Lyapunov方程求解附件.docx
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Lyapunov方程求解附件
广西大学实验报告纸
学院：
电气工程学院
专业：
自动化
成绩：
组员：
陈平忠（1302120238）黄智榜（1302120237）
班级：
实验地点：
808实验室2015年12月18日
实验内容：
Lyapunov方程求解
【实验目的】
1、掌握求解Lyapunov方程的一种方法，了解并使用MATLAB中相应函数。
【实验设备与软件】
1、硬件：
PC机一台；软件：
MATLAB/Simulink。
【实验原理】
1、线性定常系统渐进稳定的Lyapunov方程判据
线性定常连续系统为渐进稳定的充要条件是：
对给定的任一个正定对称阵Q，都存在唯一的对称正定阵P，满足如下矩阵Lyapunov方程：
该条件在传递函数最小实现下等价于：
全部特征根都是负实数或实部为负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。
线性定常离散系统为渐进稳定的充要条件：
对给定的任一个正定对称阵Q，都存在唯一的对称正定阵P，满足如下矩阵Lyapunov方程：
该条件在传递函数最小实现下等价于：
全部特征根的摸均小于1，即都在单位圆内。
2、在MATLAB控制工具箱中，函数lyap和dlyap用来求解lyapunov方程。
P=lyap（
Q）可解连续时间系统的lyapunov方程，其中，Q和A为具有相同维数的方阵（A是系统矩阵）。
如果Q是对称的，则解P也是对称的。
P=dlyap（
，Q）可解离散时间系统的lyapunov方程，其中，Q和G为具有相同维数的方阵（G是系统矩阵）。
如果Q是对称的，则解P也是对称的。
3、连续情况下的最小相位系统：
系统的零点均在左半复平面，但系统首先是稳定的，其他情况为非最小相位系统。
【实验内容、方法、过程与分析】
题目1实验内容：
输入连续状态空间模型
:
（1）选取正定矩阵
求稳定性判别矩阵P，判定系统是否稳定。
（2）求线性系统阶跃响应曲线，并判定是否为最小相位系统，
（3）求系统的实现，判定是否是最小实现并比较。
题目1实验过程及结果分析：
根据题意，在实验中，先通过运算可以得出结果，根据结果做出如下的.m文件
程序：
、由实验.m文件程序运行后结果：
A=[-3-8-2-4;1000;0100;0010];
B=[1;0;0;0];
C=[0011];
D=0;
Q=[1000;0100;0010;0001];
p=lyap（A',Q）
y=ss（A,B,C,D）
[V,X]=eig（A）
step（y）
得到正定矩阵P：
、由题意得出系统的响应曲线：
由图可知：
该系统是渐进稳定的。
求特征根
x=
Columns1through2
-1.4737+2.2638i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i-1.4737-2.2638i
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
Columns3through4
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
-0.0263+0.7399i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i-0.0263-0.7399i
由结果可以得出，此系统特征根的实部全部都为负数，亦全部的根都在左边平面。
所以该系统为最小相位系统。
所以，根据题意，更改A矩阵，求其阶跃响应曲线，并进行比较得：
之前的A矩阵：
更改之前的特征值：
x=
Columns1through2
-1.4737+2.2638i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i-1.4737-2.2638i
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
Columns3through4
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
-0.0263+0.7399i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i-0.0263-0.7399i
更改前的阶跃响应：
更改之后的A矩阵：
更改之后的特征值：
X=
4.7926+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i-1.7297+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0315+0.6939i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0315-0.6939i
更改后的阶跃响应：
对比特征值可知，更改矩阵A后特征根有一个为正数，即在右半平面；
对比阶跃响应图可知，更改矩阵A后，其阶跃响应为发散的。
2、输入离散状态空间模型
（1）选定正定矩阵
求稳定性判别矩阵P。
（2）请定义离散情况下的最小相位系统。
（3）求线性系统阶跃响应曲线，并按你所定义的判别矩阵是否为最小相位系统。
根据题意，在实验中，先通过运算可以得出结果，根据结果做出如下的c文件程序：
、由实验c文件程序运行后结果：
G=[130;-3-2-3;100];
H=[1;2;3];
C=[001];
D=0;
Q=[100;010;001];
P=dlyap（G',Q）
y=ss（G,H,C,D）
[V,X]=eig（G）
step（y）
得到矩阵P：
（2）、请定义离散情况下的相位系统
对于线性定常离散系统，全部特征根的模均小于1，即都在单位圆内，才能认为是最小相位系统。
由CV明显可看出不满足上述条件,且通过图形可知，系统不稳定。
现改变G的值：
由图可知，阶跃响应最终稳定，满足线性定常离散系统的条件，即极点均为于单位圆内。
【实验总结】
2、通过本次实验了解并掌握了Lyapunov方程的一种用MATLAB求解的方法，并熟悉了线性定常系统渐进稳定的Lyapunov方程判据和求解lyapunov方程的一些函数。
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