二重积分的计算.docx

二重积分的计算.docx

《二重积分的计算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二重积分的计算.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

二重积分的计算

第二节二重积分的计算

这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算，很显然用其定义来计算是很复杂的.

一、矩形上的二重积分的计算

为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法

定理12.4若函数f（x,y）是矩形D=［a,b］>［c,d］上的可积函数.若对每一个x€［a,b］积

d

h（x）=Jf（x,y）dy

c

存在，则h（x）在［a,b］上可积,并有等式

bbd

JJf（x,y）dxdy=Jh（x）dx=J（Jf（x,y）dy）dx,

Daac

bd

它也记为JdxJf（X,y）dy.这个表达式称为二次积分或二次累次积分，也简称为累次积分.

ac

证明在［a,b］中插入若干个分点a=x0■

△Xi=Xi-Xi-1,（i=1,2，…..,n）,当令入x=max{AXi|i=1,2，…..,n},要证:

nbd

limSh（©i）心Xi=J（Jf（X,y）dy）dx.

Eyac

△yj=yj-yj-1,（j=1,2，…..,m）,那么，直线y=yj（j=0,1,2,…..,m）,x=Xi（i=0,1,2,…..,n）

将D分成mn个小矩形Dij=[xi-1,Xi]为yj-1,yj]（i=1,2,…..,n,j=1,2，…..,m）.当记

mij=inf{f（x,y）|（x,y）亡Dj},Mj=sup{f（x,y）|（x,y）亡Dj},y.

mm'Jm

SmijAyj

jf（©,y）dy

j4j*丄j4

nmnnm

ZZmijAyQXi<2h（©i）AXi<22；Mj也y^Xj

i4j」yi4j4

注意到，此式的左右两端正是f（x,y）在矩形D上以此分划的Darboux小和及大和..

再令令入y=max{Ayi|i=1,2，…..m},入=入x+入y,由可积性知，

nm

蚂送Smj也yjAXi=JJf（x,y）dxdy,

nm

limSSMijAyjiXi=JJf（x,y）dxdy./H0yj二D

n

又有两边夹易得，1哩无hGjiXi=JJf（x,y）dxdy

n

即有h（q）AXi=JJf（x,y）dxdy,那么

bbd

h（x）在［a,b］上可积,并有等式

JJf（x,y）dxdy=Jh（x）dx=J（Jf（x,y）dy）dx.

Daac

同样我们可得

定理12.5若函数f（x,y）是矩形

D=［a,b］＞［c,d］上的可积函数.若对每一个y€［c,d］积分

b

g（y）=Jf（x,y）dx

a

存在，则g（y）在［c,d］上可积，并有等式

ddb

JJf（x,y）dxdy=Jg（y）dy=J（Jf（X,y）dx）dy,

Dcca

db

这时它也记为JdyJf（x,y）dx（也是二次积分或累次积分）.

ca

引理若函数f（x,y）是矩形D=[a,b]x[c,d]上的连续函数,那么

bd

g（y）=Jf（x,y）dx和h（x）=Jf（x,y）dy

ac

分别是[c,d]和[a,b]上的连续函数.当然也是相应区间上的可积函数.

证明只证g（y）是[c,d]上的连续函数.由条件知，f（x,y）在[a,b]x[c,d]上一致连续,所以，任

意£>0,存在5>0,对任意（xi,yi）,（x2,y2）€[a,b]x[c,d],只要

I22-S-

P（X1—X2）+（y1—y2）<5,有|f（X1,yj—f（x2,y2）|£,所以

b-a+2

任意yi,样[c,d],当|yi-y2|<5,

bb

|g（y2）-g（y1）HJf（x,y2）dx-Jf（x,y1）dx|

aa

b

兰JIf（x,y2）-f（x,yi）|dx

ab

ab-a+1b-a+2

故g（y）在[c,d]上的一致连续.

