26函数模型及其应用.docx
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26函数模型及其应用
2．6 函数模型及其应用
突破思路
本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：
一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．
合作讨论
1．解决函数应用题的基本步骤和流程图是什么？
我的思路：
解决函数应用题的流程图是：
解决函数应用题的基本步骤是：
第一步：
认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化．
第二步：
运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解．
第三步：
将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答．
2．解决函数应用题的关键点和难点是什么？
我的思路：
解决函数应用题的关键有两点：
一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图，引入变量，建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言．二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，要注重数学能力的培养．
思维过程
解决函数应用题关键在于理解题意，提高学生的阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化．另一方面，要不断拓宽学生的知识面，提高其间接的生活阅历，如经常介绍一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也可以涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，逐步渗透、细水长流，培养学生实际问题数学化的意识和能力．
新题解答
【例1】某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少t万件．
（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；
（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？
解析：
（1）设每年销售是x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税金为y＝250x·t％．
依题意，x＝40－t．
所求的函数关系式为y＝250（40－t）t％．
（2）依题意，250（40－t）·t％≥600，即t2－25t＋150≤0，
∴10≤t≤15．
即税率应控制在10％～15％之间为宜．
【例2】一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？
并计算每月最多能赚多少钱？
解析：
本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：
设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．
数量（份）
价格（元）
金额（元）
买进
30
0.20
6x
卖出
20x＋10×250
0.30
6x＋750
退回
10（x－250）
0.08
0.8x－200
则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．
y在x［250，400］上是一次函数．
∴x＝400元时，y取得最大值870元．
答：
每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．
点评：
1．信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．
2．自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．
变式练习
1．商店某种货物的进价下降了8％，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r％增加到（r＋10）％，那么r的值等于（ ）
A．12 B．15 C．25 D．50
解析：
销售利润＝×100％．设销售价为y，进价为x，
则解之得r＝15．
答案：
B
2．如下图所示，点Ｐ在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点Ｐ沿着A—B—C—M运动时，以点Ｐ经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（ ）
解析：
本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示，
当0≤x≤1时，y＝·x·1＝x；
当1＜x≤2时，y＝1－（x－1）－（2－x）－＝－x＋；
当2＜x≤2.5时，y＝（－x）×1＝－x．
则y＝图形为A．
答案：
A
3．按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币（ ）
A．2（1＋8％）3.5万元
B．2（1＋8％）3（1＋2％）6万元
C．2（1＋8％）3＋2×2％×5万元
D．2（1＋8％）3＋2（1＋8）3（1＋2％）6万元
解析：
3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故只有选B．
答案：
B
4．某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）
解析：
由于d0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D．
答案：
D
5．容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度为（ ）
A．·m％ B． ·m％
C．·m％ D．·m％
答案：
B
6．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）
A．5～7km B．9～11km
C．7～9km D．3～5km
答案：
A
7．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A产品连续两次提价20％，B产品连续两次降价20％，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A、B产品各一件，盈亏情况为（ ）
A．不亏不赚 B．亏5.92元
C．赚5.92元 D．赚28.96元
答案：
B
8．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
A．5 B．10
C．14 D．15
答案：
C
9．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．
解析：
