、、、、
4
、、、
、、、、
f'（x）=-f（x）、、
f'（x）+
f（x）=0、、
f（0）=0,、、
f（x）、
g（x）.
习题7－8（A）
1.求下列微分方程的通解：
（1）2y'+y'-y=2ex;
（2）y'+a2y=ex;
（3）2y'+5y'=5x2-2x-1;
（4）y'+3y'+2y=3xe-x;（5）y'+5y'+4y=3-2x;
（6）y'-6y'+9y=e3x（x+1）.
2.求下列微分方程的通解：
（1）
（2）
y'-7y'+6y=sinx;
d2x
4xtcost;
dt2
（3）y'+3y'+2y=e-xsinx;
（4）y'-2y'+5y=exsin2x;
（5）y'+4y=10sinxcosx.
3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）
y'-3y'+2y=5,
y（0）=1,
y'（0）=2;
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