动量守恒定律的典型例题.docx
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动量守恒定律的典型例题
动量守恒定律的典型例题
动量守恒定律的典型例题
【例1】把一支枪固定在小车上,小车放在光滑的水平桌面上.枪发射出一颗子弹.对于此过程,下列说法中正确的有哪些?
[]
A.枪和子弹组成的系统动量守恒
B.枪和车组成的系统动量守恒
C.车、枪和子弹组成的系统动量守恒
D.车、枪和子弹组成的系统近似动量守恒,因为子弹和枪筒之间有摩擦力.且摩擦力的冲量甚小
【分析】本题涉及如何选择系统,并判断系统是否动量守恒.物体间存在相互作用力是构成系统的必要条件,据此,本题中所涉及的桌子、小车、枪和子弹符合构成系统的条件.不仅如此,这些物体都跟地球有相互作用力.如果仅依据有相互作用就该纳入系统,那么推延下去只有把整个宇宙包括进去才能算是一个完整的体系,显然这对于分析、解决一些具体问题是没有意义的.选择体系的目的在于应用动量守恒定律去分析和解决问题,这样在选择物体构成体系的时候,除了物体间有相互作用之外,还必须考虑“由于物体的相互作用而改变了物体的动量”的条件.桌子和小车之间虽有相互作用力,但桌子的动量并没有发生变化.不应纳入系统内,小车、枪和子弹由于相互作用而改变了各自的动量,所以这三者构成了系统.分析系统是否动量守恒,则应区分内力和外力.对于选定的系统来说,重力和桌面的弹力是外力,由于其合力为零所以系统动量守恒.子弹与枪筒之间的摩擦力是系统的内力,只能影响子弹和枪各自的动量,不能改变系统的总动量.所以D的因果论述是错误的.
【解】正确的是C.
【例2】一个质量M=1kg的鸟在空中v0=6m/s沿水平方向飞行,离地面高度h=20m,忽被一颗质量m=20g沿水平方向同向飞来的子弹击中,子弹速度v=300m/s,击中后子弹留在鸟体内,鸟立即死去,g=10m/s2.求:
鸟被击中后经多少时间落地;鸟落地处离被击中处的水平距离.
【分析】子弹击中鸟的过程,水平方向动量守恒,接着两者一起作平抛运动。
【解】把子弹和鸟作为一个系统,水平方向动量守恒.设击中后的共同速度为u,取v0的方向为正方向,则由
Mv0+mv=(m+M)u,
得
击中后,鸟带着子弹作平抛运动,运动时间为
鸟落地处离击中处水平距离为
S=ut=11.76×2m=23.52m.
【例3】一列车沿平直轨道以速度v0匀速前进,途中最后一节质量为m的车厢突然脱钩,若前部列车的质量为M,脱钩后牵引力不变,且每一部分所受摩擦力均正比于它的重力,则当最后一节车厢滑行停止的时刻,前部列车的速度为[]
【分析】列车原来做匀速直线运动,牵引力F等于摩擦力f,f=k(m+M)g(k为比例系数),因此,整个列车所受的合外力等于零.尾部车厢脱钩后,每一部分所受摩擦力仍正比于它们的重力.因此,如果把整个列车作为研究对象,脱钩前后所受合外力始终为零,在尾部车厢停止前的任何一个瞬间,整个列车(前部+尾部)的动量应该守恒.考虑刚脱钩和尾部车厢刚停止这两个瞬间,由
(m+M)v0=0+Mv
(4)分别列出系统内各物体运动变化前(始状态)和运动变化后(末状态)的动量之和.
(5)根据动量守恒定律建立方程,解方程求得未知量.
【例5】甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏.甲和他的冰车的总质量共为M=30kg,乙和他的冰车的总质量也是30kg.游戏时,甲推着一质量为m=15km的箱子,和他一起以大小为v0=2m/s的速度滑行.乙以同样大小的速度迎面滑来.为了避免相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子到乙处时乙迅速把它抓住.若不计冰面的摩擦力,求甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出,才能避免和乙相碰.