设矩形宽为xm，则矩形长为（200－4x）m，
则矩形面积为S＝x（200－4x）＝－4（x－25）2＋2500（0＜x＜50），
∴x＝25时，S有最大值2500m2．
答案：
2500
10．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个__________元．
解析：
设每个涨价x元，则实际销售价为（10＋x）元，销售的个数为（100－10x），则利润为y＝（10＋x）（100－10x）－8（100－10x）＝－10（x－4）2＋360（0≤x≤10）．
因此x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．
答案：
14
11．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的结果的误差，使得几次测量分别得到a1，a2，…，an，共n个数据，我们规定所测量的物理量“最佳近似值”a是这样一个量，与其他近似值比较，a与各个数据的差的平方和最小，依此规定，以a1，a2，…，an推出的a＝____________．
解析：
设a与各数据的差的平方和为y，则y＝（a－a1）2＋（a－a2）2＋…＋（a－an）2＝na2－2a（a1＋a2＋…＋an）＋（a12＋an2＋…＋an2），因此a＝时，y取得最小值．
答案：
a＝
12．有一质量均匀的杠杆的支点在它的一端，而距支点1m处挂一个490kg的物体，同时加力于杠杆的另一端，使杠杆保持水平，若杠杆本身每米重5kg，则最省力的杆长为__________。
解析：
如图所示，设杆长为xm，向上用力为F．
依杠杆原理易得490×1＋5x·＝Fx，
则F＝＋≥70，当且仅当x＝，
即x＝14m时，F的最小值为70kg．
答案：
14m
13．在国内投寄平信，每封不超过20克重应付邮资80分，超过20克不超过40克重付邮资160分，将每封信应付邮资（分）表示为信重（0＜x≤40）克的函数，其表达式f（x）为________．
答案：
14．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？
解答：
设两家旅行社的原价为a（a＞0），家庭孩子个数为x（xN*），甲、乙两家旅行收费分别为f（x）和g（x），
则f（x）＝a＋（x＋1）·＝x＋a（xN*），
g（x）＝（x＋2）·＝x＋（xN*），
g（x）≥f（x），得x＋≤x＋，∴x≥1．
因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社．
15．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，tmin后物体的温度℃可由公式＝＋
（一）e－kt确定，k是常数．现有62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1min后物体的温度是52℃．求常数k的值并计算开始冷却后多长时间物体的温度是42℃？
（精确到小数点后一位有效数字）
解析：
由题意知52＝15＋（62－15）e－k，e－k＝＝0.7872．
两边取对数，得－klge＝lg0.7872，
∴k＝＝2.303×0.1039＝0.2393．
又－＝
（一）e－kt，则lg
（一）＝lg（—）－ktlge，
则t＝＝．
将＝62，＝15代入上式得t＝，
若＝42℃，则t≈2.3min．
答案：
k＝0.2393，2.3min．
16．依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人工资薪金所得税；超过800元部分征税，设全月纳税所得额为x，x＝全月总收入－800元，税率见下表：
级 数
全月应纳税所得额x
税 率
1
不超过500元部分
5％
2
超过500元至2000元部分
10％
3
超过2000元至5000元部分
15％
…
…
…
9
超过100000元部分
45％
（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1～3级纳税额f（x）的计算公式；
（2）某人1999年3月份工资总收入3000元，试计算这个人3月份应纳税多少元？
（3）某人2000年4月纳税265元，问该人这个月工资总额为多少元？
答案：
（1）f（x）＝
（2）205；（3）3400．
17．甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：
可变部分与速度vkm/h的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
答案：
（1）y＝（bv2＋a），0＜v＜c；
（2）当c≥，v＝时，最小值为2s；
当c＜，v＝c时，最小值为s（bc＋）．
18．某商场在促销期间规定：
商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：
消费金额的范围
［200，400）
［400，500）
［500，700）
［700，900）
…
获得奖券的金额
30
60
100
130
…
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：
购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝．
试问：
（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？
答案：
（1）优惠率为33％；
（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于的优惠率．
19．某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表示：
月份
用气量
煤气费
一月份
4m3
4元
二月份
25m3
14元
三月份
35m3
19元
该市煤气收费的方法是：
煤气费＝基本费＋超额费＋保险费，若每月用量不超过最低限度Am3，只付基本费3元和每家每月的定额保险C元，若用气量超过Am3，则超过部分每m3付B元，又知保险费C不超过5元，根据上面的表格求A、B、C．
答案：
A＝5，b＝0.5，C＝1．
20．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t的函数，且销售量近似地满足关系g（t）＝－t＋，（tN，0＜t≤100），在前40天里价格为f（t）＝t＋22（tN，0＜t≤40），在后60天里价格为f（t）＝－t＋52（tN，40＜t≤100），求这种商品的日销售额的最大值．
解析：
由题意知，当0＜t≤40，h（t）＝－（t－10.5）2＋；
当40＜t≤100，h（t）＝（t－106.5）2－；∴t＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．
21．为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？
并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．
解析：
设PO＝x，则S＝－（x－190）2＋×1902，0＜x＜200，即x＝190时，最大面积为24067m2．