由此可得

定理12.6若函数f（x,y）是矩形D=[a,b]x[c,d]上的连续函数.则

dbbd

JJf（x,y）dxdy=JdyJf（x,y）dx=JdxJf（x,y）dy.

Dcaac

即可交换顺序.

这个结论的可以放宽为：

f（x,y）是矩形D=[a,b]x[c,d]上的可积函数，对每一个y€[c,d]

bd

积分g（y）=Jf（x,y）dx存在，对每一个x€[a,b]积分h（x）=Jf（x,y）dyy也存在，.这时定

ac

dbbd

理12.6结论仍然成立，即JJf（x,y）dxdy=JdyJf（x,y）dx=JdxJf（x,y）dy.

Dcaac

二、一般区域上的二重积分计算

首先我们来讨论D是下面一种比较特殊的区域时的情况，然后讨论一般情形•设其中

g（x）h（x）是区间a,b］上的连续函数，D={（x,y）|a

域D,我们称之为x—型区域（当然可求面积）•如图12-2-1所示.

当u（y）v（y）是区间C,d］上的连续函数，D={（x,y）|c

（如图12-2-2）称为y—型区域.

A

f（x,y）

当令

Jf（x,y）,（x,y）-D

"l0,（x,y）-U-D

A

那么f（x,y）是U上的可积函数.并且

A

Uf（x,y）dxdy=JJf（x,y）dxdy.

UD

AA

事实上f（X,y）在D上可积，在U-D上也可积.由性质知f（x,y）在U上的可积.

A

JJf（x,y）dxdy=JJf（x,y）dxdy=JdxJf（x,y）dy

A

f（x,y）=f（x,y）.所以

所以

2X

JJxydb=1dx』xydy

D

也可以将D看成是y-型区域，D={（x,y）门

JJxydb=

D

22

1dy.yxydx

有上面的例子可以看到,考虑被积函数.

2

dy

XT

[2y—-y3k=9.

H2丿8

计算二重积分的关键是区域，要注意的是区域的区别，同时还要

定理12.9

设D={（X,y）IC

连续函数，那么

dv（y）

JJf（x,y）dxdy=fdyff（x,y）dx

D

Cu（y）

如果D既不是x-型区域也不是

我们可以将D分划成若干个

y-型区域,如图12-2-4

x-型区域和y-型区域的并.

例2计算二重积分JJxyg，其中D是有抛物线y2=x及y=x-2所围成的有界

D

闭区域.

解：

如图12-2-4，区域D可以看成是y—型区域，它表示为

D={（x,y）|—1

所以

2y七2-2

JJxydb=Ldy[2xydx^Ly-x

D2

y七

dy

y2

=45

-8

我们也可以将D看成是两个x—型区域D1,D2的并集.

如图12-2-5，其中

Dj={（x,y）10

图12-2-5

u

1叮X4Qx

=[dxj点xydy+[dx爲xydy.

最后可以算出同样的结果，当然这样计算可能要麻烦一点.所以识别区域很重要，还有一点要注意的是，有的区域尽管既是计算不出来.比如下面的例子.

的，但是在计算时候，可能将它看成其某中一种时,

例3计算二次积分1dytSnxdx.

x—型的，又是y—型

叱的原函数是存在的，但是还是无

x

法求出其表达式.我们可以考虑将这个积分先化为二重积分，再换成另外一种二次积分来计

算.

分析：

直接按照这个顺序是计算不出来的，尽管

jdyJ1Sn°dx=,其中D是如图12-2-6所示的区域，将它看成是x-

yxDx

型区域，有D

={（x,y）10

訂dx]专dy“专[yEdx=tsinxdx=-Icosxl=1-cos1

a

图12-2-6

上面例子的方法常称为交换积分次序.可以看出,分次序，而使得计算简单，有时候如不交换次序

有时候计算时需要交换二次积分的积，是难以计算出结果.

设D={（x,y）|a兰X

f（x）g（y）在D上可积拼有

bd

jjf（xg（ydb=af（xdx订gydy.