【分析】甲推出箱子和乙抓住箱子是两个动量守恒的过程,可运用动量守恒求解.甲把箱于推出后,甲的运动有三种可能:
一是继续向前,方向不变;一是静止;一是方向改变,向后倒退.按题意要求.是确定甲推箱子给乙,避免跟乙相碰的最小速度.上述三种情况中,以第一种情况甲推出箱子的速度最小,第二、第三种情况则需要以更大的速度推出箱子才能实现.
【解】设甲推出的箱子速度为v,推出后甲的速度变为v1,取v0方向为正方向,据动量守恒有
(M+m)v0=Mv1+mv.
(1)
乙抓住箱子的过程,动量守恒,则
Mv+mv0=(M+m)v2.
(2)
甲、乙两冰车避免相撞的条件是v2≥v1,取
v2=v1.(3)
联立
(1)、
(2)、(3)式,并代入数据解得
v=5.2m/s.
【说明】本题仅依据两个动量守恒的过程建立的方程还能求解,关键是正确找出临界条件,并据此建立第三个等式才能求解.
【例6】两辆质量相同的小车A和B,置于光滑水平面上,一人站在A车上,两车均静止.若这个人从A车跳到B车上,接着又跳回A车,仍与A车保持相对静止,则此时A车的速率[]
A.等于零B.小于B车的速率
C.大于B车的速率D.等于B车的速率
【分析】设人的质量为m0,车的质量为m.取A、B两车和人这一系统为研究对象,人在两车间往返跳跃的过程中,整个系统水平方向不受外力作用,动量守恒.取开始时人站在A车上和后来又相对A车静止时这两个时刻考察系统的动量,则
0=(m0+m)vA+mvB,
可见,两车反向运动,A车的速率小于B车的速率.
【答】B.
【说明】本题中两车相互作用前后动量在一直线上,但两者动量方向即速度方向均不甚明确,因此没有事先规定正方向,而是从一般的动
【例7】甲、乙两船在平静的湖面上以相同的速度匀速航行,且甲船在前乙船在后.从甲船上以相对于甲船的速度v,水平向后方的乙船上抛一沙袋,其质量为m.设甲船和沙袋总质量为M,乙船的质量也为M.问抛掷沙袋后,甲、乙两船的速度变化多少?
【分析】由题意可知,沙袋从甲船抛出落到乙船上,先后出现了两个相互作用的过程,即沙袋跟甲船和沙袋跟乙船的相互作用过程.在这两个过程中的系统,沿水平方向的合外力为零,因此,两个系统的动量都守恒.值得注意的是,题目中给定的速度选择了不同的参照系.船速是相对于地面参照系,而抛出的沙袋的速度v是相对于抛出时的甲船参照系.
【解】取甲船初速度V的方向为正方向,则沙袋的速度应取负值.统一选取地面参照系,则
沙袋抛出前,沙袋与甲船的总动量为MV.
沙袋抛出后,甲船的动量为(M-m)v甲',沙袋的动量为m(v甲'-v).
根据动量守恒定律有
MV=(M-m)v甲'+m(v甲'-v).
(1)
取沙袋和乙船为研究对象,在其相互作用过程中有
MV+m(v甲'-v)=(M+m)v乙'.
(2)
联立(l)、
(2)式解得
则甲、乙两船的速度变化分别为
【例8】小型迫击炮在总质量为1000kg的船上发射,炮弹的质量为2kg.若炮弹飞离炮口时相对于地面的速度为600m/s,且速度跟水平面成45°角,求发射炮弹后小船后退的速度?
【分析】取炮弹和小船组成的系统为研究对象,在发射炮弹的过程中,炮弹和炮身(炮和船视为固定在一起)的作用力为内力.系统受到的外力有炮弹和船的重力、水对船的浮力.在船静止的情况下,重力和浮力相等,但在发射炮弹时,浮力要大于重力.因此,在垂直方向上,系统所受到的合外力不为零,但在水平方向上系统不受外力(不计水的阻力),故在该方向上动量守恒.