答案：
方案略．最大面积24067m2．
22．国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：
n＝×100％，各种类型家庭的n如下表所示：
家庭类型
贫困
温饱
小康
富裕
最富裕
n
n＞60％
50％＜n≤60％
40％＜n≤50％
30％＜n≤40％
n≤30％
根据某市城市家庭抽样调查统计，1997年至2003年间，每户家庭支出总额每年平均增加700元，其中食品消费支出总额每年平均增加100元．
（1）若1997年该市城区刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额为9000元，问2002年能否达到富裕？
（2）若2002年比1997年的消费支出总额增加35％，而其中食品消费支出总额增加10％，问哪一年能达到富裕？
答案：
（1）2002年刚好达到富裕；
（2）至少到2003年才能达到富裕．
23．某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：
租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：
租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．
答案：
当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；
当A、B距离在（a，a＋10）时，选择第二种方案；
当A、B距离恰好为a＋10时，选择两种方案均可以；
当A、B距离大于a＋10时，选择第一种方案．
（其中a为起步价内汽车行驶的里程）
规律总结
1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．
3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．
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数学模型及其应用
数学来源于实际又服务于实际，如何运用数学知识解决生活中的实际应用问题？
这里的关键是“问题情景的数学化”．即从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．
1．数学应用题大致可以分为以下四种不同的类型：
（1）直接套用现成的公式；
（2）利用现成的数学模型对应用题进行定量分析；
（3）对于已经经过提炼加工，忽略了次要因素，保留下来的诸因素之间数量关系比较清楚的实际问题，建立数学模型；
（4）对原始的实际问题进行分析加工，建立数学模型．
2．解应用题的策略：
一般思路可表示如下：
因此，解决应用题的一般程序是：
①审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：
将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：
求解数学模型，得出数学结论；
④还原：
将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
请你解决：
某县1995～2000年县财政收入情况如下表所示：
（表中第1年即1995年，其他依此类推）
1
2
3
4
5
6
2.59
3.05
3.80
4.89
6.68
8.50
（1）请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况．
（2）计算该县财政收入的平均年增长率．
由
（1）、
（2）分别预测2001年该县财政收入，并讨论哪种预测结果更有可行性，假如你是该县县长，将会采用哪种模型？
知识归纳
学力测评
基础巩固
一、选择题
1．函数y＝的定义域是（ ）
A．{x|x＞0}
B．{x|x＜0＝
C．{x|x＜0且x≠－1＝
D．{x|xR且x≠0}
答案：
C
2．下列各组中，f（x）与g（x）是同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x，g（x）＝（）2
B．f（x）＝lg|x|，g（x）＝lgx2
C．f（x）＝1，g（x）＝x0
D．f（x）＝|x|，g（x）＝
答案：
B
3．（log89）÷（log23）等于（ ）
A． B．1 C． D．2
答案：
A
4．如下图所示，当a＞1时，在同一个坐标系内，函数y＝a－x与y＝logax的图象可能是（ ）
答案：
A
5．若函数y＝f（x）（xR）为奇函数，则它的图象必经过点（ ）
A．（－a，－f（－a）） B．（a，－f（a））
C．（a，f（a－1）） D．（－a，－f（a））
答案：
D
6．下列不等式中正确的是（ ）
A．log3＜log＜log
B．log3＜log＜log
C．log＜log3＜log
D．log＜log＜log3
答案：
A
二、填空题
7．若函数f（x）＝（a2－4）x在定义域内是减函数，则a的取值范围是__________．
答案：
2＜|a|＜
8．如下图所示，M、N、P、Q分别为幂函数图象上的四个点，且它们的纵坐标相同．若四个幂函数为①y＝x－3；②y＝x－2；③y＝x；④y＝x，则M、N、P、Q与四个函数序号的对应顺序只能是___________．
答案：
②③④①
9．函数f（x）＝的最大值是__________．
答案：
三、解答题
10．设0＜a＜1＜b，试比较logab与logba的大小．
答案：
当ab＝1时，logab＝logba；
当ab＞1时，logab＜logba；
当ab＜1时，logab＞logba．
11．集合A＝{（x，y）|y＝x2＋mx＋2}，B＝{（x，y）|x－y＋1＝0，且0≤x≤2}，若AB＝，求实数m的取值范围．
答案：
m＞－1．
迁移应用
一、选择题
1．函数y＝ax在［0，1］上的最大值和最小值的和为3，则a等于（ ）
A． B．
C．2 D．4
答案：
C
2．已知f（x）＝的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，） B．［0，）
C．（0，） D．（，＋∞）
答案：
B
3．现有一组数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
其中能最接近地表达这些数据规律的函数是（ ）
A．v＝log2t B．v＝log0.5t
C．v＝0.5t2－0.5 D．v＝2t－2
答案：
C
4．已知函数f（x）＝x2＋bx＋c对于任意实数x，都有f（1＋x）＝f（－x），则下面不等式成立的是（ ）
A．f
（2）＞f（0）＞f（－2）
B．f（－2）＞f
（2）＞f（0）
C．f（0）＞f（－2）＞f
（2）
D．f（－2）＞f（0）＞f
（2）
答案：
B
5．函数f（x）＝x＋ax－1（a＞0），则下列结论中错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小值为2
B．函数f（x）在（0，）上递减
C．函数f（x）在［，＋∞）上递增
D．函数f（x）不存在反函数
答案：
D
6．设函数y＝和y
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