D

读者可以自己验证上面的结论.

例4计算jjx2y2db,

其中D={（x,y）|0

解:

由上面的讨论，有

221122

JJxydb=OdxJjXydy

1212

=；xdx^ydy

求由曲面z

=x2+

2

y与z=1所围的体积

V.

解:

此立体如图1

2-2-7所示，它的体积可以看

成是一个圆柱体体积减去一个曲顶柱体体积.

圆柱体的体积是v1

=兀q2=兀•曲顶柱体的顶是

z=X2+y2,底为区域

22

D={（x,y）|x+y<1}.所

以其体积为

-1\

+y2db

（X2+

y2dy

图12-2-7

J1_x2

所以此立体体积为兀在这里积分Jdxr；L（x2+y2dy的计算尽管可以计算出来，但是是比较复杂的，在

-1—1—x

这里没有写出，我们将在后面用其它的方法来计算这个二次积分.

本节最后将给出前面积分运算的几何解释.

当f（x,y是有界闭区域D上的连续函数且f（x,y）：

＞0时，二重积分JJf（x,yd^表示

的是以D为底，以f（x,y）为顶的曲顶柱体的体积.如图12-2-8所示.它的体积可以通过

计算这个二重积分得到.

我们下面通过另外的一种途径来求其体积.我们采用的方法是定积分的微元法.

1.以X为积分变量，其变化区间为a,b］

2.求在［a,b］的一个小的子区间［x,x+dx］上所对应的曲顶柱体的体积，这是一个小

A（xo）=（xo’yHy.

般地，当Xo变动时,

h（x\

有截面面积A（x）=j（x,ydy.于是区间[x,x+dx]所对应

g（X）

=A（xdx=（J：

：

f（x,y

bfh（x\

V=[Axjdx-[（Qfx’y

这样的积分实际上是积分两次，即先对y积分，再对X积分，即二次积分•也记为

叫0X'ydy.

习题12-2

1.求下列函数的二重积分，JJf（x,ydxdy,这里D=[0,1]x[0,1].

D

2）

I0,X+ya1

6）

7）

川2xy）db,D是由（o,o）,（i,2）和（0,3）为顶点的三角形所围的有界区域

D

JKx2+y2）db，其中D是矩形区域：

|x|<1,|y|w1；

D

8）JK3x+2y）db，其中D是x轴、y轴与直线x+y=2所围成闭区域,

D

9）JJ（x2+3x2y+y3）dD，其中D是矩形闭区域：

owxw1,owyw1；

D

10）jjxcos（x+y）db,其中D是顶点分别为（0,0）,（n,0）和（n,n）的三角

D

形闭区域.

4.交换下列的积分顺序

3J9_x2

JdxJf（x,y）dy；

0J9_x2

3寸口

JdyJf（x,y）dx；

00

1）

2）

3）

JI

14

Jdx；f（x,y）dy；

0arctanx

4）

33_y

1

JdyJf（x,y）dx+JdyJf（x,y）dx；

00

2y

1y

5）JdyJf（x,y）dx;

00

1{Tzy2

6）JdyJf（x,y）dx;7）

0r口

eInX

22y

JdyJf（x,y）dxJdxJf（x,y）dy7）0y28）10

5.求下列的积分

13

2

fdxJexdy;

03y

1）

2）

11

JdyjJx3+1dx；

0vV

3）

39

2

JdyJycos（x）dx;

0y2

4）

JI

12

fdyJcosxJ1+cos2xdx.

0arcsiny

6.画出积分区域，计算积分:

；—2f—

1）JJxJydcT，其中D是由两条抛物线y=x,y=Jx所围成闭区域,

D

2）JJxy2dcr,其中D是由圆周

D

X2+y2=4及y轴所围成右半闭区域,

rILD

dcT,其中D是由x

+y<1所确定的闭区域,

4）JKx2+y2-x）dD,其中

D

D是由直线y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域.