【解】发射炮弹前,总质量为1000kg的船静止,则总动量Mv=0.
发射炮弹后,炮弹在水平方向的动量为mv1'cos45°,船后退的动量为(M-m)v2'.
据动量守恒定律有
0=mv1'cos45°+(M-m)v2'.
取炮弹的水平速度方向为正方向,代入已知数据解得
【例9】两块厚度相同的木块A和B,并列紧靠着放在光滑的水平面上,其质量分别为mA=2.0kg,mB=0.90kg.它们的下底面光滑,上表面粗糙.另有质量mC=0.10kg的铅块C(其长度可略去不计)以vC=10m/s的速度恰好水平地滑到A的上表面(见图),由于摩擦,铅块最后停在本块B上,测得B、C的共同速度为v=0.50m/s,求
木块A的速度和铅块C离开A时的速度.
【分析】C滑上A时,由于B与A紧靠在一起,将推动B一起运动.取C与A、B这一系统为研究对象,水平方向不受外力,动量守恒.滑上后,C在A的摩擦力作用下作匀减速运动,(A+B)在C的摩擦力作用下作匀加速运动.待C滑出A后,C继续减速,B在C的摩擦力作用下继续作加速运动,于是A与B分离,直至C最后停于B上.
【解】设C离开A时的速度为vC,此时A、B的共同速度为vA,对于C刚要滑上A和C刚离开A这两个瞬间,由动量守恒定律知
mCvC=(mA+mB)vA+mCv'C
(1)
以后,物体C离开A,与B发生相互作用.从此时起,物体A不再加速,物体B将继续加速一段时间,于是B与A分离.当C相对静止于物体B上时,C与B的速度分别由v'C和vA变化到共同速度v.因此,可改选C与B为研究对象,对于C刚滑上B和C、B相对静止时的这两个瞬间,由动量守恒定律知
mCv'C+mBvA=(mB+mC)v
(2)
由(l)式得mCv'C=mCvC-(mA+mB)vA
代入
(2)式mCv'C-(mA+mC)vA+mBvA=(mB+mC)v.
得木块A的速度
所以铅块C离开A时的速度
【说明】应用动量守恒定律时,必需明确研究对象,即是哪一个系统的动量守恒.另外需明确考察的是系统在哪两个瞬间的动量.如果我们始终以(C+A+B)这一系统为研究对象,并考察C刚要滑上A和C刚离开A,以及C、B刚相对静止这三个瞬间,由于水平方向不受外力,则由动量守恒定律知
mCvC=(mA+mB)vA+mCv'C=mAvA+(mB+mC)v.
同样可得
【例10】在静止的湖面上有一质量M=100kg的小船,船上站立质量m=50kg的人,船长L=6m,最初人和船静止.当人从船头走到船尾(如图),船后退多大距离?
(忽略水的阻力)
[分析]有的学生对这一问题是这样解答的.由船和人组成的系统,当忽略水的阻力时,水平方向动量守恒.取人前进的方向为正方向,设t时间内
这一结果是错误的,其原因是在列动量守恒方程时,船后退的速度
考系的速度代入同一公式中必然要出错.
【解】选地球为参考系,人在船上行走,相对于地球的平均速度为
为
【例11】一浮吊质量M=2×104kg,由岸上吊起一质量m=2×103kg的货物后,再将吊杆OA从与竖直方向间夹角θ=60°转到θ'=30°,设吊杆长L=8m,水的阻力不计,求浮吊在水平方向移动的距离?
向哪边移动?
【分析】对浮吊和货物组成的系统,在吊杆转动过程中水平方向不受外力,动量守恒.当货物随吊杆转动远离码头时,浮吊将向岸边靠拢,犹如人在船上向前走时船会后退一样,所以可应用动量守恒求解.
【解】设浮吊和货物在水平方向都作匀速运动,浮吊向右的速度为v,货物相对于浮吊向左的速度为u,则货物相对河岸的速度为(v-u).由
0=Mv+m(v-u),
吊杆从方位角θ转到θ'需时
所以浮吊向岸边移动的距离
【说明】当吊杆从方位角θ转到θ'时,浮吊便向岸边移动一定的距离,这个距离与吊杆转动的速度,也就是货物移动的速度无关。
但为了应用动量守恒定律,必须先假设浮吊和货物移动为某个速度。
【例12】如图所示,一排人站在沿x轴的水平轨道旁,原点O两侧的人的序号都记为n(n=1,2,3…).每人只有一个沙袋,x>0一侧的每个沙袋质量m=14kg,x<0一侧的每个沙袋质量为m'=10kg.一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行.不计轨道阻力.当车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以水平速度v朝与车相反的方向沿车面扔到车上,v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍(n是此人的序号数).(l)空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行?
(2)车上最终有大小沙袋共多少个?
【分析】因为扔到车上的沙袋的水平速度与车行方向相反,两者相互作用后一起运动时,总动量的方向(即一起运动的方向)必与原来动量较大的物体的动量方向相同.当经过第n个人时,扔上去的沙袋的动量大于车及车上沙袋的动量时,车就会反向运动.车向负x方向运动时、当扔上去的沙袋的动量与车及车上沙袋的动量等值反向时,车将停止运动.
【解】
(1)设小车朝正x方向滑行过程中,当车上已有(n-1)个沙袋时的车速为vn-1,则车与沙袋的动量大小为
p1=[M+(n-l)m]vn-1.
车经过第n个人时,扔出的沙袋速度大小为2nvn-1,其动量大小为
p2=2nmvn-1,
当满足条件p2>p1时,车就反向滑行.于是由
2nmvn-1>[M+(n-l)m]vn-1,
得
取n=3,即车上堆积3个沙袋时车就反向运动.
(2)设车向负x方向滑行过程中,当第(n—1)个人扔出沙袋后的车速为v'n-1,其动量大小为
p'1=[M+3m+(n-l)m']v'n-1.
车经过第n个人时,扔出沙袋的速度大小为2nv'n-1,其动量大小为
当满足条件P'2=P'1时,车就停止.于是由
[M+3m+(n-l)m']vn-1=2nm'v'n-1,
得
所以车停止时车上共有沙袋数为
N=3+8=11(个).
【说明】本题依据的物理道理是很显然的,由于构思新颖,使不少同学难以从具体问题中抽象出简化的物理模型,以致感到十分棘手.因此,学习中必须注重打好基础和提高分析问题的能力.
【例13】一个静止的质量为M的原子核,放射出一个质量为m的粒子,粒子离开原子核时相对于核的速度为v0,原子核剩余部分的速率等于[]
【分析】取整个原子核为研究对象。
由于放射过程极为短暂,放射过程中其他外力的冲量均可不计,系统的动量守恒.放射前的瞬间,系统的动量p1=0,放射出粒子的这一瞬间,设剩余部分对地的反冲速度为v',并规定粒子运动方向为正方向,则粒子的对地速度v=v0-v',系统的动量
p2=mv-(M-m)v'=m(v0-v')-(M-m)v'.
由p1=p2,即
0=m(v0-v)-(M-m)v'=mv0-Mv'.
【答】C.
【说明】本题最容易错选成B、D.前者是没有注意到动量守恒定律中的速度必须统一相对于地面,误写成
0=mv0-(M-m)v'.
后者是已规定了正方向后,但计算矢量和时没有注意正负,误写成
0=m(v0-v')+(M-m)v'.
对于矢量性较熟悉的读者,也可不必事先规定正方向,而根据解题结果加以判断,如本题中,粒子对地速度可表示为v=v0+v',由系统的动量守恒,
0=mv+(M-m)v'=m(v0+v')+(M-m)v'.
表示核的反冲速度与粒于运动速度方向相反.